第34炼向量模长问题几何法

第34炼向量的模长问题几何法第34炼向量的模长问题几何法第34炼向量的模长问题几何法第34炼向量的模长问题——几何法一、根基知识：1、向量和差的几何意义：向量a,b，那么有：〔1〕假定a,b共起点，那么利用平行四边形法那么求ab，可得ab是以a,b为邻边的平行四边形的对角线〔2〕假定a,b首尾相接，那么利用三角形法那么求出ab，可得ab，a,b围成一个三角形2、向量数乘的几何意义：关于a〔1〕共线〔平行〕特色：a与a为共线向量，此中0时，a与a同向；0时，a与a反向〔2〕模长关系：aa3、与向量模长问题有关的定理：〔1〕三角形中的有关定理：设ABC三个内角A,B,C所对的边为a,b,c①正弦定理：abcsinAsinBsinC②余弦定理：a2b2c22bccosA〔2〕菱形：对角线垂直均分，且为内角的角均分线特其他，关于底角60的菱形，此中一条对角线将此菱形切割为两个全等的等边三角形。〔3〕矩形：假定四边形ABCD的平行四边形，那么对角线相等是该四边形为矩形的充要条件4、利用几何法求模长的条件：条件中的向量运算可组成特别的几何图形，且所求向量与几何图形中的某条线段有关，那么可考虑利用条件中的几何知识办理模长二、典型例题：例1：〔2021届北京市要点中学高三8月开学测试数学试卷〕向量a,b的夹角为45，且a1,2ab10，那么b〔〕A.2B.2C.22D.32思路：本题利用几何图形可解，运用向量加减运算作出以下列图形：可知AB2,B,AC10，只要利用余弦定理求出BC即可。4解：如图可得：bBC，在2AB22ABC中，有：ACBC2ABBCcosB即：104222BCcosBC4232或BC22BC60解得BCBC2〔舍〕因此b32，答案：选D例2：假定平面向量a,b,c两两所成的角相等，且ab1,c3，那么abc等于〔〕A.2B.5C.2或5D.2或5思路：第一由a,b,c两两所成的角相等可判断出存在两种状况：一是a,b,c同向〔如图1，此时夹角均为0〕，那么abc为5，另一种状况为两两夹角2〔如图2〕，以ab13为打破口，由平行四边形法那么作图获得ab与a,b夹角相等，aba1〔底角为60的菱形性质〕，且与c反向，从而由图获得abc2，选C答案：C例3：向量a,b，且a1,b2，那么2ba的取值范围是〔〕A.1,3B.2,4C.3,5D.4,6思路：先作出a，即有向线段AB，考虑2ba，将2b的起点与A重合，终点C绕A旋转且AC2b4，那么2ba即为BC的长度，经过察看可得C与A,B共线时2ba达到最值。因此2ba5,2ba3，且2ba连续变化，因此2ba的取值范maxmin围是3,5答案：C例4：设a,b是两个非零向量，且abab2，那么ab_______思路：可知a,b,ab为平行四边形的一组邻边和一条对角线，由abab2可知知足条件的只好是底角为60，边长a2的菱形，从而可求出另一条对角线的长度为3a23答案：23例5：a,b为平面向量，假定ab与a的夹角为，ab与b的夹角为，那么a〔〕34bA.3B.6C.5D.63433思路：可知ab,a,b为平行四边形的一组邻边及对角线，通过作图和平行四边形性质得：在ABD中，ABa,ADb,ABD,ADB，由正弦定理34ABsinADBsin6a6可得：4，即ADsinABDsin33b3答案：D例6：a,b是单位向量，且a,b的夹角为3，假定向量c知足|ca2b|2，那么|c|的最大值为〔〕A.23B.23C.72D.72思路：本题已知a,b模长且夹角特别，经过作图可得2ba为模长为3，设mc2ba，那么可得m2且cm2ba，而m可视为以2ba共起点，终点在以起点为圆心，2为半径的圆上。经过数形联合可得c的最大值为23〔此时m的终点位于A点〕答案：A例7：在ABC中，B6,AB33,BC6，设D是AB的中点，O是ABC所在平面内的一点，且3OA2OBOC0，那么DO的值是〔〕A.1B.1C.3D.22思路：本题的要点在于确立O点的地点，从而将DO与线段找到联系，将3OA2OBOC0考虑变形为3OA2OBOC3OAOBOBOCCB，即OAOB1CB，设3OEOAOB，那么O,D,E三点共线，且OE∥BC，因此由平行四边形性质可得：OD1OE1CB126答案：B例8：向量ae,e1，对随意的tR，恒有ateae，那么eae的值为________思路：本题以ateae作为打破口，经过作图设ABa,ACe，D为直线l上一点，那么有ADte。从而可得aeBC,ateBD，即BDBC，因此C点为直线l上到B距离最短的线段，由平面几何知识可得最短的线段为B到l的垂线段。因此BCl，即eae，因此有eae0答案：0小炼有话说：本题假定用图形解决，找到ate,ae在图上的地点和两个向量的联系是要点例9：平面向量a,b,c知足a1,b2，且ab1，假定向量ac,bc的夹角为60，那么c的最大值是_________C思路：由a,b条件可得a,b夹角的余弦值Dcosab1120，假定用代数方法办理夹角60ab2的条件，那么运算量较大。因此考虑利用图形，设ABABa,ADb,ACc，那么CDb,cCB，a即cDCB60，从而DCB180，可判断A,B,C,D四点共圆，那么AC的最大值为四边形ABCD外接圆的直径，即ABD的直径。在ABD中，由余弦定理可得：BD2227，因此BD7，由正弦定理可得：ABAD2ADABcosd2RBD221221，即cmaxsinBAD33221答案：小炼有话说：假定条件中向量的夹角为特别角且很难用数目积，模进步行计算时，可考虑找寻几何图形进行求解。例10：〔2021年，浙江，16〕平面向量,0,知足=1，且与的夹角为120，那么的取值范围是___________思路：本题很难找到与数目积有关的条件，那么考虑利用图形协助求解。从图中可察看到,

,

组成

BCD

，

C

60

，从而可利用正余弦定理求出

即CD

的取值范围解：在

BCD

中，由

正弦

定理可得：BD

CDsinC

sinDBC

sinC

sinDBCsinDBC1sinDBC2sinDBCsinC332而DBC0,2sinDBC0,12sinDBC0,23333答案：的取值范围是0,233小炼有话说：例题中的局部问题也可采纳模长平方的方式，从而转变成为数目积求解。详细解法以下：例1：解：2ab224ab24bcosa,b24ab4b10260，解得b32b22b例2：解：ab22222ab2bc2accabca,b,c夹角同样当a,b,c同向时，可得abc225，因此abc5a,b,c两两夹角2

2时，可得ab1,bc3,ac33222abc4，因此abc2综上所述：abc2或5例3：解：2ba224ab2174abcosa,b178cosa,b4ba由于cosa,b1,12ba29,25即2ba3,5例4：解：abab2可得a2a22b4bb2a代入ab2得ab2222abab2ab12ab23例8：解：以B为原点，BC为x轴成立直角坐标系。因此C933x,y,OC6x,那么OAx,y,OB22396x0x131333得：2