多元统计分析模拟考题及

一、判断题（对）1X

(X1,X2,L,Xp)

的协差阵必然是对称的半正定阵（对（

）2标准化随机向量的协差阵与原变量的相关系数阵相同。对）3典型相关解析是鉴识并量化两组变量间的关系，将两组变量的相关关系的研究转变成一组变量的线性组合与另一组变量的线性组合间的相关关系的研究。（对）4多维标度法是以空间分布的形式在低维空间中再现研究对象间关系的数据解析方法。（错）5X(X1,X2,,Xp)~Np(,)，X,S分别是样本均值和样本离差阵，则X,S分别是,的无偏估计。n（对）6X(X1,X2,,Xp)~Np(,)，X作为样本均值的估计，是无偏的、有效的、一致的。（错）7因子载荷经正交旋转后，各变量的共性方差和各因子的贡献都发生了变化（对）8因子载荷阵A(ij)ij表示第i个变量在第j个公因子上a中的a的相对重要性。（对）9鉴识解析中，若两个整体的协差阵相等，则Fisher鉴识与距离鉴识等价。（对）10距离鉴识法要求两整体分布的协差阵相等，Fisher鉴识法对整体的分布无特定的要求。二、填空题1、多元统计中常用的统计量有：样本均值向量、样本协差阵、样本离差阵、样真相关系数矩阵．2、设是整体的协方差阵，的特色根(1,,)与相应的单X(X1,L,Xm)iiLm位正交化特色向量i(ai1,ai2,L,aim)，则第一主成分的表达式是y1a11X1a12X2La1mXm，方差为1。3设是整体X(X1,X2,X3,X4)的协方差阵，的特色根和标准正交特色向量分别为：12.920U1'(0.1485,0.5735,0.5577,0.5814)21.024U2'(0.9544,0.0984,0.2695,0.0824)30.049U3'(0.2516,0.7733,0.5589,0.1624)40.007U4'(0.0612,0.2519,0.5513,0.7930)，则其第二个主成分的表达式是y20.9544X10.0984X20.2695X30.0824X4，方差为4.若X()~Np(,)，（1,2,,n）且相互独立，则样本均值向量X服从的分布是Np(,)．n5.设Xi:Np(,),i1,2,L,16，X和A分别是正态整体的样本均值和样本离差阵，则T215[4(X)]A1[4(X)]遵从T2(15,p)或15p:F(p,np)16p106设Xi:N3(,),i1,2,L,10，则W(Xi)(Xi)遵从W3(10,)i14437.设随机向量X(X1,X2,X3)，且协差阵492，则其相关矩阵321612338R=12136311868.设X(X1,X2):N2(,),，其中(1,2),21，则1Cov(X1X2,X1X2)09设X,Y是来自均值向量为，协差阵为的整体G的两个样品，则X，Y间的马氏平方距离d2(X,Y)(XY)1(XY)10设X,Y是来自均值向量为，协差阵为的整体G的两个样品，则X与整体G的马氏平方距离d2(X,G)=(X)1(X)11设随机向量X(X1,X2,X3)的相关系数矩阵经过因子解析分解为1123301R10302013则X1的共性方差h122=0.872，其统计意义是：描述了全部公因子对变量X1的总方差所作的贡献，称为变量X1的共同度，反响了公共因子对变量X1的影响程度。标准化变量X1的方差为1，公因子f1对X的贡献g122+2+212.对应解析是将Q型因子解析和R型因子解析结合起来进行的统计解析方法13典型相关解析是研究两组变量间相关关系的一种多元统计方法14.聚类解析中，Q型聚类是指对样本进行聚类，R型聚类是指对指标进行聚类。15Spssforwindows中主成分解析由DataReduction->FactorAnalysis过程实现。16设Uk,Vk是第k对典型变量则D(Uk)1,D(Vk)1(k1,2,L,r)Cov(Ui,Uj)0,Cov(Vi,Vj)0(ij)i0(ij,iL,r)1,2,Cov(Ui,Vj)0(ij)0(jr)17.在多维标度解析中，当D是欧几里得距离阵时，X是D的一个构图三、简答题（答案见平时习题）1简述多元统计的主要内容与方法（10分）可比较一元统计列出多元统计的主要内容与方法（从随机变量及其分布、数字特色、四大分布（正态分布密度（1分）、2(n)与威沙特分布Wp(n,)（1分）、t分布与HotelingT2分布（1分）、F分布与威尔克斯分布(p,n1,n2)（1分））、抽样分布定理、参数估计和假设检验、统计方法（2分）2.请阐述距离鉴识法、贝叶斯鉴识法和费希尔鉴识法的基本思想和方法，比较其异同3请阐述系统聚类法、K均值聚类法、有序样品聚类法的基本思想和方法，比较其异同请阐述主成分解析和因子解析的基本思想、方法步骤和应用，比较其异同请阐述相应解析、多维标度法、典型相关解析和多变量的可视化解析的基本思想和应用四、计算题1设三维随机向量X:N3(,2I3)，已知2100110,I3010,A,d，求YAXd的分布000102解：正态分布的线性组合仍为正态，故只需求E(Y)E(AXd)AEXd1121211211DYD(AXd)13ADXA010111所以Y:N3(E(Y),D(Y))另解：1X231YAXd1321X231)2132)1故Y:N3(E(Y),D(Y))D(0.5X1X231)3132)11X23132)121112.设三维随机向量X:N3(,)，已知3,132，求1122Y3X12X2X3的分布解：正态分布的任意线性组合仍正态，故Y的分布是一维正态分布，只需求E(Y)3E(X1)2E(X2)E(X3)13D(Y)32E(X1)22E(X2)E(X3)2Cov(3X1,2X2)2Cov(3X1,X3)2Cov(X3,2X2)9故Y:N(13,9)3设有两个二元整体和，从中分别抽取样本计算获取,,假设，试用距离鉴识法建立鉴识函数和鉴识规则。样品X=（6，0）’应属于哪个整体？解：=，=，==即样品X属于整体4设已知有两个正态整体G1,G2,且12411,2,121，而其629先验概率分别为q1q20.5,误判的代价L(2|1)e4,L(1|2)e，试用贝叶斯鉴识法确定样本X3属于哪个整体？5解：由Bayes鉴识知，W(x)f1(x)exp[(x)1(12)]f2(x)1(12)1243624其中221912181,1214q2C(1|2)3deq1C(2|1)W(x)x1W3dW5x2故X3属于G2整体55表1是依照某商场对不相同品牌同类产品按热卖（1）、平销（2）和滞销（3）的数据，利用SPSS获取的Bayes鉴识函数系数表，请据此建立贝叶斯鉴识函数，并说明如何判断新样品（x1,x2,x3）属于哪一种？ClassificationFunctionCoefficientsgroup123x1x2x3(Constant)Fisher'slineardiscriminantfunctions表1Bayes鉴识函数系数解：依照鉴识解析的结果建立

Bayes鉴识函数：Bayes鉴识函数的系数见表

4.1。表中每一列表示样本判入相应类的

Bayes鉴识函数系数。由此可建立鉴识函数以下：Group1：Y111.689X112.297X216.761X3Group2：Y210.707X113.361X217.086X3Group3：Y32.194X14.960X26.447X3将新样品的自变量值代入上述三个Bayes鉴识函数，获取三个函数值。比较这三个函数值，哪个函数值比较大就可以判断该样品判入哪一类。6.对某数据资料进行因子解析，因子解析是从相关系数阵出发进行的，前两个特色根和对应的标准正交特征向量为1U1'(0.1485,0.5735,0.5577,0.5814)，1U1'(0.1485,0.5735,0.5577,0.5814)取公因子个数为2，求因子载荷阵(2)用F1F2表示采用的公因子，1,2为特别因子，写出因子模型，说明因子载荷阵中元素aij的统计意义7在一项对杨树的形状研究中，测定了20株杨树树叶，每个叶片测定了四个变量X1,X2,X3,X4分别代表叶长，叶子2/3处宽，1/3处宽，1/2处宽，这四个变量的相关系数矩阵的特色根和标准正交特色向量分别为：1U1'(0.1485,0.5735,0.5577,0.5814)2U2'(0.9544,0.0984,0.2695,0.0824)30.049U3'(0.2516,0.7733,0.5589,0.1624)40.007U4'(0.0612,0.2519,0.5513,0.7930)若按一般性原则采用主成分个数，请写出主成分表达式，并计算每个主成分的方差贡献率解：采用主成分的一般原则是特色值大于1或累积贡献率达到80%以上。据题采用两个主成分，其表达式和贡献率分别是：y10.1485X10.5735X20.5577X30.5814X4,贡献率为1y20.9544X10.0984X20.2695X30.0824X4,贡献率为2

8下表是进行因子解析的结果,试依照表中信息写出每个原始变量的因子表达式，并分析可否需要对因子载荷旋转。ComponentMatrixComponent123X1.969.205X2.911.321X3.847.323X4.941.281X5.899.215X6.839.305X7.679X8.575.367ExtractionMethod:PrincipalComponentAnalysis.a3componentsextracte