中级微观经济学-varian chaptercost minimization假如厂商在给定产出水平y0前提下

第二十章成本最小化成本最小化假如厂商在给定产出水平y

0

的前提下，以最小可能总成本生产，那么厂商是一个成本最小化的。c(y)表示生产y单位产出的厂商最小可能总成本c(y)为厂商的总成本函数。成本最小化当厂商面对给定的投入要素价格w

=

(w1,w2,…,wn)

，总成本函数可以写成c(w1,…,wn,y)。成本最小化问题假设厂商使用两中要素来生产一种产品生产函数为：y

=

f(x1,x2).产出水平y

0

给定。给定价格水平w1

和w2,投入束(x1,x2)的成本为：w1x1

+w2x2.成本最小化问题对于给定的w1,w2

和y,厂商成本最小化问题就是解如下方程：min

w

x

w

xx1,x2

0

1

1

2

2stf

(x1,

x2

)

y.成本最小化问题在最小成本投入束中的要素投入量x1*(w1,w2,y)和x1*(w1,w2,y)为厂商对于投入要素1和2的条件需求函数。生产y单位产出时的最小可能总成本为：1

1c(

w1,

w2

,

y)

w

x*(

w1,

w2

,

y)

w2x*

(

w ,

w ,

y).2

1

2投入要素的条件需求给定w1,w2

和y,最小成本投入束位于何处？总成本函数如何计算？等成本线一条包含成本为定值的所有投入束称为等成本曲线。例如，给定w1

和w2,$100的等成本线方程为：w1x1

w2x2

100.斜率为-w1/w2.w2w2x2

w1

x1

c

.等成本线一般来说，给定w1

和w2,总成本为$c的等成本线方程为：w1x1

w2x2

c等成本线x2c”

w1x1+w2x2c’

w1x1+w2x2c’

<c”x1等成本线x2x1斜率=-w1/w2.c”

w1x1+w2x2c’

w1x1+w2x2c’

<c”y’单位产出的等产量线x2f(x1,x2)

y’x1所有的投入束都能产生y’单位的产出。哪一个是最便宜的?成本最小化问题x2f(x1,x2)

y’x1所有的投入束都能产生y’单位的产出。哪一个是最便宜的?成本最小化问题x2所有的投入束都能产生y’单位的产出。哪一个是最便宜的?f(x1,x2)

y’x1成本最小化问题x2所有的投入束都能产生y’单位的产出。哪一个是最便宜的?f(x1,x2)

y’x1成本最小化问题x2所有的投入束都能产生y’单位的产出。哪一个是最便宜的?x2*f(x1,x2)

y’x1x1*x2成本最小化问题一个

的成本最小化投入束满足：1

2(a)

f

(x*,

x*

)

yx2*f(x1,x2)

y’x1x1*x2成本最小化问题一个

成本最小化投入束满足：且(b)等成本线=等产量线的斜率1

2(a)

f

(x*,

x*

)

yx2*f(x1,x2)

y’x1x1*x2成本最小化问题一个

成本最小化投入束满足：且(b)等成本线=等产量线的斜率1

2(a)

f

(x*,

x*

)

yw2

MP21

2

w1

TRS

MP1

at

(x*,

x*

).x2*f(x1,x2)

y’x1x1*成本最小化的-例子厂商的

-生产函数为：投入要素的价格为w1

和w2.厂商的条件投入要素需求函数为什么？1

2y

f

(x1,

x2

)

x1/3x2/3

.成本最小化的

-

例子生产y单位产出的最小化成本的投入束满足：(x1*,x2*)(a)1y

(x*

)1/3

(x*且(b)

w1

w2成本最小化的-例子w1w21x*2x*2

.(a)

y

(x*

)1/3

(x*

)2/31

2(b)成本最小化的-例子w1w21x*2x*2

.(a)

y

(x*

)1/3

(x*

)2/31

2(b)由(b)可得w22

1x*

2w1

x*.成本最小化的-例子w1w21x*2x*2

.(a)

y

(x*

)1/3

(x*

)2/31

2(b)由(b)可得w22

1x*

2w1

x*.将其代入(a)

中可得

wy

(x1

)2x1*

2/3*

1/3

2w1成本最小化的-例子w1w21x*2x*2

.(a)

y

(x*

)1/3

(x*

)1

2(b)由(b)可得w22

1x*

2w1

x*.将其代入(a)

中可得y( *

1成本最小化的-例子w1w21x*2x*2

.(a)

y

(x*

)1/3

(x*

)1

2(b)由(b)可得w22

1x*

2w1

x*.将其代入(a)

中可得y( *

111*x

w

2

2/3

2w

因此y

为厂商对于要素1的条件需求函数成本最小化的-例子xw222w1**

x1y11*x

2w

w

2

2/3为要素2的条件需求函数由于且xy22

12*2w1

w2

2/3w

2w

y

w

2w1

1/3例子成本最小化的

-因此产出为y的最小成本投入束为：1

1

2

2

1

2**x

(

w,

w

,

y),

x

(

w

,

w

,

y)y,

2w1

1/3

w

2

w

2

2/3

2w1y

.x1固定w1

和w2.x2要素投入的条件需求函数yyyx2x1固定w1

和w2.要素投入的条件需求函数1x*(y)2x*

(y)yyyy2x*

(y)1x*(y)2x*1x*yyyx2x1固定w1

和w2.要素投入的条件需求函数1x*(y)*2x*

(y)2x*

(y)yyyyy*x2(y)2x*

(y)*1x*(y)2x1(y)x1(y)x*1x*yyyyx2x1固定w1

和w2.要素投入的条件需求函数1x*(y)*x2(y)1x*(y)*2x*

(y)2x*

(y)yyy*x2(y)2

2x*

(y)

x*

(y)1x*(y)*1x*(y)2x1(y)x1(y)x*1x*yy

y

yyyyyx2x1固定w1

和w2.要素投入的条件需求函数1x*(y)*x2(y)1x*(y)*2x*

(y)2x*

(y)产出扩张路线yyy*x2(y)2

2x*

(y)

x*

(y)1x*(y)*1x*(y)2x1(y)x1(y)x*1x*yy

y

yyyyyx2x1固定w1

和w2.要素投入的条件需求函数1x*(y)*x2(y)1x*(y)*2x*

(y)2x*

(y)产出扩张路线yyy*x2(y)2

2x*

(y)

x*

(y)1x*(y)*1x*(y)要素2的条件需求要素1的条件需求2x*1x*yy

y

yyyyyx1(y)x1(y)成本最小化的-例子对于生产函数：产出为y的最小成本投入束为：

1

1

2

2

1

2

*

*x

(

w

,

w

,

y),

x

(

w,

w

,

y)y,

2w1

1/3

w

2

w

2

2/3

2w1y

.1

2y

f

(x1,

x2

)

x1

/

3x2

/

3成本最小化的-例子厂商的总成本函数为：c(

w1,

w2

,

y)

w1x*(

w

,

w1

1

2,

y)

w2x*

(

w

,

w

,

y)2

1

2成本最小化的-例子厂商的总成本函数为：y112,

y)

w2x*

(

w

,

w

,

y)2

1

2

wc(

w1,

w2

,

y)

w1x*(

w

,

w1

1

2

w2

2/3

2w

y

w2

w

2w1

1/3成本最小化的-例子厂商的总成本函数为：c(

w1,

w成本最小化的-例子厂商的总成本函数为：成本最小化的完全互补品的例子厂商的生产函数为：y

min{4x1,

x2

}.给定投入要素价格w1

和w2

。厂商对于要素1和2的条件需求为多少？厂商的中成本函数为什么？成本最小化的完全互补品的例子x2x1min{4x1,x2}

y’4x1

=

x2成本最小化的完全互补品的例子x2x14x1

=

x2min{4x1,x2}

y’成本最小化的完全互补品的例子x2x14x1

=

x2min{4x1,x2}

y’产出为y’的最小成本投入束位于何处？成本最小化的完全互补品的例子x1x2x1*=y/4x2*

=

y4x1

=

x2min{4x1,x2}

y’产出为y’的最小成本投入束位于何处？成本最小化的完全互补品的例子厂商的生产函数为：y

min{4x1,

x2

}条件要素需求函数为：1

1

242

1

2x*(

w

,

w

,

y)

y

x*

(

w

,

w

,

y)

y.且成本最小化的完全互补品的例子厂商的生产函数为：y

min{4x1,

x2

}条件要素需求函数为：1

1

242

1

2x*(

w

,

w

,

y)

y

x*

(

w

,

w

,

y)

y.且厂商的总成本函数为：1

1c(

w1,

w2

,

y)

w

x*(

w1,

w2

,

y)

w2x*

(

w

,

w

,

y)2

1

2成本最小化的完全互补品的例子厂商的生产函数为：y

min{4x1,

x2

}条件要素需求函数为：1

1

242

1

2x*(

w

,

w

,

y)

y

x*

(

w

,

w

,

y)

y.且厂商的总成本函数为：1

14c(

w1,

w

2

,

y)

w

x*(

w1,

w

2

,

y)

w

2x*

(

w

,

w

,

y)2

1

2

4

w1

y

w

2y

w1

w

2

y.平均总成本对于正的产出水平y,厂商生产y单位产出的平均总成本为：yAC(

w1,

w2

,

y)

c(

w1,

w2

,

y)

.规模与平均总成本厂商技术的规模

决定着平均成本如何随着产出改变。厂商暂时生产y’单位产出。假如厂商生产2y’单位产出，厂商的平均成本会如何变化？不变规模

与平均总成本假如厂商的技术为不变规模

，那么产出加倍时要求要素投入也加倍。不变规模

与平均总成本假如厂商的技术为不变规模

，那么产出加倍时要求要素投入也加倍。总成本也加倍。不变规模

与平均总成本假如厂商的技术为不变规模

，那么产出加倍时要求要素投入也加倍。总成本也加倍。平均总成本不变。递减的规模

与平均总成本加入一个厂商的技术是规模

递减的，产出加倍时要求投入要素投入量超过两倍。递减的规模

与平均总成本加入一个厂商的技术是规模

递减的，产出加倍时要求投入要素投入量超过两倍。总成本增加超过一倍。递减的规模

与平均总成本加入一个厂商的技术是规模

递减的，产出加倍时要求投入要素投入量超过两倍。总成本增加超过一倍。平均生产成本上升。递增的规模与平均总成本如果厂商的技术为规模递增的，那么产出加倍时要求投入要素的增加量少于加倍量。递增的规模与平均总成本如果厂商的技术为规模递增的，那么产出加倍时要求投入要素的增加量少于加倍量。总成本增加少于一倍。递增的规模与平均总成本如果厂商的技术为规模递增的，那么产出加倍时要求投入要素的增加量少于加倍量。总成本增加少于一倍。平均生产成本下降。规模与平均总成本y$/产出不变规模下降的规模递增的规模AC(y)规模

与总成本这对总成本函数意味着什么？规模

与总成本$c(y’)c(2y’)斜率=c(2y’)/2y’=

AC(2y’).斜率=c(y’)/y’=

AC(y’).假如厂商技术为规模

递减的，平均成本随着产出增加而上升。yy’2y’规模

与总成本$c(y’)c(2y’)斜率=c(2y’)/2y’=

AC(2y’).斜率=c(y’)/y’=

AC(y’).假如厂商技术为规模

递减的，平均成本随着产出增加而上升。c(y)yy’2y’规模

与总成本$c(y’)c(2y’)斜率=c(2y’)/2y’=

AC(2y’).斜率=c(y’)/y’=

AC(y’).假如厂商技术为规模

递增的，平均成本随着产出增加而下降。yy’2y’规模

与总成本$c(y’)c(2y’)斜率=c(2y’)/2y’=

AC(2y’).斜率=c(y’)/y’=

AC(y’).假如厂商技术为规模

递增的，平均成本随着产出增加而下降。c(y)yy’2y’规模

与总成本$c(y’)c(2y’)=2c(y’)c(y)斜率=c(2y’)/2y’=2c(y’)/2y’=c(y’)/y’因此AC(y’)

=

AC(2y’).假如厂商技术为规模

不变的，平均成本不受产出影响。yy’2y’短期与长期总成本长期来看所有投入要素均可改变。假设厂商不能改变投入要素2的投入量x2’生产y单位产出长期与短期总成本相比有什么特点？短期与长期总成本长期成本最小化问题为：短期成本最小化问题为：minx1,x2

0stw1x1

w2x2f

(x1,

x2

)

y.min

w1x1

w2x2x10stf

(x1,

x2

)

y.短期与长期总成本短期成本最小化问题就是就是在约束条件x2

=x2’.下的长期成本最小化问题。假如长期对于x2的选择为x2’，那么x2

=x2’就不成为长期约束条件。因此产出为y时的长期和短期总成本是一样的。短期与长期总成本短期成本最小化问题就是就是在约束条件x2

=x2’.下的长期成本最小化问题。假如长期选择x2

x2”，那么约束条件x2

=x2”使得厂商在短期无法将成本降至长期时的生产成本，使得产出为y时的短期总成本超过长期总成本。短期与长期总成本xx12yyy考虑三个产出水平短期与长期总成本x2x1yyy从长期来看，当厂商能够同时选择要素1和21

2的投入量x

和x

时，最小成本投入束为：短期与长期总成本x2yx2

x2

x2yy长期产出扩张线x1x1x1x1短期与长期总成本x2yyy长期产出扩张线x2

x2

x2长期成本为：c(

y)

w1x1

w2x2c(

y)

w1x1

w2x2c(

y)

w1x1

w2x2x1x1x1x1短期与长期总成本假设厂商的短期约束条件为x2

=x2”。短期与长期总成本x2yyyx2

x2

x2短期产出扩张线x1x1x1x1长期成本为：c(

y)

w1x1

w2x2c(

y)

w1x1

w2x2c(

y)

w1x1

w2x2短期与长期总成本x2yyyx2

x2

x2短期产出扩张线x1x1x1x1长期成本为：c(

y)

w1x1

w2x2c(

y)

w1x1

w2x2

c(

y)

w1x1

w2x2短期与长期总成本x2yyyx2

x2

x2短期产出扩张线x1x1x1x1长期成本为：c(

y)

w1x1

w2x2c(

y)

w1x1

w2x2c(

y)

w1x1

w2x2短期成本为：cs(

y)

c(

y)