高中数学考点16两角和与差的正弦余弦和正切公式简单的三角恒等变换(含2013高考试题)

学必求其心得，业必贵于专精考点16两角和与差的正弦、余弦和正切公式、简单的三角恒等变换一、选择题1。(2013·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ6)已知sin22，则cos2()()A。1。113。24BC.D6323【解题指南】利用“降幂公式”将cos2()化简，建立与sin2的关系，可得结果。41cos2()1cos(2)1sin2【剖析】选A。因为cos2(4)2422，221sin21123，选A。因此cos()22642.（2013·江西高考文科·Ｔ3)若sin3）2，则cosa=（3A。2B.1C.1D。23333【解题指南】利用二倍角的余弦公式即可.【剖析】选C。cos12sin2=12=1.2333（2013·大纲版全国卷高考理科·Ｔ12）已知函数fx=cosxsin2x,以下结论中错误的选项是（)A．yfx的图像关于,0中心对称B。yfx的图像关于x对称2C。fx的最大值为32D.fx既是奇函数，又是周期函数【剖析】选C.f(x)cosxsin2x2cos2xsinx2sinx2sin3x，令tsinx，1t1，则g(t)2t2t3，g(t)26t2.令g(t)26t20,解得t3或31学必求其心得，业必贵于专精t3。比较两个极值点和两个端点g(1)0，g(1)0，g(3)0，g(3)43，3339f(x)的最大值为43，故C错误94.（2013·重庆高考理科·Ｔ9）4cos50tan40()A.2B.23C.3D.2212【解题指南】先切化弦，尔后通分化简求解即可.【剖析】选C.4cos50tan404cos50sin404cos50cos40sin40cos40cos404sin40cos40sin402sin80sin402cos10sin(1030)cos40cos40cos4031333312cos10cos10cos10cos10sin10sin10sin10222222cos40cos40cos403cos40cos40

3.（2013·辽宁高考文科·Ｔ6）与（2013·辽宁高考理科·Ｔ6）相同在ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c.若asinBcosCcsinBcosA1b,且2ab,则B(）A.B.C.2D.56363【解题指南】利用正弦定理，将边化为角,借助式子的特点，利用和角公式与相关的引诱公式解决问题【剖析】选A。据正弦定理，设abcsinAsinBk，则sinC1b,整理得aksinA,bksinB,cksinC.将它们代入asinBcosCcsinBcosA1,即sin(A1,又sin(A2sinAcosCcosAsinCC)C)sin(B)sinB,因此122sinB22学必求其心得，业必贵于专精因为ab,因此B必为锐角，因此B.6二、填空题（2013·四川高考文科·Ｔ14)和（2013·四川高考理科·Ｔ13）相同设sin2sin,(,)，则tan2的值是____________。2【解题指南】本题观察的是简单的三角恒等变换，在解题时要注意公式的灵便运用，特别是二倍角公式与同角关系公式.【剖析】依照题意sin2sin，可得2sincossin，可得cos1,tan3，因此tan22tan23321tan22【答案】37。(2013·上海高考理科·T11）若cosxcosysinxsiny1,sin2xsin2y2，则23sin(xy)________1，sin2xsin2y2sin(xy)cos(xy)2y)2【剖析】cos(xy)，故sin(x．233【答案】238.(2013·上海高考文科·T9）若cosxcosy+sinxsiny=1，则cos(2x—2y）=.3【剖析】cosxcosysinxsinycos(xy)1cos2(xy)2cos2(xy)17739【答案】99。（2013·新课标全国Ⅱ高考理科·T15）设θ为第二象限角,若tan41，则sin2θ+cosθ=.【解题指南】利用两角和的正切公式将tan张开化简,经过切化弦，获取目标式sin4θ+cosθ，尔后利用三角函数的性质，求得sinθ+cosθ的值。【剖析】因为θ为第二象限角，tan4=1〉0,因此角θ的终边落在直线y=-x的左侧，23学必求其心得，业必贵于专精sinθ+cosθ〈0由tan4=1，得tan11,即sincos1,，因此设sin21tan2cossin2θ+cosθ=x，则cosθ-sinθ=2x,将这两个式子平方相加得：22，即sinθ+cosθ=10。x=55【答案】105三、解答题10。(2013·辽宁高考文科·Ｔ17)与（2013·辽宁高考理科·Ｔ17)相同设向量a(3sinx,sinx),b(cosx,sinx),x0,.2()若ab,求x的值；( )设函数f(x)ab，求f(x)的最大值。【解题指南】利用向量的坐标运算，将模和数量积问题转变成三角函数问题求解【剖析】()由a(3sinx,sinx),b(cosx,sinx),得a23sinx)2(sinx)24sin22(cosx)2(sinx)21.(x，b又因为ab,因此4sin2x1.又x0,,因此sinx1,x.226()函数f(x)ab(3sinx,sinx)(cosx,sinx)3sinxcosxsin2x32sinxcosx1cos2x3sin2x1cos2x122222cossin2xsincos2x1sin2xcoscos2xsinsin(2x)266666因为x0,,因此2x5，故1sin(2x)1，6622660sin(2x)1322即f(x)的最大值为3.211。(2013·四川高考理科·Ｔ17)在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c，且4学必求其心得，业必贵于专精2cos2ABcosBsin(AB)sinBcos(AC)3．25(1)求cosA的值;（2)若a42，b5，求向量BA在BC方向上的投影．【解题指南】本题解题的打破口在于已知条件2cos2ABcosBsin(AB)sinBcos(AC)3的化简，以及隐含条件在三角形中25内角和为,第(2）问要注意正弦定理与余弦定理的应用.【剖析】(1)由2cos2错误!cosB-sin(A—B）sinB+cos（A+C）=-错误!，得[cos（A—B)+1］cosB-sin（A—B）sinB-cosB=-错误!.即cos（A—B）cosB—sin（A-B)sinB=-错误!。则cos(A-B+B)=-错误!，即cosA=-错误!.(2）由cosA=-错误!,0<A〈π,得sinA=-4。5由正弦定理，有a=错误!,因此，sinB=bsinA2.sinAa2由题知a〉b，则A〉B,故B=.43),依照余弦定理，有(42)2=52+c2-2×5c×(5解得c=1或c=—7（舍去)。故向量BA在BC方向上的投影为|BA｜cosB=2。212.（2013·四川高考文科·Ｔ17）在ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且cos(AB)cosBsin(AB)sin(AC)3.5（Ⅰ)求sinA的值；（Ⅱ)若a42，b5，求向量BA在BC方向上的投影。【解题指南】本题解题的打破口在于已知条件cos(AB)cosBsin(AB)sin(Ac)3的化简，以及隐含条件在三角形中内角和为5,第（Ⅱ）问要注意正弦定理与余弦定理的应用。【剖析】（Ⅰ）由cos(AB)cosBsin(AB)sin(AC)3,得55学必求其心得，业必贵于专精cos(AB)cosBsin(AB)sinB3，则错误!(A-B+B）=-错误!,即错误!A=-错误!.5又因为0A，因此错误!A=错误!(Ⅱ）由正弦定理,有错误!=错误!，因此错误!B=错误!=错误!,由题知a〉b，则A>B,故B=4，则错误!B=错误!.依照余弦定理，有（4错误!）2=52+c2-25c（-错误!），即c2+6c-7=0解得c=1或c=-7（负值舍去)故向量错误!在错误!方向上的投影为|错误!|错误!B=c错误!B=错误!.13。（2013·广东高考理科·Ｔ16)已知函数f(x)2cos(x)，xR。12（1）求f()的值；633（2）若cos)，求f(2)。,(,2523【解题指南】本题观察利用三角函数引诱公式求值和三角恒等变换，特别要注意两角和公式cos()coscossinsin及二倍角公式的应用。【剖析】（1）f()2cos(6)2cos()2cos1；61244（2），f(2)2cos(23)2cos(2)cos2sin23124若3,3,2，cos()52则4，27，2sincos24，sin5cos22cos1sin22525因此)cos2sin217.f(225314。（2013·广东高考文科·Ｔ16）已知函数f(x)2cos(x),xR．12求f( )的值；3（2)若cos33．,,2，求f526【解题指南】本题观察利用三角函数引诱公式求值和三角恒等变换，特别要注意两角和公式6学必求其心得，业必贵于专精cos( )coscossinsin及二倍角公式的应用。【剖析】(1)f32cos32cos1；124（2）因为cos3,3,2，因此sin1cos24，525f=2cos42coscossinsincossin1．6445（2013·湖北高考文科·T18）与（2013·湖北高考理科·Ｔ17）相同在△ABC中，角A，B,C对应的边分别是a,b，c。已知cos2A3cos(BC)1。(Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积S53，b5,求sinBsinC的值。【解题指南】三角恒等变换求cosA，用面积公式和正，余弦定理求解。【剖析】(Ⅰ)由cos2A3cos(BC)1，得2cos2A3cosA20，即(2cosA1)(cosA2)0，解得cosA1或cosA2(舍去).2因为0A，因此Aπ3(Ⅱ）由S11bc33bc53,得bc20。又b5，知c4。bcsinA2422由余弦定理得a2b2c22bccosA25162021,故a21。又由正弦定理得bcbc22035.sinBsinCsinAsinA2sinA2147aaa16.（2013·湖南高考理科·Ｔ17）已知函数f(x)sin(x)cos(x，g(x)2sin2x。623（1）若是第一象限角，且f()33)的值；5.求g(（2）求使f(x)g(x)建立的x的取值会集。【解题指南】第（1)问是利用两角差的正余弦公式和降幂公式以及三角函数给值求值。第（2)问要结合已知关系,化简后解三角不等式.【剖析】f(x)sin(x)cos(x)3sinx1cosx1cosx3sinx3sinx632222g(x)2sin2x1cosx.27学必求其心得，业必贵于专精（1)由f()33，得sin3，由是第一象限角，因此cos0，从而55g()1cos11sin2141.55（2）f(x)g(x)等价于3sinx1cosx，即3sinxcosx1于是sin(x)1，从而2k6x62k5，k∈Z,626即2kx2k2（k）,故使f(x)g(x)建立的x的取值会集为3Zx|2kx2k2,kZ。317。（2013·湖南高考文科·Ｔ16）已知函数f(x)cosx?cos(x)）求f(23（I)的值;3（II）求使f(x)1的取值会集建立的x4【解题指南】本题需要熟练掌握三角引诱公式,特别角的三角函数值,三角恒等变换公式及三角函数性质【剖析】(I）f(2)cos2cos3coscos313334f(x)cosxcos(x)cosx(133cosxsinx)22（II）1cos2x3sinxcosx1(1cos2x)3sin2x22441cos(2x)1234因为f(x)1，因此1cos(2x3)11,即cos(2x)042443于是2k22x32k3,kZ,解得k5xk11,kZ.21212故所求x的取值会集是x|k5xk11,kZ121218.（2013·安徽高考理科·Ｔ16）已知函数f(x)4cosxsinx(0)的最小4正周期为。1）求的值；2）谈论f(x)在区间0,2上的单调性.8学必求其心得，业必贵于专精【解题指南】（1）将函数yf(x)化成y=Asin(ωx+φ)+b的形式，利用最小正周乞求出的值。（2)依照三角函数的图像及性质解答。【剖析】(1）f(x)4cosx.sin(x)22sinx.cosx22cos2x4=2（sin2x+cos2x）2=2sin(2x)+2,因为（x)的最小正周期为，且0,f4因此有π，故=1。2ω=π（2）由（1)知f(x)2sin(2x4)+2，若0x，则42x5，244当42x4，即0x8时,f(x）单调递加；2当2x5，即x时,f（x)单调递减。24482综上所述，f（x）在区间[0,]上单调递加，在区间[8，]上单调递减。8219。（2013·安徽高考文科·Ｔ16）设函数f（x）=sinx+sin(x+3）.（Ⅰ）求f（x）的最小值,并求使f（x）获取最小值的x的会集；（Ⅱ）不画图,说明函数y=f(x)的图像可由y=sinx的图像经过怎样的变化的获取。【解题指南】将函数yf(x)化成一个角的三角函数的形式，依照三角函数的图像及性质与三角函数图像的变换解答.【剖析】（Ⅰ）因为f(x)sinx1sinx3cosx3sinx3cosx2222=3sin）,因此当x=2k,即x=2k2z）时，f（x)获取最小值6623-3，此时