二面角求法课件-高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

8.6.3平面与平面垂直（3）——二面角lABβα．P．Q

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．二面角的记法：①二面角α-AB-β；②二面角P-AB-Q；③二面角α-l-β或P-l-Q．

在二面角α-l-β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．

二面角的大小用它的平面角来度量.

二面角的平面角θ的取值范围为0o≤θ≤180o．1.求二面角大小的步骤：(1)作—作出平面角；(2)证—明所作的角满足定义，即为所求二面角证的平面角；(3)求—将作出的角放在三角形中，计算出平面角的大小.简称为“一作二证三求解”.2.作出二面角的平面角的方法：方法一：(定义法)在二面角的棱上找一个特殊点O，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线OA，OB.如图所示，∠AOB为二面角α-­a­-β的平面角．解

取AB的中点D，连接VD，CD，∵△VAB中，VA＝VB＝AB＝2，∴△VAB为等边三角形，∴∠VDC为二面角V－AB－C的平面角，而△VDC是等边三角形，∠VDC＝60°，∴二面角V－AB－C的大小为60°.例1

在三棱锥V－ABC中，VA＝AB＝VB＝AC＝BC＝2，VC＝

，求二面角V－AB－C的大小.D90°OBPCA

练习2

如图所示，在正方体ABCD-A'B'C'D'中，E为棱CC'中点，求二面角A'-BD-E的大小．例2

如图，已知PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=3，

AB=2，AC=求二面角P-BC-A的余弦值.方法二：(垂线法)在一个平面内选一点A向另一平面作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连结AO，则∠AOB就是二面角的平面角.AOaABPCDB解：例2

如图，已知PA⊥平面ABC，AB⊥AC，PA=3，

AB=2，AC=求二面角P-BC-A的余弦值.ABPCD过点A作AD⊥BC，垂足为D，连接PD.∴BC⊥平面PAD.∴BC⊥PD.∴PA⊥BC.又PD∩AD=D，∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC，∴∠PDA是二面角P-BC-A的平面角.在Rt△ABC中易得BC=4.解得AD=在Rt△PAD中易得PD=∴cos∠PDA=∴二面角P-BC-A的余弦值为.OABPC取AB的中点为E，连PE，OE∵O为AC中点，∠ABC=90º∴OE∥BC且

OEBC在Rt△POE中，OE

，PO∴∴所求的二面角P-AB-C的正切值为∴∠PEO为二面角P-AB-C的平面角在Rt△PBE中，BE，PB=1，PEOE⊥AB，因此PE⊥ABE解：EOP练习3

如图，三棱锥P-ABC的顶点P在底面ABC上的射影是底面Rt△ABC斜边AC的中点O，若PB=AB=1，BC=，求二面角P-AB-C的正切值。练习4E练习5

如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，且平面PAB⊥平面ABCD．PA=PB=AB=2，求二面角P-AC-B的余弦值．方法三：(垂面法)过棱上一点O作垂直于棱的平面γ，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角．

如图所示，∠AOB为二面角α-­l­-β的平面角．方法三：(垂面法)过棱上一点O作垂直于棱的平面γ，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角即为二面角的平面角．