考研数学真题大串讲

大串讲主讲教师：高昆轮梳理体系，查缺补漏答题技巧：@考研数学高老师三、一元函数积分学主要内容：不定积分、定积分、反常积分的概念、性质及存在性，不定积分、定积分、反常积分的计算，变限积分，积分有关的证明题（等式、不等式），定积分的应用（几何、物理、经济）。1.原函数的存在性与函数的可积性，反常积分的敛散性.

f

t

dt,则0例1

2013,

F

x

2,

sin

x,

0

x

x数二

设函数f

x

x

2

A

x

是F

x的跳跃间断点C

F

x在x

处连续但不可导

B

x

是F

x的可去间断点D

F

x在x

可导注：1）连续函数必有原函数；2）有第一类间断点（跳跃、可去）的函数在包含该间断点的任何区间内都没有原函数；f

xaxcxcF+

c

lim

f

x

AF

c

lim

f

x

A

;xax

c若是则F

x

=

f

tx

c是F

x

=

f

t

dt的尖点.x

c则F

x

xaxcFc

lim

f

x

Af

tf

x在a,b上连续,则f

x在a,b上可积f

x在a,b上有界且只有有限个间断点,则f

x在a,b上可积

A

BC

2222D

例（2

2015数二）下列反常积分收敛的是

1

dx

ln

xdx

1

dxx

ln

x

x

dx

exxx1995数三下列广义积分发散的是

AC

D

2e

x

dx011x

ln2

x1

x21sin

xdx

dxB1dx2

f

xdx收敛;

f

x

g

xdx同敛散.aaaa0

g

x

aaax3）limg x

dxg x

dxf x

dxg

xf

xdx收敛

f

xdx发散；注:1)a

f

xdx收敛,则2）0

f

x

g x

,且收敛,则f x

,且发散,则

a

0,则与x

exx

时,ln

x1

dx0

x

pp

1收敛;p

1发散;p

1收敛；p

1发散.x

p

dx1x

ln

x

=1,

dx

2

1,

,收敛

1,

,发散

1,收敛

1,发散1x

ln

1

x1,

x

e

A

2

B

2

C

2

0

D0

2,1

x

e,

若反常积分1

f

xdx收敛,则

x

1

12013数二

f

x

BC

x

ln

x2x

ln

xe

Ae

l

dxex1987数三

ln

xdxn

x1

m

ln2

1

x例32010数一数二设m,n均是正整数,则反常积分0dx的敛散性

A仅与m有关

B仅与n有关

C

与m,n都有关

D与m,n都无关20021221

21

200dx,n

x2111

2

1,收敛n

xn

xxm1xn

xn

mn

x1

m

ln2

1

xxn

mn

mdx同敛散,

且p

1

m

ln2

1

x

1

m

ln2

1

x1

m

ln2

1

xdx

m

ln2

1

x

dx

1,故dx与分析:0和1都是瑕点,x

0

时,11

x

2

m

ln2

1

x=

ln

m

1

x,

ln

1

x

2则ln

m

1

x

2,

0,11

xm2n

xn

xm

ln2

1

xx

1

时,m,

0,p

1,收敛2.不定积分、定积分、反常积分的计算1）不定积分的计算（凑微分、换元、分部、有理函数、三角有理函数等）常用的凑微分思想:x2x

exx1几个常用的凑微分公式,

1

dx

2dx;1

dx

d

1

;1

dx

e

xdx

de

x

.（..广义化）2对被积函数中复杂部分求导,看出凑谁的微分.常用的换元思想:三角代换、倒代换、根式代换、复杂部分整体代换...分部积分法：适用的函数类特点（两类不同函数的乘积）u,

v的选取原则（ 、幂、三、指）分部积分的结果(直接得出结果型、得到循环积分型、得到递推积分型）有理函数积分：分解部分分式之和的理论;三角有1若R

sin

x,cos

x2若R

sin

x,cos

x

R

sin

x3若R

sin

x,cos

x

R

sinx,cos

x,往往注意常用的三角公式对被积函数作化简变形考试中不定积分往往都是某几种方法结合一起，如先凑微分，再分部或者换元，最后再有理函数分解等，要灵活结合，但不必研究过于复杂、技巧的不定积分.x例4

2011数三求不定积分

arcsin

x

ln

xdx分析:

I

2arcsin

x

ln

xd

x1

x

2

x

arcsin

x

ln

x

d

1

x

4

x另:

x

t,则I

2arcsin

tdt

4ln

tdt

sin

x1

x（2002数三）f

sin2

x

x

,

求

x

f

x

dx

arcsin

xx分析:易求得f

x

dxarcsin

x1

x,于是I

=

2arcsinxd

1

x

d

1

xarcsin

x1

x

例5(2002数二）（局部）xex12

exdxd

ex

1x12

ex1

exxex

xd

1

1dx1

exdx1

exexdx1

ex

exdx1

ex2

dx

xe

x1

e

x

1996数三

e

xdx1

e

x

1

e

xde

x

x

ln

1

e

Carcsin

exexx

xdx

arcsin

e

de

例62006数二

1996数二

exdx

arc

cot

exexx

xdx

arc

cot

e

de

1992数三

1arctan

exe2

xx

2

xdx

arctan

e

de

22001数一

xearctan

x232例（7

2003数二）1

xdxarctan

x2

2arctan

xearctan

x

earctan

x1

x

1

x直接凑微分不方便,考场复杂部分earctan

x的导数,于是

dx

de

,e

xearctan

x1

x2

2xearctan

xarctan

xxearctan

x

earctan

xarctan

x3

dx=de

2

23

dx

2de211

x

1

x1

x2

21

x1

xx

31

x2

1

x2221

xarctan

x

arctan

x

arctanx

xe

e

xedx分部积分的循环积分型xearctan

x3

dx1

x22例8.例（7

2003数二）2322et

tan

t分析:作换元x

tan

t,则I

1

tan

ttsec

tdt

e

sin

tdt

典型的分部积分循环积分型例（9

2009数二，数三）x1

x

dx

ln

1分析:作换元t=x1

xdx11

t

t

2xt

21

x

1

ln(1

t)1

1

ln

1dx

ln

1

t

d

t

211t2

ln(1

t)

12

t2

dx

sin

2x

2

sin

x例10

1994数一数二分析:R

sin

x,cos

x

=11sin

2x

2sin

x

2sin

x(cos

x

1)2

1

cos2

x(cos

x

1)R

sin

x,cos

x

R

sin

x,cos

x,凑d

cos

xI

dx

2sin

x(cos

x

1)2241

t2

(1

t)

1

t

2

(1

t)

1

dt

1

1

t

(1

t)

dt

14

2

另:I

x2sin

costan

costand

tan

2x1

tan2

x2

dx

1

dx

14x

3

x22d

tan

xx

2

x222sin

x(cos

x

1)

81

t

22t2,

cos

x

1

t2,

dx

1

t

2x1

t2另：利用万能代换,tan

t,则sin

x2dxI

1

1

t

dt

4

t三角有理函数的积分，一方面试着看合适凑什么微分，另一方面利用其恒等变形如1

sin2

x

cos2

x,cos

2x

cos2

x

sin2

x

2

cos2

x

1

1

2

sin2

x,2）定积分的计算（基本方法、基本公式；特色方法）

2

220002023

02220014

sinn是奇数xdx,n是偶数4nnnn2

cos

xdx,

nnnn2nsinn

x

cosn

xdx

2nsin

xdxn是奇数sin

xdx

cos

xdx

sinn

xdx

2

2

sinn

xdx

00

0,

0,cos

xdx

0

0sin

xdx

cos

xdx

基本常用公式是偶数

f

cos

x

dxf

b

a

x

dx9

002200011005xf

sin

x dx

f

sin

x

dx26f

sin

x

dx

aaf

xdx

f

x

f

x

dx

a7

bba8

af

xdx

nmmnx

1

x dx

x

1

x

dx例1（1

1989数二）t

sin

tdt00sin

tdt2

公式522002x3

sin2

xco01

2

2

82

2

sin2

x

cos2

xdx

2

22

公式41990数二10x

1

xdx

1120=

x

1x dx

公式9例12

1995局部22sin

x

arctan

exdx

0202x sin

x

arctan

e

arctan

e

x

dx

2

(sin

x

arctan

ex

sin

x

arctan

e

x

)dx

公式7202014数二数三（二重积分局部）dcos

cos

sin200(2cos

sinsinsin

cos4)d

12 cos

sin

sin

cosd

公式601x

arcsin

xdx

例1（2

1987数二）1120arcsin

xd

x21102x

10

1211

arcsin

x2

1

1

x2dx1

x211

x2

dx

1

1

2

4

8012例132012数一120x

2x

x dx

120x

1

x

1

dx

220x

111

x

1

dx

22200x

1

1

x

1

dx

21

x

12

dx

1

0

t0例1（4

1995数二）

sin

txf

x

dt,

计算

f x

dx变限积分的定积分一般是两种方式处理1）分部积分（取变限积分作为u);2)化为二重积分,交换次序.

000分析:I

sin

xdx

2

x

0f x

dx

xf

x

sin

t

dt

x

sin

x

dx

t

x

x0

0

xf x

dx

000sin

t

t分析:I

t

dt

2

xf x

dxdx

dt

sin

t

t0

dt dx

sin

t

t0

t

2013数一10分1

f

xdtx

ln

1

t

计算0dx,其中f

x

1xt8

2

4

ln

23）反常积分的计算212dx2

x

x例1（5

1998数二）33

211122dxdxx

x2

x

x1a2x2

x2

a2dx;

1

dx2

dxxe

x例16

1996数三

x1

e00xd0111

e

x1

e

x1

e

xxdx

01x

ln

1

e

Cxxe

x

x1

e先计算不定积分2

dx

xd

1

e

x

1

e

x

0

x

xxlim

x

ln

1

e1

e+022000011dx=1

e

x

xe

xxexxdx

1

ex

xd

1

ex

1

ex

1

ex

dx

另：3.变限积分函数1）求导

f

t

dt0a.F

xx

0b.F

xxf tx

dt

,

F

x

10c.F

x

0xxf t

dt

f

txdt10

xf tx

dt

1997数一数二奇偶性，周期性等价代换原理（见第一串讲）分段函数的变限积分（分段函数的不定积分）

sin

txF

x

例1（7

1997数一数二）x2e

sin

tdt,则F

x

A为正常数

B为负常数

C

恒为0

D不为常数1

2

30例1（8

2012数一数二）kk

2I

ex

sin

xdx,则I

，I

,I

2baa1

0

g t

dt

x

a

,

x

a,

ba

g

t

dtbaaf x

dx

f x

g

x

dx4.积分有关的综合题（证明题）（常数变量化引入变限积分；积分的性质；分部积分与变量替换；泰勒公式或牛顿-莱布尼茨公式）例1（9

2014数二数三）f

x,g

x在a,b上连续,且f

x单独增,0

g

x

1,证明x

证明:

(1)0

g

x

1

0

xxaag t

dt

1dt

x

a,

x

a,b

xa另：h

x

=

x

a

g t

dt，h

a

0h

x

1

g

x

0，故h

x在a,b上单增

h

x

h

a

0

.xxaaxag

t

dtf因g

x

0,故只需证明x

fF

x

f

x

g

x

f a

g

t

dt

g

x

g

x

f

x

f a

a

目标证明F

b

0,又F

a

0,故只需证明F

x在a,b上单增；g

t

dt

0,x

a,b

即可

f

t

dt

b

x,常数不等式证明:常数变量化

2

令F

x

xaxa

g

t

dtaaf t

g

t dt

由1

0

xxaag t

dt

x

a

a

a

g t

dt

xf

x单调增例2（0

2005数三）设f

x,g

x在0,1上的导数连续,且f

0

0,f

x

0,g

x

0,证明:对a

0,1有

00a

1g

x

f

x dx

f x

g

x dx

f

a g

1

.

100xf t

g

t dt

f

x

g

1

,

x

0,1分析；令F

x

=

g

t

f

t dt

目标证明F

x

0,又F1

0,于是只需证明F

x在0,1上单调减即可.F

x

g

x

f由于f

x

0,g

x

0,故F

x

0,F

x在

a00000a

aaag x

dfx

f

x

g

x

f x

g

x

dx

f

a

g

a

f x

g

x

dx

另：

g

x

f

x

dx

1100001aaa=f

a

g

a

+

f

x

g

xdxf x

gf x

g

xdx+

f x

g

x

dxx

dx=f

a

g

a

于是左端

g

x

f

x dx

f

x

0,f

x在0,1上单调增,则故f

x

g

x

f

a

g

x

11aag

a

进而,

f x

g x

dx

f a

g x

dx

f

a

g

1

1a

所以f

a

g

a

+

f

x

g x

dx

f

a

g

a

f

a

g

1

g

a

f

a

g

1

1100001a00a

11aaaaaaaf

x

g

xf x

g x

dx

f

a

g

a

f x

g x

dxf x

g x

dx

f x

g x

dxf

x

g

x

dx

f x

g x

dx

f

x

g x

另:

g x

f x

dx

f x

g x

dx

g x

f x

dx

11aaf

a

g

a

ff x

g

x

dxx

g

x dx

f

a g

1

f

a

g

a

g

1

111aaa

f

agf

xx

dx

g

x dx

g

x

f

x

f a

dx1993数二设f

x在0,a上连续,且f

0

0,证明:

202aMaf x

dx,

其中M

=

max

f

x分析:f

x

f

0

Ma200002a

aaaf

x

dxf

xdx

x

f

xMdx

dx

0f

0

分析2：f

x

xf t

dt

000xxxf

xf

tfdt

t dt

Mdt

Mx

Ma2002aaf

x

dxMxdx

0af

xd

x

a

x

a

f

xa0000a分析3：

f

xdx

a

a

x

a

f

x

dx

a

x

f

xdx

Ma20

0002aaaaf x

dxM a

x

dxa

x

f

x dx

a

x

f

x dx

故关系的手段常有以下三种：a

x

b之注：联系f

x与f

x两者1拉格朗日中若有f

a

0,则进一步2牛顿-莱布尼茨公式

f

f

x

(x

a)

f

,x

若有f

a

0,则进一步

f

x

3

f

a

0;

dt,如本题分析2af

t

dt,xaf

tx

f

a

b

bbbbaaaaaf x

d

xf x

dx

b

x

b

f

xx

b

f x

dx

b

x

fx

dx,如分析3

f

x

dx

n

1,

2,

3,1例2（1

1999数二）n,

a

n

k

1f x

是0,

上单调减少且非负的连续函数证明数列an

的极限存在nf

k

1nk

1nna

f

k

f x

dx

f

xdxn1k

1k

1nk

1kf

k

kk

1k

1f

k

f

xdx

f

nn1

n1

f

k

f

f

nk

1f

x单调减少且非负