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二阶电路分析——LC震荡的推导如图9.16所示，RLC串联电路零输入响应的数学分析依KVL，得u u u 0R L C按图9.16中标定的电压，电流参考方向有iCduCdtu RiRCduCC dtu LdiLC

d2uCL将以上各式代入KVL方程，便可以得出以u

dt dt2为响应变量的微分方程，为CCLCd2uC

RCduCu

（9.10）dt2 dt C式（9.10）为一常系数二阶线性齐次微分方程，其特征方程为LCp2RCp10其特征根为R R2 1p 221,2

2L 2L LC 0式中：R/2L称为衰减系数； 1/ LC称为固有振荡角频率。0几种不同情况的讨论当(R/2L)2>1/LCpp1 2

为不相等的负实根，称为过阻尼情况。特征根为p1,2

a a220微分方程的通解为u AeptAept

（9.11）1 2C 1 2AA1 2

由初始条件来确定，其方法是：当t0

时刻，则由式(9.11)可得u AAC 1 2对式(9.12)求导，可得t0

时刻uC

t对t的导数的初始值为

du u 0 C

Cdtt0

Ap1

Ap2

C(9.12)和式(9.13AA。1 2根据式(9.11)可知，零输入响应uC

t是随时间按指数规律衰减的，为非振荡性质。uC

t的波形如图9.17所示。（2）.当/2L21/LC时，p 、p1 2

为相等的负实根，称为临界阻尼情况。特征根为pp1

a微分方程的通解为u C 1

Atat2AA1 2

由初始条件u C

和uC

来确定。uC

的波形图根据式(9.13)可知，这种情况的响应也是非振荡的。(3pp1 2为

为具有负实部的共轭复根，称为欠阻尼情况。待征根p Rj

2

j1,2其中

2L LC 2L d 1

2d LC 2L 0称为阻尼振荡角频率。微分方程的通解为u Aetsin(C

t)其中常数A和妒由初始条件确定。(9.15)可知，响应随时间变化的规律具有衰减的振荡特性，它的Aet越大则衰减就越快。衰减振荡的角频率为T2/就越小。dut9.18所示。C

， 越大，则振荡周期d d（4R=Op1

为一对共轭虚根，称为无阻尼情况。特征根为2p j0相应的表达式为ut AsintC 0其中A和可以直接由初始条件确定。uC

t9.19所示。从式(9.l6)和ut的波形图可知，电路的零输入响应是不衰减的正弦C振荡，其角频率为。由于电路电阻为零，故称为无阻尼等幅振荡情况。0以上几种情况的物理意义电容和电感都是储能元件，只有电阻是耗能元件。电容放电时它所储存的电场能量，一部分消耗在电阻中，一部分转移到电感储存于磁场中。在过阻尼情况下，由于R较大，能量消耗极为迅速，因此电感获得的磁场能量不uC是单调下降的，形成非振荡的放电过程。在欠阻尼情况下，由于R较小，电容放电时，被电阻消耗的能量较少，大部分电

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