期末高等数学(上)试题

第一学期期末高等数学试卷一、解答以下各题（本大题共16小题,总计80分）1、（本小题5分）求极限limx312x1639x212x42、(本小题5x22x分）求x22dx.(1x)3、（本小题5分)求极限limarctanxarcsin1xx4、(本小题5分)求xdx.x15、(本小题5分)求dx21t2dt．dx06、(本小题5分）求cot6xcsc4xdx.7、(本小题5分）21cos1dx．求1x2x8、（本小题5分）xetcost2y(x),求dy．设确定了函数yye2tsintdx9、（本小题5分)3求x1xdx．010、(本小题5分）求函数y42xx2的单调区间11、(本小题5分）求2sinxdx．sin208x12、(本小题5分)设xt)ekt(3cost4sint，求dx．()13、(本小题5分)设函数yyx由方程y2lny2x6所确定,求dy．( )dx14、（本小题5分）求函数yexex的极值215、(本小题5分)求极限lim(x1)2(2x1)2(3x1)2(10x1)2x16、（本小题5分）

(10x1)(11x1)求cos2xdx.sinxcosx1二、解答以下各题（本大题共2小题，总计14分）第1页，共7页1、（本小题7分）某农场需建一个面积为512平方米的矩形的晒谷场,一边可用原来的石条围沿,另三边需砌新石条围沿,问晒谷场的长和宽各为多少时,才能使资料最省.2、(本小题7分)求由曲线yx2和yx3所围成的平面图形绕ox轴旋转所得的旋转体的体积.28三、解答以下各题(本大题6分)设f(x)x(x1)(x2)(x3),证明f(x)0有且仅有三个实根.一学期期末高数考试(答案)一、解答以下各题（本大题共16小题,总计77分）1、（本小题3分)解:原式lim3x212218x12x26x6xlim212x1822、（本小题3分)dx(1x2)21d(1x2)2(1x2)211c.21x23、（本小题3分）由于arctanx2而limarcsin10xx故limarctanxarcsin10xx4、(本小题3分)xdxxx1dx1xdxdx1xxln1xc.5、(本小题3分)原式2x1x46、(本小题4分)cot6xcsc4xdxcot6x(1cot2x)d(cotx)第2页，共7页2tsint2)1cot7x1cot9xc.797、（本小题4分)211原式1cosd( )xx1sin

2118、(本小题4分)解：dye2t(2sintdxet(cost2et(2sint(cost2

cost)2tsint2)cost)9、(本小题4分）令1xu2原式2(u4u2)du12(u5u3)12531161510、(本小题5分)函数定义域(,)y22x2(1x)当x1，y0当x，y函数单调增区间为,110当x，y函数的单调减区间为1,1011、(本小题5分)原式2dcosx09cos2x3cosx2ln63cosx01ln2612、(本小题6分)dxx(t)dtekt(43k)cost(4k3)sintdt13、(本小题6分）2yy2y6x5y

y3yx5y2114、(本小题6分)定义域(，),且连续2ex(e2x1)2第3页，共7页驻点：x1ln122由于y2exex0故函数有极小值,,y(1ln1)2215、(本小题8分）22(11)2(21)2(31)2(101)2原式limxxxxx(101)(111)xx101121610117216、（本小题10分）解:cos2xdxcos2xdx1sin2x1sinxcosx1d(12sin2x1)21sin2x112sin2xcln12二、解答以下各题(本大题共2小题，总计13分）1、(本小题5分）设晒谷场宽为x,则长为512米,新砌石条围沿的总长为xL2x512(x0)xL2512唯一驻点x16x2L10240即x16为极小值点x3故晒谷场宽为16米,长为51232米时,可使新砌石条围沿16所用资料最省2、（本小题8分）解:x2x3,22x3x10,x14.288xVx4(x2)2(x3)2dx4x4x600()dx28464(11x5411x7)45647044(11)5125735三、解答以下各题(本大题10分)证明:f(x)在(,)连续,可导,从而在[0,3];连续,可导.第4页，共7页又f(0)f(1)f(2)f(3)0则分别在[01,],[12,],[2,3]上对f(x)应用罗尔定理得,最少存在1(01,),2(12,),3(2,3)使f(1)f(2)f(3)0即f(x)0最少有三个实根,又f(x)0,是三次方程,它至多有三个实根,由上述f(x)有且仅有三个实根参照答案一。填空题（每题3分，本题共15分）1、e62、k=1．3、1x4、y15、f(x)2cos2xx二．单项选择题(每题3分,本题共15分）1、D2、B3、C4、B5、A三．计算题（本题共56分，每题7分）1。解：lim4x2limx1lim2x1sin2x4x2)4x2)8x0x0sin2x(2x0sin2x(2.解：lim(11)ex1xlimex1limex1xexlim1)1xexexxex2x01x0x(exx0exx0excosxet2dt23、解：lim1x2limsinxecosx1x0x02x2e4、解：y1(11)1x1x21x21x2dy111t25、解：2t2tdx1t22yddy11t2ddx2t2()dx2dxdt2t4t3dt1t26、解：1sin(23)dx1sin(23)d(23)1cos(23)Cx2x2x32x7、解：excosxdxcosxdex第5页，共7页excosxexsinxdxexcosxsinxdexexcosxexsinxexcosxdxex(sinxcosx)C210f(x)dx18、解：f(x1)dxf(x)dxf(x)dx01100dx1dx11ex01x0ex1(1x)dxln(1x)01e11ln(1ex)0ln211ln(1e1)ln(1e)四．应用题（本题7分）解：曲线yx2与xy2的交点为(1，1)，于是曲线yx2与xy2所围成图形的面积A为131x2]10A(xx2)dx[2x210333A绕y轴旋转所产生的旋转体的体积为:1y2y51V(y)2y4dy0250

310五、证明题（本题7分）证明：设F(x)f(x)x，