内容教程课件

2.6无穷小的1无穷小量趋于零的速度有很

x

x2

sinx,

x2sin1x

是无穷小x0

x

x比xx0

x与x大致相x2sin1lim x0 x

limsinx0

不存在

2

如果lim

0,就说是比高阶的无穷o(如果lim

C

0),就说与是同阶的无穷特殊地如果lim

1,则称与是等价的记作~如果lim C(C0,k0),就说是的k阶的无穷小31如limn2

limn

11n2

高阶无穷 1o1 n2 n1x

x100

x

100

1是100 x因为lim1cos

1

同阶无穷x0

x2

时,1cosx是x2的同阶无穷或1

x是x

2阶无穷4例证明:当x时,4x

解

4xtan3x

lim4tan3

时,4x

x为xx

4xtan3x

4x0

x

故当x

时,4x

x为x5当x,求tanxsinxx tan

sin

x(1

x)

xsin

x1cosx

1x0 x

x0 x

x

x为x的如果lim

1,则称与记作~6x0x0

sinxxtanxx

sinxtanx

x(x(

x0

x

x

arcsinx

x(

x0

arctanxx

arctanx

x(

1cosx

1

cosx

1x2(

x0

1x2 x0

ln(1x

x)

x0

1ln(1x)x1limln(1

x) ln(1

x)

x(

limx0

exx

uex

ln(1u)ex

1

x(

8

m1x

umx

umx0 1m

u1

um

um

m1 m1

1x(x

9常用等价无穷

sinx~x,

arcsinx~x,

tanx~x,

arctanx~x,ln(1

x)~x,

ex1~x,

1cosx

1x2m1

1~1m定理(等价无穷小替换设~

~且

存在

则lim

lim

lim(

)

lim

代替.给00x0

tan2x.sin5x解当

tanx~

sinx~x,tan2

~2

sin5

~5x,原式

lim2x2x05 求x0

12xm12xm1x1~1m(x当

0时

1

12x22arcsinx~x

arctanx~x 12x2原式

lim

6x0

x mm1x1~1m(x(1x2)3 x0 cosx解推论(等价替换乘除因设~

则

(

lim

f(x)f(

f(x)f(x)sinx~x,

x(

x0

xsinx

x0

x

1x例x0

ax1x

x0

exlnax

axelnaxaxelnaxex

x(

x0

xlnx

lnax

1

x

a(

等价替换和差因子不一定成sinsinx~x,tanx~原式limxx0x3limtanxsinxx3例求 3x0 解原

x1x2lim x0 x3例

tan5x

xx0

sin3tanx~tanx~x,sinx~x,1cosx~1x22

cosx0sin3

x

sin3lim5

1x2

5x03 x 3 但

xsin

tan

sin x3

x0 x3

x0 x3limx0x2

limx0x2

定理~

o(

o(证明~

lim

lim

lim(

1)

o(

o(例如

sinx~

1cosx

1x2sinx

xo(x), 1cosx

1x22

o(x2

2

x2)

o(x2~o()~

x2x2

~x,xxx xxsinxx2

~

~ln(1x)~x,ln(1x)~x,x)~ x例例时解ln(1x)~x,~o(ln(1x)xo(x)x)~xx)x)xln(1x)~xln(1x)~x,1x1xxx0

1xxxx

x

1

1 xxxxlim1 xxxxx011求lim1

2sinx0解

tan111

2sin

ln(12

x)

2sinx0

tan

x0

tan1[xo(x)]2[xo(x)] lim

lim(5

o(x))x0 x0 ~o(ln(1ln(1x)~x,sinx~x,tanx~x,ln(1ln(1x)~x,sinx~x,tanx~1求1

2sin1解1

tan11

2sin

lim

2sinx0

tan

x0 tan

tan1

ln(1x)

2

sin2

tan

x0

tan1limx2x0

2lim x0 求

x0

11xx21xx2o()~m1x1~1m(x解1当11xx

1)

1(x2

x2)

1x,2(x3

sin2x)

sin2x1

2x.1x1xx2

1

lim

1

sin2x

x0 2

x0

11xx2x1xx2x1x1~12解2当

1)11xx

1(x2

x21xx2 1xx2

lim sin2x

x0x3sin21 lim

x2

sin2x 2x

0时kx2与

1xarcsinxcos是等价无,则kcos11xarcsincos1子有理1子有理2 2x0 lim1x0

xarcsin

cosx 1xarcsinxcos1xarcsinxcos

xarcsin

cos2k x21

xarcsin

lim1

1(1

1)2k

x234

0时,等价的无穷小1e等价的无穷小

x3

x2

1

1 x. ex