2016届高三一轮复习步步高光盘-理科-全书课件平面向量数量积

数 A（理 基础知识·自主学题型分类·深度剖思想方法·感悟提平面向量的数量已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数|a||b|cos叫做a与b的数量积(或内积)，记

a·b＝|a||b|cos 规定：零向量与任一向量的数量积为0两个非零向量a与b垂直的充要条件

，两个非零向量a与b平行的充要条件

a·b＝±|a||b|平面向量数量积的几何意平面向量数量积的重要性

|b|cos

|a|cosθ非零向量

a·b＝0当a与b同向时，a·b＝当a与bcosθ＝|a||b||a·b|≤

a·b＝b·a(交换律(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝(λb)(λ为实数(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c平面向量数量积有关性质的坐标表设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝

或

设A(x，y)，B(x，y)，则A、B两点间的距离|AB|＝|.设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则思考辨判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.(√算的运算结果是向量.(△ABCO，满足＝0，且 →

OB·OC，则△ABC一定是等腰三角形.(在四边形ABCD中→＝且→→＝0，则四边 ABCD为矩形.(×2两个向量的夹角的范围是[0，π].( 2已知a＝(λ，2λ)，b＝(3λ，2)，如果a与b3则λ的取值范围是λ<－4或λ>0.(×31C2D345解 设向量a与向量a＋2b的夹角为∵|a＋2b|2＝4＋4＋4a·b＝8＋8cos (a＋2b)＝|a|·|a＋2b|·cos 3cos 3cos又a＋2b)＝a2＋2a·b＝4＋4cos2 3cosθ＝6，cosθ＝2题型面向量数量积运例 (1)(2013·)已知点B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)AB在CD方向AB在CD方向上的投影为 2 22C. 2

22 22题型面向量数量积

解 答 思维升运 例 )已知点 B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)

∴AB在CD方向上的投影为→→量

AB在CD方向上的投影为

→ 2 2

22 222C. 2

2＝2题型面向量数量积

解 答 思维升运 例 )已知点 B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)

∴AB在CD方向上的投影为→→量

AB在CD方向上的投影为 A

→ 2 2

22 222C. 2

2＝2题型面向量数量积运例 (1)(2013·)已知点B(1,2)、C(－2，－1)、D(3,4)AB在CD方向上的AB在CD方向上的投影为A)

解 答 思维升向量的坐标运算；利用2 2

222

量积的几何意义2C. 2

例1 (2)已知正方形ABCD的 的最大值为 例 (2)已知正方形ABCD

解 答 思维升 E(t,0)，t∈[0,1]，则＝(t，－1) 所以→→例 (2)已知正方形ABCD

解 答 思维升所以→故→DE·DC 由图知，无论E点在哪个位置，→→CB→∴→ 当E运动到B在方向上的投影最大即为 例1 (2)已知正方形ABCD的 的最大值为 例1 (2)已知正方形ABCD的 的最大值为

解 答 思维升训练 (1)已知平面向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，|a|＝2，|b|＝3，a·b＝－6.则x1＋y1的值为( 解 由已知得，向量a＝(x1，y1)与b＝(x2，y2)反向得x ，y

26 26 ∵→→

∴→|AB|·|AC|·cos即∴→

→→ →

→→→|BC|＝|AC－AB|

≥→ →∴ 解 答 思维升题型二求向量的模与夹2例2 (1)若平面向量a与平面向2则2a－b与a＋2b的夹角的余弦 B.－ D.－题型二求向量的模与夹例 (1)若平面向量a与平面向

解 答 思维升(1)记向量2a－b与a＋2b的量b的夹角等于π，|a|＝2，|b|＝3又(2ab)2＝4×2232323则2a－b与a＋2b的夹角的余弦

值等于

(a＋2b)2＝22＋4×32 B.－ C. D.－

4×2×3×cosπ＝52，(2a－b)·(a＋2b)＝2a2－2b233题型二求向量的模与夹例 (1)若平面向量a与平面向

解 答 思维升量b的夹角等于π，|a|＝2，|b|＝3，故 θ＝2则2a－b与a＋2b的夹角的余弦

＝－1

值等于 B.－

即2a－b与a＋2b的夹角的余弦值是1 D.－ 题型二求向量的模与夹例 (1)若平面向量a与平面向

解 答 思维升量b的夹角等于π，|a|＝2，|b|＝3，故 θ＝2则2a－b与a＋2b的夹角的余弦

＝－1

值等于 B.－

即2a－b与a＋2b的夹角的余弦值是1 D.－ 题型二求向量的模与夹2例2 (1)若平面向量a与平面向2则2a－b与a＋2b的夹角的余弦

解 答 思维升(1)在数量积的基本运算义、模、夹角等值等于11

－D.－

其对|a|＝a·a要引起足够例2 (2)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则 例2 (2)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝，则

解 答 思维升(2)∵a，b的夹角为∴a·b＝|a|·|b|cos222

例2 (2)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝

解 答 思维升(2)∵a，b的夹角为∴a·b＝|a|·|b|cos ，则

2222

解 答 思维升例2 (2)已知向量a，b的夹角为45°，且|a|＝1，|2a－b|＝ ，则

(2)要注意向量运算律与例 (3)(2013·山东)已知向 AB与AC120°，且

→|AC|＝2.AP且→→AP⊥BC，则实数λ的 解 答(3)由→→→→例 (3)(2013·山东)已知向

即→ AB与AC120°，且

→ －＝3|AC|＝2.

→ 且→→

＝(λ－1)AB·AC－λA→AP⊥BCλ

＝(λ－

λ×9＋4＝0λ＝7解 答(3)由→→→→例 (3)(2013·山东)已知向

即→ AB与AC120°，且

→ －＝3|AC|＝2.

→ 且→→

＝(λ－1)AB·AC－λA→AP⊥BCλ7

＝(λ－

－2 λ×9＋4＝0λ＝7训练2 (1)(2013·)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点.若→→＝1，则AB的长 解 (1)在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则→＝→∴→ →1

BE＝FD＝AD－2AB，又∴→ →1＝→ 1→ →→1→AD＝→

1→

1→

＋2|AD||AB|cos 1 1→

→

2答 2(2)(2014·江西)已知单位向量e与e的夹角为α，且cosα＝1，向 量a＝3e1－2e2与b＝3e1－e2的夹角为β，则cos 解

3 3

33 33∴cos 3，题型三数量积的综合应用例3 已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)，若m∥n，求证：△ABC为等题型三数量积的综合应用例3 已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)(1)若m∥n，求证：△ABC为等

思维点拨解析，由m∥n可得△ABC的边角关系，再利用正弦定理边，题型三数量积的综合应用例3 已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设向量m＝(a，b)，n＝(sinB，sinA)(1)若m∥n，求证：△ABC为等

思维点 解 思维升(1)证 ∴asinA＝bsin，即a·a＝b·b，其中R是，∴△ABC为等腰三角形题型三数量积的综合应用例3 已知△ABC的角A、B、C所对的边分别是a、b、c，设量m＝(a，b)，n＝(sinB，sin(1)若m∥n，求证：△ABC为等

思维点拨解析解决以向量为载体考查三角形问题时，正弦定理、余弦定理、面积公式的应用、边与角之间的互化是判断三角形形例 3C＝π，求△ABC的面积3例 3C＝π，求△ABC的面积3

思维点拨解析用余弦定理得ab，代入面例 3C＝π，求△ABC的面积3

思维点 解 思维升 即

2absinC＝2×4×sin例 3C＝π，求△ABC的面积3

思维点拨解析解决以向量为载体考查三角形问题时，正弦定理、余弦定理、面积公式的应用、边与角之间的互化是判断三角形形3训练3已知向量m＝(2sin(ωx＋π)，1)，n＝(2cos3 3＝4sin(ωx＋π)cos 3＝2sinωxcos ＝sin2ωx＋3cos333因为T＝2π＝π，所以ω＝1.3由2kππ≤2xπ≤2kππ(k∈Z得kπ5π≤x≤kπ π所以函数f(x)的单调递增区间是[kπ－5π，kπ＋

解解因为x∈[－5ππ6所以332所以3所以f(x)∈[－2,2]，即f(x)的值域是(2)当x∈[－5π，π]时，求f(x)的值域 高考小考点6高以向量为背景的创新典例：(1)对任意两个非零的平面向量α和β，定义若两个非零的平面向量a，b满足a与b的夹角θ∈(π，π) a∘b和b∘a都在集合{n|n∈Z}中，则a∘b等于 2 思维点 解 温馨提思维点 解 温馨提思维点 解 温馨提先根据定义表示出a∘b和b∘a，利用其属于集合2将其表示成集合中元素的形式，两式相乘即可表示cosθ，然后利用

)确定cosθ 合中n∈Z的限制条件即可确定n的值，从而求出a∘b的值思维点 解 温馨提 根据新定义，得a∘b＝a·b＝|a||b|cos

|a||b|cos

|b|cos ＝|a|cos2a∘bb∘a都在集合{n|n∈Z}2a∘b＝n1，b∘a＝n2(n，n 思维点 解 温馨提44

n 1n

1. 答

思维点 解 温馨提(2)设向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)，定义一种向量积a⊗b＝(ab，ab)，已知向量m＝(2，1)，n＝(π，0)，点 在y＝sinx的图象上运动，Q是函数y＝f(x)图象上的点，且满足

＝m⊗

＋n(其中O为坐标原点)，则函数思维点 解 温馨提的思维点 解 温馨提思维点 解 温馨提

，进而

，确定函数y＝f(x)思维点 解 温馨提 设Q(c，d)，由新的运算可 ＝(2x＋π，1sin

xd＝sin 思维点 解 温馨提 y＝f(x)的值域是 答 思维点 解 温馨提1.计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量方积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要法忽略数量积几何意义的应用.与2.求向量模的常用方法：利用公式|a|2＝a2技运算转化为向量的数量积的运算巧3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是参数或最值问题常用的方法与技巧 1.数量积运算律要准确理解、应用，例如，a·b＝ 2.两个向量的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立 11234567891123456789若向量a，b满足|a|＝|b|＝|a＋b|＝1，则a·b的值为(

解 依题意得2所以a·b＝－1，选21123456789已知向量 3)，b＝(－1,0)，则|a＋2b|等于 3 3 1123456789已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3).若向量c满足c⊥(a＋b)，则c等于

1123456789解 设c＝(x，y)，则 又 联立①②解得 123456789向量→与向量a＝(－3,4)的夹角为π，|→|＝10，若点A 坐标是(1,2)，则点B的坐标为( 解 ∵→与a＝(－3,4)反向∴可设→又|AB|＝10，∴λ＝2，∴→又A(1,2)，∴B点坐标为1234567895.(2013·福建)在四边形ABCD中，→＝(1,2)， 则该四边形的面积为( 55 55解 ∵→→∴ ∴四边形ABCD的面积S＝1→→2× 1123456789 )已知向量a，b满足|a|＝1，b＝(2,1)，且＝0(λ∈R)，则 5解 又 11234567897.(2013·课 Ⅱ)已知正方形ABCD的边长为2，E为CD中点，则→→＝

→＝→＋

→－＝→1

＝→ 1→→1→AD

11234567898.已知a＝(2，－1)，b＝(λ，3)，若a与b的夹角为钝 解 由a·b<0，即2λ－3<0，解 3，由a∥b得36＝－λ，即3因此λ的取值范围是λ<2，且123456789 ∴cos又331123456789求|a＋b|和 123456789已知△ABC的内角为A、B、C，其对边分别为a、b、BB为锐角，向量m＝(2sin 3)，n＝(cos2B,2cos22－1)，且求角B的大小B m∥n⇒2sin( 3cosπ⇒sin2B＋cos2B＝0⇒2sin(2B＋3)＝0(B为锐角 ⇒2B＝31123456789如果b＝2，求S△ABC的最大值 cos ＝a·c·sinB≤1×4× 故S△ABC的最大值 △ABCO＋→且

3 3