用旋转构建三角形全等-初中数学教师优质课比赛课件

用旋转构建三角形全等用旋转构建三角形全等聪明的你发现了什么？聪明的你发现了什么？一般三角形

全等的判定方法共有几种？分别是？1.SSS；2.SAS；3.ASA；4.AAS.HL.全等三角形的性质：1.全等三角形对应边相等。2.全等三角形对应角相等。直角三角形都能用吗？那直角三角形特有的判定方法是？复习巩固能4种一般三角形全等的判定方法共有几种？1.SSS；2.SAS；1.如图：E.F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=45°.求证：EF=DF+BE．Q12分析：1.题中有哪些已知条件，求什么？求线段之和（差）有两种方法（1）将长线段EF分成两段（2）把两根短线段BE和DF转移到同一条直线上，使其的和成为一条线段2.找哪个三角形旋转？1.如图：E.F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且由旋转知△ABQ≌△ADF∴∠1=∠2,AQ=AF,DF=QB∴∠1+∠BAF=∠2+∠BAF∴∠QAF=∠BAD=90°∵∠EAF=45°∴∠QAE=∠FAE在△AEQ和△AEF中AQ=AF∠QAE=∠FAEAE=AE∴△AEQ≌△AEF（SAS）∴EF=EQ=QB+BE∵DF=QB∴EF=DF+BEQ12∵正方形ABCD∴∠ABC=∠D=∠ABQ=90°∴∠ABQ+∠ABC=180°∴点Q、点B、点E在一条直线上证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，到△ABQ的位置由旋转知△ABQ≌△ADF在△AEQ和△AEF中∴EF=在数学活动课中，小辉将两个正方形放置在直线L上，如图1，他连结AD、CF，发现AD=CF．他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，CF与AD相交于点P.如图2，AD与CF有什么关系？说明你的理由.我的课堂我做主独学：学生独立思考问题对学：学生结成2人一对，交流方法群学：全组同学起立，交流自己的做法学生展示：由小组上台展示自己的成果CBDLEFOA如图（1）LEFOA如图（2）DCBP在数学活动课中，小辉将两个正方形放置在直线L上，如图1，他连你真棒CBDLEFOA如图（1）LEFOA如图（2）DCB在数学活动课中，小辉将两个正方形放置在直线L上，如图1，他连结AD、CF，发现AD=CF．他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，CF与AD相交于点P.如图2，AD与CF有什么关系？说明你的理由.展示你的成果12P你真棒CBDLEFOA如图（1）LEFOA如图（2）DCB在解：AD=CFAD⊥CF理由如下：

在正方形ABCO和正方形ODEF中∵AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°

∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD即∠AOD=∠COF

在△AOD和△COF中AO=CO∠AOD=∠COFOD=OF如图（2）∴△AOD≌△COF（SAS）∴AD=CF旋转下找对应边相等，对应角相等并找出隐含条件∴∠FCO=∠DAO∵∠1=∠2，∠COA=90°∴∠COA=∠CPA=90°∴AD⊥CF2LEFOADCB1P解：AD=CFAD⊥CF如图（2）∴△AOD≌△COF课堂总结1.求线段之和（差）有两种方法（1）将长线段分成两段（2）把两根短线段转移到同一条直线上，使其的和成为一条线段2.解决简单的，用旋转构全等问题时，要注意找对应边和对应角以及发现隐含条件课堂总结1.求线段之和（差）有两种方法如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AF平分∠DAE。求证：AE＝BE＋DF。1235作业与拓展如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AF平哪里有数，哪里就有美。——普洛克拉斯

哪里有数，哪里就有美。12345由旋转知△ABH≌△ADF∴BH=DF，∠3=∠H，∠4=∠2∴EH=BE+DF∵CD//AB∴∠3=∠5+∠1∵AF平分∠DAE∴∠1=∠2=∠4∴∠4+∠5=∠H∴∠HAE=∠H（等量代换）∴AE=EH∴AE＝BE＋DFH证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD与AB重合。

已知：正方形ABCDAF平分∠DAE求证：AE＝BE＋DF。12345由旋转知H证明：将△ADF绕点A顺时已知：正方证明：将△ADC绕点C逆时针旋转，使CD与CB重合由旋转可知△ADC≌△HBC∴∠2=∠H，AC=HC∵∠B+∠D=180°,∴∠ABC+∠CBH=180°∴A.B.H三点共线∴△ACH是等腰三角形∵CE⊥AB∴AE=HE（三线合一）∴AE=AD+BE∴AD=AE-BEH你真棒证明：将△ADC绕点C逆时针旋转，使CD与CB重合H你真如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°.以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，AC于点N，连接MN.证明：（1）MN=BM+CN;（2）求△AMN的周长.NDCABM如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP；⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成立吗？证明：∵∠QAP＝∠BAC∴∠QAP＋∠BAP＝∠BAC＋∠BAP即∠QAB＝∠PAC另由旋转得AQ＝AP在△AQB和△APC中AQ＝AP∠QAB＝∠PACAB＝AC∴△AQB≌△APC(SAS)∴BQ＝CP我的课堂我做主1已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺例1.已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP；21证明：∵∠QAP＝∠BAC∴∠QAP－∠BAP＝∠BAC－∠BAP即∠QAB＝∠PAC另由旋转得AQ＝AP在△AQB和△APC中AQ＝AP∠QAB＝∠PACAB＝AC∴△AQB≌△APC(SAS)∴BQ＝CP例1.已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE＋DF＝EF，则∠EAF等于多少度?如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE2.已知△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°.（1）当点D在AC上时，如图①，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；证明：（1）延长BD交CE于F，∴△EAC≌△DAB（SAS）∴BD=CE，∠ABD=∠ACE∵∠AEC+∠ACE=90°∴∠ABD+∠AEC=90°∴∠BFE=90°，即EC⊥BD在△EAC和△DAB中AE=AD∠EAC=∠DAB=90°AC=ABAE=AD∠EAC=∠DAB=90°AC=ABAE=AD∠EAC=∠DAB=90°AC=AB2.已知△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BA例1.已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP；⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成立吗？找找旋转后的对应边以及对应角，它们分别是谁？例1.已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP∴△EAC≌△DAB（SAS）∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠ABC+∠ACB=90°∴∠CBF+∠BCF=∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE=90°∴∠BFC=90°，即EC⊥BD．（2）延长BD交CE于F∵∠BAD+∠CAD=90°∠CAD+∠EAC=90°∴∠BAD=∠EAC∵在△EAC和△DAB中AE=AE∠BAD=∠EAC=90°AB=AC2.已知△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°.（1）当点D在AC上时，如图①，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；（2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°<α<90°），如图②，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由.∴△EAC≌△DAB（SAS）（2）延长BD交CE于FAE=2.已知△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°.（1）当点D在AC上时，如图①，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；（2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°<α<90°），如图②，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由.分小组进行自学，对学，群学后小组展示2.已知△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BA1.已知，如图AD是△ABC的中线，D为BC的中点ABCDE倍长中线.(1)AB+AC>2AD（2）若AB=5，AC=3，求AD的取值范围。证明：延长AD至E，使DE=AD，连接BE，CE∵AD为△ABC的中线（已知）∴BD=CD（中线定义）在△ACD和△EBD中BD=CD（已证）∠1=∠2（对顶角相等）AD=ED（辅助线作法）∴△ACD≌△EBD（SAS）∴BE=CA（全等三角形对应边相等）∵在△ABE中有：AB+BE>AE（三角形两边之和大于第三边）∴AB+AC>2AD。（常延长中线加倍，构造全等三角形）1.已知，如图AD是△ABC的中线，D为BC的中点ABCDE2.练习；如图1，AD是△ABC的中线，AB=3,AC=5，求中线AD的取值范围。2.练习；如图1，AD是△ABC的中线，例、如图，AD为△ABC的中线，∠ADB、∠ADC的平分线交AB、AC于E、F。求证：BE+CF＞EF

分析：本题中已知D为BC的中点，要证BE、CF、EF间的不等关系，可利用点D将BE旋转，使这三条线段在同一个三角形内。例、如图，AD为△ABC的中线，线段与角求相等，先找全等试试看。图中有角平分线，可向两边作垂线。

线段垂直平分线，常向两端把线连。

线段计算和与差，巧用截长补短法。三角形里有中线，延长中线=中线。想作图形辅助线，切莫忘记要双添。小结线段与角求相等，先找全等试试看。小结1.已知在△ABC中,∠C=2∠B,∠1=∠2求证:AB=AC+CDADBCE12在AB上取点E使得AE=AC,连接DE截长F在AC的延长线上取点F使得CF=CD,连接DF补短1.已知在△ABC中,ADBCE12在AB上取点E使得AEA1BCD2342.如图所示，已知AD∥BC，∠1=∠2，∠3=∠4，直线DC经过点E交AD于点D，交BC于点C。求证：AD+BC=ABEF在AB上取点F使得AF=AD,连接EF截长补短A1BCD2342.如图所示，已知AD∥BC，EF在AB上取用旋转构建三角形全等用旋转构建三角形全等聪明的你发现了什么？聪明的你发现了什么？一般三角形

全等的判定方法共有几种？分别是？1.SSS；2.SAS；3.ASA；4.AAS.HL.全等三角形的性质：1.全等三角形对应边相等。2.全等三角形对应角相等。直角三角形都能用吗？那直角三角形特有的判定方法是？复习巩固能4种一般三角形全等的判定方法共有几种？1.SSS；2.SAS；1.如图：E.F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且∠EAF=45°.求证：EF=DF+BE．Q12分析：1.题中有哪些已知条件，求什么？求线段之和（差）有两种方法（1）将长线段EF分成两段（2）把两根短线段BE和DF转移到同一条直线上，使其的和成为一条线段2.找哪个三角形旋转？1.如图：E.F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的点，且由旋转知△ABQ≌△ADF∴∠1=∠2,AQ=AF,DF=QB∴∠1+∠BAF=∠2+∠BAF∴∠QAF=∠BAD=90°∵∠EAF=45°∴∠QAE=∠FAE在△AEQ和△AEF中AQ=AF∠QAE=∠FAEAE=AE∴△AEQ≌△AEF（SAS）∴EF=EQ=QB+BE∵DF=QB∴EF=DF+BEQ12∵正方形ABCD∴∠ABC=∠D=∠ABQ=90°∴∠ABQ+∠ABC=180°∴点Q、点B、点E在一条直线上证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，到△ABQ的位置由旋转知△ABQ≌△ADF在△AEQ和△AEF中∴EF=在数学活动课中，小辉将两个正方形放置在直线L上，如图1，他连结AD、CF，发现AD=CF．他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，CF与AD相交于点P.如图2，AD与CF有什么关系？说明你的理由.我的课堂我做主独学：学生独立思考问题对学：学生结成2人一对，交流方法群学：全组同学起立，交流自己的做法学生展示：由小组上台展示自己的成果CBDLEFOA如图（1）LEFOA如图（2）DCBP在数学活动课中，小辉将两个正方形放置在直线L上，如图1，他连你真棒CBDLEFOA如图（1）LEFOA如图（2）DCB在数学活动课中，小辉将两个正方形放置在直线L上，如图1，他连结AD、CF，发现AD=CF．他将正方形ODEF绕O点逆时针旋转一定的角度，CF与AD相交于点P.如图2，AD与CF有什么关系？说明你的理由.展示你的成果12P你真棒CBDLEFOA如图（1）LEFOA如图（2）DCB在解：AD=CFAD⊥CF理由如下：

在正方形ABCO和正方形ODEF中∵AO=CO，OD=OF，∠AOC=∠DOF=90°

∴∠AOC+∠COD=∠DOF+∠COD即∠AOD=∠COF

在△AOD和△COF中AO=CO∠AOD=∠COFOD=OF如图（2）∴△AOD≌△COF（SAS）∴AD=CF旋转下找对应边相等，对应角相等并找出隐含条件∴∠FCO=∠DAO∵∠1=∠2，∠COA=90°∴∠COA=∠CPA=90°∴AD⊥CF2LEFOADCB1P解：AD=CFAD⊥CF如图（2）∴△AOD≌△COF课堂总结1.求线段之和（差）有两种方法（1）将长线段分成两段（2）把两根短线段转移到同一条直线上，使其的和成为一条线段2.解决简单的，用旋转构全等问题时，要注意找对应边和对应角以及发现隐含条件课堂总结1.求线段之和（差）有两种方法如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AF平分∠DAE。求证：AE＝BE＋DF。1235作业与拓展如图，正方形ABCD中，点E、F分别在BC、CD上，且AF平哪里有数，哪里就有美。——普洛克拉斯

哪里有数，哪里就有美。12345由旋转知△ABH≌△ADF∴BH=DF，∠3=∠H，∠4=∠2∴EH=BE+DF∵CD//AB∴∠3=∠5+∠1∵AF平分∠DAE∴∠1=∠2=∠4∴∠4+∠5=∠H∴∠HAE=∠H（等量代换）∴AE=EH∴AE＝BE＋DFH证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，使AD与AB重合。

已知：正方形ABCDAF平分∠DAE求证：AE＝BE＋DF。12345由旋转知H证明：将△ADF绕点A顺时已知：正方证明：将△ADC绕点C逆时针旋转，使CD与CB重合由旋转可知△ADC≌△HBC∴∠2=∠H，AC=HC∵∠B+∠D=180°,∴∠ABC+∠CBH=180°∴A.B.H三点共线∴△ACH是等腰三角形∵CE⊥AB∴AE=HE（三线合一）∴AE=AD+BE∴AD=AE-BEH你真棒证明：将△ADC绕点C逆时针旋转，使CD与CB重合H你真如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°.以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交AB于点M，AC于点N，连接MN.证明：（1）MN=BM+CN;（2）求△AMN的周长.NDCABM如图，△ABC是边长为3的等边三角形，△BDC是等腰三角形，已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP；⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成立吗？证明：∵∠QAP＝∠BAC∴∠QAP＋∠BAP＝∠BAC＋∠BAP即∠QAB＝∠PAC另由旋转得AQ＝AP在△AQB和△APC中AQ＝AP∠QAB＝∠PACAB＝AC∴△AQB≌△APC(SAS)∴BQ＝CP我的课堂我做主1已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺例1.已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP；21证明：∵∠QAP＝∠BAC∴∠QAP－∠BAP＝∠BAC－∠BAP即∠QAB＝∠PAC另由旋转得AQ＝AP在△AQB和△APC中AQ＝AP∠QAB＝∠PACAB＝AC∴△AQB≌△APC(SAS)∴BQ＝CP例1.已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE＋DF＝EF，则∠EAF等于多少度?如图，E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上一点，且BE2.已知△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°.（1）当点D在AC上时，如图①，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；证明：（1）延长BD交CE于F，∴△EAC≌△DAB（SAS）∴BD=CE，∠ABD=∠ACE∵∠AEC+∠ACE=90°∴∠ABD+∠AEC=90°∴∠BFE=90°，即EC⊥BD在△EAC和△DAB中AE=AD∠EAC=∠DAB=90°AC=ABAE=AD∠EAC=∠DAB=90°AC=ABAE=AD∠EAC=∠DAB=90°AC=AB2.已知△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BA例1.已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP绕A顺时针旋转至AQ，使∠QAP＝∠BAC，连接BQ、CP，⑴若点P在△ABC内部，求证BQ＝CP；⑵若点P在△ABC外部，以上结论还成立吗？找找旋转后的对应边以及对应角，它们分别是谁？例1.已知，在△ABC中，AB＝AC，点P平面内一点，将AP∴△EAC≌△DAB（SAS）∴BD=CE，∠ABD=∠ACE，∵∠ABC+∠ACB=90°∴∠CBF+∠BCF=∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE=90°∴∠BFC=90°，即EC⊥BD．（2）延长BD交CE于F∵∠BAD+∠CAD=90°∠CAD+∠EAC=90°∴∠BAD=∠EAC∵在△EAC和△DAB中AE=AE∠BAD=∠EAC=90°AB=AC2.已知△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°.（1）当点D在AC上时，如图①，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；（2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°<α<90°），如图②，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由.∴△EAC≌△DAB（SAS）（2）延长BD交CE于FAE=2.已知△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°.（1）当点D在AC上时，如图①，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论；（2）将图①中的△ADE绕点A顺时针旋转α角（0°<α<90°），如图②，线段BD、CE有怎样的数量关系和位置关系？请说明理由.分小组进行自学，对学，群学后小组展示2.已知△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BA1.已知，如图