空间解析几何与向量代数一、线性运算

一、向量的线性运向量的加减法(1)三角形法则(2)平行四边形法向量与数的乘 4.两个向量的平行关定理设向量a0

|ab平行

a充分要条件是：存在二、空间直角坐标

ba

的坐标分解式

三、利用坐标作向量的线性运设a

(ax

ay

az),b

(bx

by

bz

(axbx

ayby,azbz(2)

a

(ax

ay,az)（

为实数四、向量的模、方向角、投x2y2z2|x2y2z2||||设有点A(x1

(2

y2,z2

则其距离||AB|AB(xx)2(yy)2(zz212121方向角非零向量与三条坐标轴的正向的夹设非零向量rr的方向、、x方向余弦x

erR

(cos

cos

yryzrz

000

O

cos

M cosrP方向余弦的特征

(xr

y,z)

1r

y,z)rcos2cos 单位向量er的方向余弦为:er

(cos

|r向量在轴上的投注意ua(axu

ay,az

ax

jxa,

ayaz

jya,jza,性质

Prju

|a|cos性质

Prju

b)

jua

ju性质

Prju(a)

ju设有一轴u及向量r作

r,.OrM M过点M作轴.OrM MM'即为点M在轴u上的投影 OM'OMr在u轴上的分向OM'e，则数称为向量ru轴上的投影，记作

jur或(ru注意)Prjr为有向线OM'u

a(ax

ay

az

ax

jxa,ay

jya,

az

jza,或记

(a)x,ay

(a)y,

(a)z性质

(a)u

ju

|

|cosa其中为向量au轴的夹角a性质

(a

b)u

(a)u

(b)u(即

ju

b)

jua

jub性质

(a)u

(a)u

(即

ju(a)

ju例9设立方体的一条对角线为OM,一条棱为OA,且OAa,OA在OM方向上的投影

OA解

, OAMOA13cos 3OM

OAcos a3 3练习：设AB(1,2,3),且AB在x、y、z轴上4求A的坐标。

AB

1x则

(1x,2

y,3

故2y x

1,y5,

3z第二量量*混合一、两向量的数量实例一物体在常力F作用下沿直线从以s表示位移，则力F所作的功

M1移动到

M2ssW|

|(其中为F与s的夹角启示两向量作这样的运算,结果是一个数 向量a与的数量积为aa

|a

(

(a,b)).注意

bab

|Prj

|a|

jab.Pr

abbabbbaab|a a|

|cos

jab,

|a|cos

a

|

|

|

|

jab.结论两向量的数量积等于其中一个向量的模和一个向量在这向数量积也称为“点积”、“内积关于数量积的说明aaa(1) ||2aaa证

aa|a||

|

|a| ab, 0,

(2)ab 证

a

|a|

|b|()

0,

,2

ab,

a

|

||

|

数量积符合下列运算规分配律(a

b)c( 若为数

(

a(b)

(ab数

a)(b)

(abcc

b)

j

b

j

jbcc c cccccPrjacPrjbcc acbc例1试用向量证明三角形的余弦定设在ABC中

BC

a,

b,

a2

2abcos 记CB

a,CAb,

AB

c,则 acab, a从 cc(ab)(ab)aabb2a

2

bcos(a,b 由a

b

c

(ab)

,即c2a2

数量积的坐标表aa

axi

ay

azk

b

by

a

(axi

ay

azk

by

bzkijk

ij

j

k

j||

iij

k

abaxbxayby

azbz夹角余弦的计算公式

a a aa

|a

cos

a |a||b

(a

0,

两向量夹角余弦的坐标表示式a2a2xy2azb2b2bxyz

axbx

ayby

azbz由此可知两向量垂直的充要条件

xbx

ayby

azbz bb

,),

(2,2,1),求

ja及(abb9a9ba b aPrj

|b

ab

cos(a,b)

|a||b

9 (a,b)

arccos3

aa

(1,2,0),求

证明p

a

解Pr

jb

aaaa

223

3

b

1

a

233

(a

证明p

a

a) a b b

a

(aa)二、两向量的向量F实例设O为一根杠杆L的支点，有一F作用于F杠杆上P

OP的夹角为

F对点O的力矩是一向量

，它的FOPQ|M||OQ||FOPQ

| M的方向垂直于OPF所决定的平面,指向符合右手系.c定义向量a与的向量积c

a |

|||

|

(其中a与的夹角a的方向既垂直于a又垂直于b指向符合右a系.c的指向按右c记为c

a关于aa(1)aa

0

2)

a

(

bbacbacaa

Sa

a

(

b

a

|a|

|b|aa

//aa

//b

0或

sin|a

||

|

向量积符合下列运算规律

aa aa分配律(a

b)

a

bc.a)aa若为数：(a)aa

a(b)

(b).

axi

ay

azk

bbxi

by

a

(axiayjazk

(bxiby

bzk axbxi

axbyi

axbzi

aybx

j

ayby

j

aybz

j azbxk

azbykjazbzk iijjk

ijk

j

i kijj

k

k

i

i(aybz

azby

(azbx

axbz)

(axby

aybx向量积的坐标表ab

azby

(azbx

axbz)

xby

aybx向量积还可用三阶行列式表 abax

ay azby 由上式可推

//

ax ay

az x

bby bbx、by、bz不能同时为零，但允许两个为零例如

ax ay

ax

ay

AC

ABAC

24

6

1 1i 1

4242(6)222 2

2 例2

(),b

ab

37i1

j

721272123ab 31 所求的向量为c 1 例3设a,),b1,1,3c1,2,0),求(ab

ab1

1

k(ab)

10例4

b

，计

ab

abax

ay azby

i5j3k例5知三角形ABC的顶点分别是A(1,2,3)、B(3,4,5)解根据向量积的定义，三角形ABC的面积SABC

1|AB|21|AB2

由于

i

j

(1,2,4因 ABAC 4242(6)2

24

6

2k

6j2k2

例6设刚体以等角

绕l轴旋转，计算刚体上一点解刚体绕l轴旋转时，可以用在l轴上的一个向量表示角速度，它的大小等于角速度的大小，它的方向由右手规则定出：即以 手握住l轴，当右手的四个手指的转向与 体的旋转方向一致时，大拇指的指向就是 的方向O设点M到旋转轴l的距离为a，再在l轴上任取一点O作量r=OM，并以表示与r的夹角，那arsin设线速度为，那么由物理学上线速度与角速度间的关系可知，的大小为ar arv

sin;v的方向垂直于通过M点与l轴的平面，即v垂直于又v的指向是、v符合右手规则.因此有

与rvr返返三、向量的混合c c定义a、bc，数量(ab设a

(ax,ay,az

b(bx,by,bz),c

(cx,cy,cz混合积的坐标表达

ax ay az b) [abc

cx cy cz关于混合积的说（1）向量混合积的几何义：向量的混合积 (ab)c是的个数，它的绝对值表示个数，它的绝对值表示以向量a、b为cab面体的体cab

aabc]为正