初中数学重点整理：整数几何

整数几何知识定位. 数学学科中2门最古老的分支为平面几何与整数问题，这2门分支的有机结合指平面几何中的某些基本量（边长、角度、周长、面积等）为整数的几何问题，或几何问题中的计数问题等。这些问题历来是初中数学竞赛的热点问题之一。解决这类问题用到的几何知识并不是很难，往往要结合代数的相关知识、思想方法和整数的有关性质综合考虑，用到的数学思想方法有枚举法、筛选法、排序法、奇偶分析法、质数分析法、不等式放缩法等。知识梳理知识梳理1：解答整数几何问题的步骤：首先，根据问题给出的几何条件，进行计算或推理，从而，得到一些数量之间的关系式—-等量关系、不等关系、函数关系等。其次，根据几何量是整数的特点，依据整数的性质来处理（如利用数的整除性、整数的表示方法、完全平方数的性质、确定整数的范围后再逐一验证等）。知识梳理2：比较法比较法利用的是：若a-b=0，则a=b（作差法）；或若-=1，则a=b（作商法）。b这也是证明恒等式的重要思路之一。知识梳理3：分析法与综合法根据推理过程的方向不同，恒等式的证明方法又可分为分析法与综合法.分析法是从要求证的结论出发，寻求在什么情况下结论是正确的，这样一步一步逆向推导，寻求结论成立的条件，一旦条件成立就可断言结论正确，即所谓“执果索因”.而综合法正好相反，它是“由因导果”，即从已知条件出发顺向推理，得到所求结论.知识梳理4：其他解题方法及技巧除了上述方法，设k、换元等方法也可以在恒等式证明中发挥效力.例题精讲■ 【试题来源】【题目】凸四边形ABCD边长都是正整数，任意三边的和是第四边的整数倍，证明四边形ABCD四条边中总有两条边的长度相等。【答案】证明：设四边地的四边长分别为3/,白，比周长为E,且b+c+d=a+c十d二jjr,tha+b4d二pa+b+c=?j4d.（所有字母均为正整数）于是；s=a.+b+c+d=a二（pJ1）匕=（掬+1）c二（『J1）d.若结论不成立，则四边均不相等，■方设3cb＜黄、—等 玲, ■一忌笃国K[先与=#+b+c+去+匚+彳+鼻="5?Tbo4 -3 20与已知矛盾，所以四条边巾息有两条边的长度相等【解析】通过限制条件限制整数范围，最终推出矛盾【知识点】整数几何【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】已知直角三角形的两条直角边边长分别为l,m，斜边为n，且1、m、n均为整数,l为质数，证明2(m+1+1)是完全平方数。【答案】证明：因为是直角三角形J-Im2=21—in"=(ri— I-m)「I为质数I=h..m=足Imni=[)不符合条件l-=nIm凡一m=1庐-]n£--2~+1+1)=2(1+— 1~1)=(I+:式稗1/11)是完全平方数【解析】利用好质数的性质，转化条件后进行运算【知识点】整数几何【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】已知△ABC中，ZB是锐角.从顶点A向BC边或其延长线作垂线，垂足为D;从顶点2BD 2BEC向AB边或其延长线作垂线，垂足为E.当ft和不■均为正整数时，4ABC是什么三角BCAB形?并证明你的结论.【答案】答：△ABC是等边三角地,等腰直角三角形,顶角为12T的等腰三角形.证明：设鬻=等=门，m,n均为正整数贝J汗旧=],黑.g=如加勺＜1DC- /iZJ UC...mn=1,43"(1：当irtii-1时,skB—13/_B=60°j此时m=m=1.AD垂直平分BC,CE垂亘平分aE,：△月B(7是等边三角形.(2)当r?w.=2时,g出\Z_B=45。,此时m=1,Ti=2,或m=?,n=1-.点E与点A重合,或点D与点C重合.ZBAC=90口,或£BCA=90口.'.HABCTJZL等腰直角三角形.(3)mn=3时,cosB=g」：£B=30。，此时m=1,Ti=3,或m=3,n=1.「/D垂直平分BC,或CE垂直平分AB.AACB=30。」或LBA.C=30°』「.△ABC是顶角为1?(T的等腰三角形.【解析】首先设熠…坐=凡，叫n均为正整数，则可得B("AB皿门=1.空2.毁=<1，继而可得mn=1,2,%然后分别分析求解即可求ABB(.得答案.【知识点】整数几何【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】如图，在RtAABC中，/BCA=90°,CD是高,已知在RtAABC的三边长都是整数且BD=113，求在RtABCD与在RtAACD的周长之比.BD A【答案】设=□,CA=b,AB=e,~RSBAC,'‘'ff=黑，即取产=BD-BA>LJJ1JjC..■a1—11%•因1为完全平方数，且n是质数,./为ii的倍数，令仁=11M体为正整数二则印=ii%」于是由勾股定理得fj=7自_/=］］小心二］pj又因为匕为整数，.下■11，是完全平方数,令七"■II2=m-j则(七+m)(fc-m)=ll2j：｛kI07)>(fc-m)>0且11为质数，：\ =解得［大=%,于是也=,b=11x61x60Ik-m=1 1m=60又-.-RtABCDam^CAD,.,它们周长的比等于它们的相似比.即n1l2x6-l111)=11x61x60=60'【解析】根据题意易证△比；。~△G/9，利用相似三角形的性质及勾股定理列式,解方程组即可解答.【知识点】整数几何【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】周长为6,面积为整数的直角三角形是否存在?若存在，请证明共几个.若不存在，请给出证明.【答案】这样的三角舟只有一个.如果直角三角形的面积是个整数.1.那么它两直角边的乘积就是2的陪数（两直角边之秋除以2是它的面积）设直角边分别为工匕那么工+?一 +/A=6（/表示/）得出y=&£7^佃）2,两个直角边都小于M两边之和大于第三边）那么两直角边之积只能是小于9的偶数8、6、42验证一下,如果乘积是2工Ky=2向（a）与（b）联立方程1得工=5丁符合「y-5W7也符合条件所以面积等于1时三角形存在.因为周长一定时等边三角形面积最大，为西：小于2所以两直角边之积小于4,所以其它乘积的可能值不用验证了.所以这样的三角形只有一个.【解析】通过三角形各边的限制条件，缩小范围，再逐一讨论【知识点】整数几何【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】已知四边形ABCD的面积为32,AB、CD、AC的长都是整数，且它们的和为16.(1)这样的四边形有几个？(2)求这样的四边形边长的平方和的最小值.【答案】D平沟X.BEc(1)现图，二己阳-二，CE-b,AC-K干-殳也后匚的边日二上的高为h「△ACC印丈立上的高大上工，川3四-力的b"X A?z>c=一〔上述十h山)K-(a+o):2 2当且仅当h「h厂1时等号成立.即在匹边形ABCI口，=M_LAB：AC_LCDE，等号成±.由已知得6441(a+b),又「a+b=16T,得64<1(16-1)=64-(1-8)2<64,于是1=*a+b=8,且这时AC1AB,AC1CD,因此这样的四边形由如下4个：a=1,b=7!1=8;a=2,b=651=8;a=3,b=551=8;a二b=4,1=8;(2)由于ABf,CD=8-a,贝帕匚2=82—2,阳2=g2+(g,a)2,故这样的四辿形的边长的平方和为：2a2+2(8-a)2+128=4(a-4)2+192,■二b二4时,平方和最小，且为192.故答案为：4,192.【解析】提示1：(1)根据题意画出图形，再根据S四边形细5二士△AEC+SAADC列出关于a、b、1的不等式，求出当四边也ABCD面积最大时未知数的值即可;(2)根据四边形面积最大时也圮。及△ACD均为直角三角形，利用勾股定理即可求出四边用边长的平方和的最小值.提示2：本题考查的是等积变换，解答此题的关键是把四边形的面积转化为三角形的面积，再利用三角形的面积及勾股定理求解.【知识点】整数几何【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】在三边长是连续自然数、周长不超过100的三角形中，锐角三角形的个数【答案】设满足条件的三角形的三边长分别是口-1,上北十L*则((n- +n+ 1)<100I(jj—1)+n>n4-1 1计算得出2<n<33.门=3时，炉十胪工炉，三角形是钝角三角形，h=1时，3"+L-=52,三角彩是直角三第形,"之5时,+tJ— 41)--ir—Ait-n(n-4)>0>二角形是锐角二角形，故满足条件的锐角三角形的个数是29.因此，本题正确答案是T9.,，一“一一,,,,二 37- -1 31-I1,,, ,二【解析】可设满足条件的三角形的三边长分别是,n, ，先根据已知和三角形三边关系列出不等式组，求得n的取值范围,再根据勾股定理得出锐角三角形的个数.【知识点】整数几何【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】一个直角三角形的边长都是整数，它的面积和周长的数值相等.试确定这个直角三角形三边的长.【答案】假设符合条杵的直角三角形存在，它的三边长为小人d其中七为斜边.则a2+b2=gZ，a+b+c=-t匕、q均用正整数，；-a声h:不妨设a>b*则有日坨+J七七十匕2二—i两边平方.并整理得， ^匕一r '+2ab~01消去ah,得—_a_b+2=0r即［aT)<b7)=$.又「总二L乂£=2>.4,.'.©a-4=S.h-4=l,解得:a=12.h=h.则已二13;②汽一4二L卜一4二/,解彳导：汽二*,-i=b.^l|c=IU;综一历无，符合条件的直角三弟形的边长分别杲5、_2、13;6、8-.10.【解析】提示1：设符合条件的直角三角形的三边长为a、b、c,其中C为斜边，贝12+b2K2,a+b+c=于是将存在性问题的讨论转化为求方程组的解.提示2：本题主要考查了一元二次方程的整数根及有理根、勾股定理的逆定理的应用.在解题过程中，当勾股定理不能直接运用时，常需要通过等线段的代换、作辅助垂线等途径，为勾股定理的运用创造必要的条件，有时又需要由线段的数量关系去判断线段的位置关系，这就需要熟悉一些常用的勾股数组.【知识点】整数几何【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】在等腰三角形ABC中,已知AB=AC=kBC(k为大于1的自然数)，点D,E分别在边10AB,AC上,且DB=BC=CE,CD与BE交于点O求使OC/BC为有理数的最小的正整数k。【答案】由超设NMC=Z3加/砌，故另一方面FOC=BC^AR^_——ROD=DE~AD^AB-DB=F^T.所明器=念r ®①*②得器=岳与？是有理数，且(A,2A»1)=1.于是#与2#・1都是完全平方数.当k=4,9,16时，察-1=7,1731;当k=25时,2*7=49.故便器为有理数的最小正整数*=25.【解析】根据题中的基本相似图形列出比例关系，然后根据OC/BC为有理数这一限制条件对各个数据进行讨论，筛选出最终结果。【知识点】整数几何【适用场合】当堂例题【难度系数】3【试题来源】【题目】如图所示，。【题目】如图所示，。0的直径的长是关于1的二次方程X2+2(k—2)x+k=0(k是整数)的最大整数根。P是。0外一点，过点P作。0的切线PA和割线PBC,其中A为切点，点B、C是直线PBC与。0的交点。若PA、PB、PC的长都是正整数，且PB的长不是合数，求PA求PA2+PB2+PC2的值。【答案】设方程/+2{左_幻1十七=0的两个根为力，X2,#1近明.由根与系数的关系得力十温=4—2乜①#［及=2②由题设及①知，X］_,工2都是整数.从①，②梢去±3得2*［项+宣［+矽=4,但打十1)(2矽十1)=9.由上式知，X2成4,且当k二0时,及二明故最大的整数根为4.于是的直径为4,所以近4.因为B(?=PC?-PB为正整数，所以FC?=L2,3或4.连接乂氏AG因为ZPAB-ZPCA,所以R4B-△2□形—=—.PBPA故RM=PE{PB十 ③⑴当8C三1时,由③得，p不二P斛+ 于是PBIrY< 1产,矛盾！⑵当8c二2时,由③得，p万二PBZ+2PB^于是P炉“1产，矛盾!⑶当=3时，由③得，pa2-PS2+3P5^ (PA-PB)(PA+PB)=±3PB,由于PR不是合数，结合PA—PFvJU+P艮故只可能R4—PB=1PA十PB=3PB'R4—PB=3

pa故只可能R4—PB=1PA十PB=3PB'R4—PB=3

pa十pb=pb'■PA-PR=PBR4+FB=3PA=2此时R4?十P镇十Pd=2L12⑷当=由③得，P不二PB?十4PBi,于是｛PB十由十4PB二PK<(PB+2汽矛盾.综上所述P«+"+PCZ=21-【解析】韦达定理是本题求解的关键，基本多项式变形的分解式是解题的转折点.但是也有第2种解法，因为勺或/的次数是一次，可以直接求出一个未知数，用分式整式分离法讨论之.【知识点】整数几何【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】求证：只存在唯一一个三角形，它的三边长为三个连续的正整数，并且它的三个内角中有一个内角为另一个内角的2倍.CbA匕D【答案】证明I如图，在/iABC中，设/A二2且三边长分别为a.，b!c延长CA到点D,使AD二ABr,则。0二b+c,由4=2/日知/瓯=4.11工人a4^BCACnnab从而，△ABCs&bdc,故一二一，即——=-DCBCb+ca于是，&。=b(b+c)©当a>c>b时，设a二门+1,c=n,b二门-1,代入①式，解得，n=5.此时，a=6fb=5fc=4?当cA社>b时，设c=n+l,a-n,b二门一1,解得，n=此时，a=25b=l5c=35不能构成三角形:同理，当色〉b〉c时，可得，n2_3n_l=O,无解.综上所述，满足条件的三角形只有一个，其三边长为4.5,6.【解析】提示1：首先保证该三角形的三个内角中有一个内角为另一个内角的2倍，构造相似三角形，得到a，b，c之间的一个关系式，再根据边长为三个连续的正整数，进行分析求解.提示2：此题综合运用了相似三角形的判定和性质以及三角形的三边关系.【知识点】整数几何【适用场合】当堂例题【难度系数】4【试题来源】【题目】若直角三角形的三个顶点皆取自于某个正十二边形的顶点，则这种直角三角形的个数为()A、36 B、60 C、96 D.120【答案】正12边形，有12个顶点，有6条直径咕称轴，此时有10个非直径端点的点，这10个点可以与相应的直径构成1。个直角三角形，则一共有：10x6=60个直角三角用。故选B【知识点】整数几何14【适用场合】随堂课后练习【难度系数】3【试题来源】【题目】如图，边长为26的正△ABC内接于圆，弦DE//BC,分别交AB、AC于F、G。如果AF的长x和DF的长y都是正整数，则y的值为（）A.6 B.8 C.12 D.16【答案】由相交弦定理得出26-⑼一丁（g+y）,即£（26—0一同£+力o由工（26—旬—尸6+产）,解得宜（26—旬—尸（了+力o由y为正整数，且式26-必―耳笈+引必须为完全平方数，验算可得打工【知识点】整数几何【适用场合】随堂课后例题【难度系数】3【试题来源】【题目】现在a