恒成立与存在性问题的基本解题策略

“恒成立题”与“存性问题”的基解题策略一“成问”“在问”基类恒立能立恰立题基类1、恒成立问题的转化：af

xf

x

；af

x

af

x

max2、能成立问题的转化：af

；ff

minmax恒成3、恰成立问题的转化：afx在M上成立f的集为x在C另一转化方法D,f(x)在D上恰成立于(D的最小值(x)Df(x)Bmin在D上恰成立，则等价于f(x)在的最大值f)max4、设函数

f

，对任意的

1

f2

2

f

min

min

5、设函数

f

，对任意的

f2

f

max

max

6、设函数f112maxmin7、设函数fx、，在a，存在x,，使得f，f12minmax8、设函数x、g，任意的a，存在x,，使得f，f(x)在区[a,b]上11的值域为A，在间c,d]上值域为B,则9、若不等式f等于在区间D上数fg上方；10若不等式

f

在区间D上成立则等价于在间D上数

f

和图象在函数

图象下方；恒立题基类在数学问题研究中经常碰到在给定条件下某些结恒的命题.函数在给定区间上某结论成立问题,表现形式通常有在给定区间上某关系恒成立;某数的定义域为全体实数R;某等式的解为一切实数;某表达式的值恒大于a等…恒成立问题，涉及到一次函数、二次函数的性质、图透着换元、化归、数形结合、函数与方程等思想方法，有利于考查学生的综合解题能力，在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用因此也成为历年高考的一个热点。恒成立问题在解题过程中大致可分为以下几种类型：①一次函数型；②二次函数型；③变量分离型；④根据函数的奇偶性、周期性等性质；⑤直接据函数的图象。二恒立题决基策大知，成问分式的成问和等中恒立问。式的成问特是项式成问，简为应数系相从建一方组来决题。（）个本想决恒立题思路1、思路2、

mf()在xD上恒成立m[x)]mfx在D上恒成立mfx)]

maxmin如何在区间D上求函数f(x)的大值或者最小值,我们可以通过习题的实采取合理有效的方法行求解通常可以考虑利用函数的单调性、函数的图像、二次函数的配方法、三角函数的有界性、均定理、函数求导第1页共18页432432222432432222等等方法求函数（x）的最值。这类问题在数学的学习涉及的知识比较广泛，在处理上也有许多特殊性，也是近年来高考中频出现的试题类型，希望同学们在日常学习中注意积累。（）赋型—用殊求等恒立题等式中的恒成立问题，常常用赋值法求解，特别是对解决填空题、选择题能很快求.例1．果函数y=f(x)=sin2x+acos2x的图象关于直线x=D.-A.1B-1.

8

对称，那么a=（）.略：取x=0及x=

，则f(0)=f(4

),a=-1，选此法体现了数学中从一般到特殊的转化思.例备）由等式+a+ax+ax+a=(x+1)+b(x+1)+b(x+1)+b(x+1)+b定义映射f(a,a,a,a)123412341234→+b+b+b,f：→)1234A.10B.7C.-1D.0略：取x=0，则a=1+b+b+b+b,又a=1,以b+b+b+b=0，4123441234故选（）清本型运相基知，握本解策1、一函型若原题可化为一次函数型则由数形结合思想利用一次函数知识求十分简捷给定一次函数y=f(x)=ax+b(a在[m,n]内恒有f(x)>0，根据函数的图象（直线）可得上述结论等价于f(m)f(n

同理，若在内有f(x)<0，则

f(m)0f(ny

x

y

x例．于满足a|

2的有实数a,求使不等式x+ax+1>2a+x恒立的x的值范围.分：在等式中出现了两个字母及a,键在于该把哪个字母看成是一个变量，另一个作为常.然可将a视自变量，则上述问题即可转化为[-2内于的次函数大于0恒立的问题.解原不等式转化(x-1)a+x-2x+1>0在|a|时成立,设f(a)=(x-1)a+x-2x+1,则f(a)在[-2,2]恒大于0，故有：

f(f(2)0

即0

或解得：xx∴或即x(－∞,－1)(3,+∞)此类题本质上是利用了一次函数在区[m,n]上的图象一线段只需保证该线段两端点均在轴上（下方）即可2、二函型涉及到二次函数的问题是复习的点，同学们要加强学习、归纳、总结，提炼出一些具体的方，在今后的解第2页共18页题中自觉运用。（）二次函数y=ax+bx+c(a于0恒立，则有

且（）是二次函数在指定区间上的恒成立问题，可以利用韦达定理以及根的布知识求解。类型1

：设

f(x)ax

2

a

在R上成立，（1）

f)在x上恒成立a且

；（2）

f(x)在xR上成立且

。类型2

：设

f(x)

2

(0)区[

上恒成立（1）当

a

时，f(x)在x

b上恒成2a或2a

，

f(

f(

f(x)在x

上恒成

ff（2）当

a

时，f(x)在

上恒成

f0f(f(x)在

上恒成立

a

或

b22a

f

f(类型3

：设

f(x)2bx(

在区间

(-上恒成立。f(x)>0a>0或b/2a>f()>0f(x)<0a<0或b/2a>f()<0类型4

：设

f(x)2bx(

在区间[∞)上恒成立。f(x)>0或-b/2a<f(f(x)<0或-b/2a<f(例3．若数

f(x

(a

2

2

x

的定义域为R，求实数a的值范围分：该题就转化为被开方数

(a

2

x

2

a

2a

0

在R上成立问题，并且注意对二次项系数的讨论.解依题意，当

R时，第3页共18页2222(a2ax

2a

0

恒成立，所以，①当

0,{

，此时

(2a

2a

0,②当

时即{a

时4(0有

{10a0,

1综上所述，f(x)的定义域为R时

例4.已知函数

f()

，在R上

fx)

恒成立，求的值范.分：

f(x)

的函数图像都在X轴及其上，如右图所示：略：

a变：

)

恒成立，求取值范围.解一（零分策）本可以考虑f)的零点分布情况进行分类讨论分

无零点零在区间的左侧零在区间的右侧三种情况即Δ

a

或

a2

即取值范围为f(f(2)，解二析（用次数值的布类论要使

f(x

恒成立，只需

f(x

的最小值

(a)

即可.略解：（分类讨论）

af()x4

，令

f(x

在

上的最小值为

)

.⑴当

a2

，即

时，

(a)(aa

73

又

不存在⑵当

a2

，即

时，

aa2g)f(a22

又

第4页共18页⑶当

a2

，即

时，

()(2)a

又

综上所述，

a2

.变：

f(x

恒成立，求

a

的取值范围解一分析：题目中要证明

f(x

在

上恒成立，若把移到等号的左边，则把原题转化成左边二次函数在区间

时恒大于等于0的题例2已f(x)ax

，若x2,2],f()

恒成立，求取值范略：

f(x)x

2，即f()x2

ax0在

上成立⑴

2

4(1)f⑵a或2

—2综上所述，

a2

.解二（用次数值的布⑴当

a即时g(a)f(a4,a2

不存在⑵当

a2

，即

a

时，

aa2g()f()2

，－222⑶当

a2

，即

时，

()(2)

，综上所述

a2

.此题属于含参数二次函数，求最值时，对于轴变区间定的情形，对轴与区间的位置进行分类讨；还有与其相反的，轴动区间定，方法一.对于二次函数在R上成立问题往采用判别式法（如例、例5），而对于二次函数某一区间上恒成立问题往往转化为求函数在此区间上的最值问题3、变分型若在等式或不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个变量的范围为所求，且易通过恒等变形将两个变量分别置于等号或不等号的两边，则可将恒成立问题转化成函数的最值问题求解运用不等式的相第5页共18页关知识不难推出如下结论：若对于x取值范围内的任何一个数都有f(x)>g(a)成立，则g(a)<f(x);若对于x取min值范围内的任何一个数，都有恒立，则其f(x)和f(x)分别为的最大值和最小maxmaxmin值)例5.已知三个不等式①

x0②xx③

0

．使同时满足①②的所有x的满足③，求的值范围略：由①②得2<x<3,要使同时满足①②的所有x的值满足③,即不等式

0在(2,3)

上恒成立，即

m

2

x在

上恒成立，又

x2x在(2,3)上于9，所以

例6.函

f(

是奇函数，且在

[

上单调递增，又

f(，若f

2

对所有的

都成立，求

t

的取值范围.解据奇函数关于原点对称，

f(1)又f(在[单调(x)

max

f(1)f(x)

2

at对所的a[

都成立因此，只需

tat

大于或等于

f(x)[上

的最大值，tatt2at0又对所有a[都立

，即关于的一次函数[-1，上大于或等于0恒立，t2t{t2tt或或t即：

t({0}[2,利用变量分离解决恒成立问题，主要是要把它转化为函数的最值问题补．已

f(x)xxx．b，且对任何

x)

恒成立，求实数a的取值范围．解：当

x

时，

取任意实数，不等式

fx

恒成立，第6页共18页xbxxbx故只需考虑

x变为

x即

x

bbxx

……………………2分故

bb()x),0,1xx又函数

g(x)

bx

在

上单调递增，所以

b()

；对于函数

hx),x①当

时，在

上

(x)

单调递减，

b()

，又

，所以，此时的值范围是

)

．……………2分②当

，在)

bx

，当

x

b时(x)x

，此时要使存，必须有

即

，此时

a

的取值范围是

(1,)综上，当

时，

a

的取值范围是

)

；当

2

时，

a

的取值范围是

(12

；当

时，

a

的取值范围是

．………2分4、根函的偶、期等质若函数是奇(偶)函数，则对一切定义域中的x,f(-x)=-f(x)(f(-x)=f(x))成立；若函数y=f(x)的周期为T，则对一切定义域中的x,f(x)=f(x+T)成立。5、直根图判若把等式或不等式进行合理的变形后，能非常容易地画出等号或不等号两边函数的图象，则可通过画图直接判断得出结果。尤其对于选择题、填空题这种方法更显方便、快捷。例

对任意实x，不等式恒成立，求实

的取值范围分：对任意实，不等式xx恒成立即转化为求函数的小值，画出此函数的图象即可求得的值范围.解令

yxx2

3x2在直角坐标系中画出图象如图所示，由图可看出要使对任意实x，不等式x

恒成立a

.第7页共18页故实数

的取范围是注本题中若将x，不等xxa

改为①对任实x，不等xx成立，求实a

，同样由图象可得a>3;②对任实x，等式xx恒成立，求实a,造函数，画出图象，得a<3.利用数形结合解决恒成立问题，应先构造函数，作出符合已知条件的图形，再考虑在给定区间函数与函数图象之间的关系，得出答案或列出条件，求出参数的范.例8.设数a∈函f(x)=3|x|+|2x-a|,g(x)=2-x.函数y=f(x)与y=g(x)图像有公共点，则a的值范围为。解：1）a<=0x<=a/2<=0时，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+aa/2<=x<=0时，f(x)=-3x+(2x-a)=-x-ax>=0时，f(x)=3x+(2x-a)=5x-a，最小值为-a<=2则g(x)交点，即：-2<=a<=0。2）x<=0时，f(x)=-3x+(-2x+a)=-5x+a0<=x<=a/2时，x>=a/2时f(x)=3x+(2x-a)=5x-a最小值a<=2时g(x)有交点，即：综上所述，时f(x)=3|x|+|2x-a|g(x)=2-x有点。三在成问中主是参的值围题是种点题，绍些本解策，学中会问分、类熟基方。（）元参显问实1、于所有数，不等式恒成立，求a的值范围。解为

的值随着参数a的化而变化，若设，则上述问题实质是“当t何值时，不等式

恒成立”。这是我们较为熟悉的二次函数问题，它等价于求解关于的等式组：。解，有，得。2、点P，）是圆

x

4

上任意一点，若不等式x+y+c恒立，求实数c的值范围。（）离数化为值问3、对于任角总

成立，求m的围。第8页共18页22解此式是可分离变量型，由原不式得，又，原不等式等变形为

恒成立。根据边界原理知，

必须小于

f

cos2

的最小值，这样问题化归为怎样求

的最小值。因为

f

2即时，有最小值为，（）更元简解过4、对于，方程

。

都有实根，求实根的范围。解此题一般思路是先求出方程含参数m的，再由的围来确定根x的围，但这样会遇到很多麻烦，若以m为元，则，由原方程知，解之得

或

又，。5、

a

时，若不等式

xa0

恒成立，求

的取值范围。（）象题形直6、

x若不等式x(4)ax

恒成立，求a取值范围。y解若设

)

，则

为上半圆。

y

y设

，为过原点，为率的直线。

4x在同一坐标系内作出数图象依题意，半圆恒在直线上方时，只有。

时成立，即a的取值范围为7、x

时，不等式x-1)<logx恒立，求a的值范围。a第9页共18页22222222222222解：设y=(x-1),y=logx,则y的象为右图所示的抛物线12a1要使对一切x(1,2),y恒立显然a>1,并且必须也只需当x=2时y的数值大于等于y的数值。1221故log2>1,1<a2.a8、知关于x的程lg(x+4x)-lg(2x-6a-4)=0有一解，实数a取值范围。分析可化成lg(x+4x)=lg(2x-6a-4),从得x+4x=2x-6a-4>0,注意到若将等号两边看成是二次函数y=x+4x及一次函数y=2x-6a-4，则只需考虑这两个函数的图象在x轴方恒有唯一交点即可。解：令=x+4x=x+2）-4,y=2x-6a-4,12y的象为一个定物线y的象是k=2，而截距不定的直线，要使y和在x轴方有唯一交点，则1212直线必须位于l和l之间。（包括l但不包括l）1212当直线为l时，直线过点（0），此时纵截距-8-6a-4=0,a=;1当直线为l时，直线过点（0，0），纵截距为6a-4=0，2

∴a的围为

[)（）理想运平性9、论k为何实数，直线

与曲线

恒有交点，求的围分析：因为题设中有两个参数，用解析几何中有交点的理论将二方程联立，用判别式来解题是较困难的。若考虑到直线过定点A（1）而曲线有交点，那么定点A(0,1)必在圆上或圆内。解，C（a，）当

为圆,圆心C（a，），要使直线恒与圆时，联想到直线与圆的位置关系，则有点A（0，）必在圆上或圆内，即点（01）到圆心距离大于半径，则有（）类论避重遗

，得。10、

时，不等式

恒成立，求x范围。解使用

的条件，必须将m分出来，此时应对

进行讨论。当当当解法：可设

时，要使不等式时，要使不等式时，要使

恒成立，只要，解。恒成立，只要，解得。恒成立，只有。综①③得。，用一次函数知识来解较为简单。我们可以改变元办法将m视为主变元元等式化为(xx0

f()(x(2x

m时，

f()0

(0恒成立，所以只需即(2)0

，所以x的范围是第页共18页,33a,33ax(

,)22

。此类题本质上是利用了一次函数在区[m,n]上的图象是一线段，故只需保证该线段两端点均在x轴方（或下方）即.11、

x

时，不等式

0

恒成立，求实数a的值范围。解：

a

x32x当

1

时，

xx3，，即x6时号成立。x22x故实数的取值范:

（）造数体函思12（1990年国高考题）设，中a为数n为意给定的自然数，且解本题即为对于

，如果

当，有

时有意义，求a的值范围。恒成立。这里有三种元素交织在一起，结构复杂，难以下手，若考虑到求

a的围，可先将a分出来，得，对于

恒成立。构造函数

，则问题转化为求函数

在

上的值域。由于函数

在

上是单调增函数，则

在

上为单调增函数。于是有

的最大值为：，从而可。（）用合集间关在给出的不等式中，若能解出已知取值范围的变量，就可利用集合与集合之间的包含关系来求，即：

，则

f

且

g

，不等式的解即为实数

a

的取值范围。例、当

,3

时，

x

恒成立，求实数

a

的取值范围。解：

logx（1当

时，

1a

x

，则问题转化为

1

a第页共18页a3a3（2当

0时ax

1a

，则问题转化为

1a3,3

13综上所得：

0

13

或

四其类恒立题能成立问题有时是以不等式有解的形式出现的。1、已知函数

f(x

2

ax，g(x)

ax

，其中a，x．对任意[2,4]，有(x)(x)恒成立，求实数的取值范围；12【分析路对在不同区间内的两个函数(g()分别求最值，即只需满足简解：令n(a)=g(x)=a/2；max

f(x)min

即可．令m(a)=f(x),f(x)=(x-a)+1-a,故1)对称轴x=a<1，即或0<a<1时m(a)=f(x)=f(1)=2-2a由m(a)>n(a)解得（意到的围）从而得a的围0<a<4/5;(2)对称轴x=a>2时fm(a)>n(a)解得（意到a的围而得解(3)对称轴∈[1,2]时，fmin(x)=f(a)=2-2a由m(a)>n(a)解得

或，44（注意到a的围）从而得a的围1a2

：;;综合（）实数a的取值范围是：(0，4/5)∪[1,2]2、知两函数

f(x

2

，(x)，任意

f(x)g2

，则实数m的取值范围为解析对任意

1

2

f()g1

2

等价于()在

不大于

f(

2

在

既

1，44题型二、主参换位法已某个参数的范围，整理成关于这个参数的函)题型三、分离参数法（欲求某个参数的范围，就把这个参数分离出来）第页共18页xxxxxxxx题型四、数形结合（恒成立问题与二次函数联系（零点、根的分布法））五不式成问（解存性的理法若在区间D上在实数x使等式若在区间D上在实数x使等式

ff

成立,则等价于在区间D上A成立,则等价于在区间D上f.min1、存在实数，得不等式x

有解，则实数的值范围______解：设f

xx，f

有解，a

af

，又xx

a

，解得

或a1、求使关于p的不式

x

2

p

在∈有的x的值范围。解：即关于的等式

p2

有解,设

f

，则

f

在-2,2]上的最小值小于0。(1)当时，f(p)关于p单调加，故f(p)=f(-2)=x-4x+3<0,解得1<x<3;(2)当x<1时，f(p)关p单减少，故f(p)=f(2)=x-1<0,解得-1<x<1；(3)当时，f(p)=0,故f不成立。综合（）实数x的值范围是(-11)∪(1,3)例、设命题P:x1,x2是程x-ax-2=0的个根，不等式|m-5m-3|≥|对任意实数∈[-1,1]成立；命题Q：不等式|x-2m|-|x|>1(m>0)有解；若命题和命Q都是真命题，求m的范围。解(1)真：

1

a

2

，注意到在间-1,1],

x|1max

,由于|m-5m-3|≥|x-x|对任意数∈[-1,1]成立，故有

|m

x|max

解得：m-1或6m5(1)由真，等|x-2m|-|x|>1(m>0)有，得（|x-2m|-|x|）=2m>1,得：m>1/2由（1（）是公题故m的值范围1/2<m5或m［例（1）已知不等式

40对于x

）恒成立，求实数的取值（2若不等式

40

对于a(

恒成立，求实数

x

的取值范围.分（由

40得：

x

对于x[

1恒立因所2

2x

，当

2

2

时等号成立所有

a22

（2）注意到

40对(

恒成立是关于a的一次不等式.不妨设f()(42)

，则f(a)

在

上单调递减，则问题等价于f0

，所以

0

2或2

，则x取范围为

(

小结：恒成立与有解的区别：恒成立和有解是有明显区别的，以下充要条件应细心思考，甄别差异，恰当使用，等价转化，不可混为一体。①不等式I②不等式I③不等式I④不等式I

时恒成立f(x)MI。即或等于M；时有解f()，I。或f或等于；时恒成立f(xM，xI。或等于M；时有解f()，xI.。或于或等于；第页共18页高中数学点强化班第讲（140709）后练习答：一．填空选择题（每小题6分，共60）1、任意的数

，若不等式

恒成立，那么实数

a

的取值范围。答案：|x+1|-|x-2|-|(x+1)-(x-2)|=-3,实数

a

的取值范围：<-32、不等式sin

4sin

有解，则

的取值范围是解：原不等式有解asin4sin3.若对任意R,不等式xax恒成立，则实数的取值范围是（）

所以

。(A)

a

(B)

(C)

a

（）

a

|

|解：

xR

,不等式

恒成立

yy则由一次函数性质及图像知

，a

。

O

第页共18页答：B．

(1,2)

时，不等式

x

恒成立，则

的取值范围是.解:当

时，由

得

m

4.令(x)

，则易知

f(x

在

上是减函数，所以时fx)

max

f(1)，则

2

)mmin

.．已知不等式

2

xax

2

对任意

a(

都成立，那么实数

的取值范围为．分：知参数

a

的范围，要求自变量

的范围，转换主参元

和

a

的位置，构造以

a

为自变量

作为参数的一次函数

)

，转换成

(0

，

(a)

恒成立再求解。解：由题设知“

2xax2对(0立，即ax2

x

对a(0

都成立。设

g(a)x22x

（

aR

），则

g()

是一个以为自变量的一次函数。

2

恒成立对

R，g(a为上单调递增函数。所以对

a(0g)

恒成立的充分必要条件是

g(0)

2

，x，是x的值范围是

{0}

。6．已知函数

f

，若对于任一实数，与g(x)

的值至少有一个为正数，则实数

的取值范围是（)A．(0，．，8)．(2，8)．(－∞，

y分：

f(x

与

x)

的函数类型，直接受参数

的影响，所以首先要对参数进行分类讨论，然后转换成不等式的恒成立的问题利用函数性质及图像解题。

g(01解：当，f(x在)8

上恒成立，而

(x

x在

上恒成立，显然不满足题意；(图1)当时x)上减且g()

只在

(

上恒成立，

y

f()

图f(x而

f(x

是一个开口向下且恒过定点（0）的二次函数，显然不满足题意。

当时)上增且g()在恒成立，

x而

f(x

是一个开口向上且恒过定点（0）的二次函数，要使对任一实数

，

g()mx

图y

x)第页共18页

x图，得x2②③，得x2②③f

的值至少有一个为正数则只需

f(x在(上成立(如图3)则有

42m)

0

或

42m

解得

或

，综上可得

m

即

m

。故选B。７、已知两函数f

，g(x)=6x-24x+21（）任意

，都有f

成立，那么实数

的取值范围c0；（）在x

成立，那么实数

的取值范围c

；（）任意x

，都有f

，那么实数

的取值范围c

；（）在c的取值范围c-175解析：（1）问题转化为h或。由导数知识，可知

；恒立，故h单调递增，在在由c45，得c。

h

，（据题意在知h于是得c（）与1）问虽然都是不等恒成立问题，但却有很大的区别，对任意,不等式的左右两端函数的自变量不