大学物理学(第三)课后习题

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1-4在离水面高h米的岸上，有人用绳索拉船靠岸，船在离岸S处，如题1-4图所示．当人以

v0(m·s1)的速率收绳时，试求船运动的速度和加快度的大小．

1-4

解：设人到船之间绳的长度为l，此时绳与水面成角，由图可知

l2h2s2

将上式对时间t求导，得

2ldl2sds题1-4图dtdt依据速度的定义，并注意到l,s是随t减少的，∴v绳dlv0,v船dsdtdt即dsldllv0v船dtsdtsv0cos或lv0(h2s2)1/2v0v船ss将v船再对t求导，即得船的加快度1-6一质点作直线运动，其加快度为a＝4+3tms2，开始运动时，x＝5m，v=0，求该质点在t＝10s时的速度和地点．解：∵dvatdt分离变量，得dv(43t)dt积分，得v4t3t2c12由题知，t0,v00,∴c10故v4t3t22又因为vdx4t3t2dt2分离变量，xt3t2)dtd(42积分得x2t21t3c22由题知t0,x05,∴c25故x2t21t352所以t10s时v104103102190ms12x10210211035705m21-10以初速度v0＝20ms1抛出一小球，抛出方向与水平面成幔60°的夹角，求：(1)球轨道最高点的曲率半径R1；(2)落地处的曲率半径R2．(提示：利用曲率半径与法向加快度之间的关系)解：设小球所作抛物线轨道如题1-10图所示．1-10图在最高点，v1vxv0cos60oan1g10ms2又∵v12an11v12(20cos60)2110∴an110m在落地址，v2v020ms1,而an2gcos60ov22(20)2∴2an21080mcos601-13一船以速率v1＝30km·h-1沿直线向东行驶，另一小艇在其前面以速率v2＝40km·h-1沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为何?在艇上看船的速度又为何?解：(1)大船看小艇，那么有v21v2v1，依题意作速度矢量图如题1-13图(a)1-13图由图可知v21v12v2250kmh1方向北偏西arctanv1arctan3v24(2)小船看大船，那么有v12v1v2，依题意作出速度矢量图如题1-13图(b)，同上法，得v1250kmh12-2一个质量为P的质点，在圆滑的固定斜面〔倾角为〕上以初速度v0运动，v0的方向与斜面底边的水平线AB平行，以下列图，求这质点的运动轨道．解:物体置于斜面上遇到重力mg，斜面支持力N.成立坐标：取v0方向为X轴，平行斜面与X轴垂直方向为Y轴.如图图X方向：Fx0xv0t①Y方向：Fymgsinmay②t0时y0vy0y1gsint22由①、②式消去t，得y12gsinx22v02-4质点在流体中作直线运动，受与速度成正比的阻力kv(k为常数)作用，t=0时质点的速度为v0(k)t由0到t的时间内经过的距离为，证明(1)t时刻的速度为v＝vem；(2)0x＝(mv(k)t(m)；(4)证明当0)［1-em］；(3)停止运动前经过的距离为v0tmk时速kk度减至v0的1，式中m为质点的质量．e答:(1)∵

kvdvamdt分离变量，得dvkdtvmvdvtkdt即vmv00lnvktlnemv0vkt∴v0emtmtmv0mt(2)kkxvdtv0edtk(1e)0(3)质点停止运动时速度为零，即t→∞，故有xv0emktmv0dt0k当t=m时，其速度为kkmvv0emk1即速度减至v0的.e

1v0v0e2-10一颗子弹由枪口射出时速率为v0ms1，当子弹在枪筒内被加快时，它所受的协力为F=(abt)N(a,b为常数)，此中t以秒为单位：(1)假定子弹运转到枪口处协力恰好为零，试计算子弹走完枪筒全长所需时间；(2)求子弹所受的冲量．(3)求子弹的质量．解:(1)由题意，子弹到枪口时，有aF(abt)0,得tb子弹所受的冲量It1bt2(abt)dtat02将ta代入，得ba2I2b由动量定理可求得子弹的质量Ia2mv02bv02-13以铁锤将一铁钉击入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板内的深度成正比，在铁锤击第一次时，能将小钉击入木板内1cm，问击第二次时能击入多深，假定铁锤两次打击铁钉时的速度同样．解:以木板上界面为坐标原点，向内为y坐标正向，如题2-13图，那么铁钉所受阻力为2-13图fky第一锤外力的功为A1A1fdyfdy1kkydy①ss02式中f是铁锤作用于钉上的力，f是木板作用于钉上的力，在dt0时，ff．设第二锤外力的功为A2，那么同理，有A2y21ky22kkydy②122由题意，有A2A1(1mv2)k③22即1ky22kk222所以，y22于是钉子第二次能进入的深度为yy2

y1

2-15

一根劲度系数为

k1的轻弹簧

A的下端，挂一根劲度系数为

k2的轻弹簧

B，B的下端一重物C，C的质量为M，如题2-15图．求这一系统静止时两弹簧的伸长量之比和弹性势能之比．解:弹簧A、B及重物C受力如题2-15图所示均衡时，有2-15图FAFBMg又FAk1x1FBk2x2所以静止时两弹簧伸长量之比为x1k2x2k1弹性势能之比为12Ep12k1x1k2Ep21k22k12x22-17由水平桌面、圆滑铅直杆、不行伸长的轻绳、轻弹簧、理想滑轮以及质量为m1和m2的滑块构成如题2-17图所示装置，弹簧的劲度系数为k，自然长度等于水平距离BC，m2与桌面间的摩擦系数为，最先m1静止于A点，AB＝BC＝h，绳已拉直，现令滑块落下m1,求它着落到B处时的速率．解:取B点为重力势能零点，弹簧原长为弹性势能零点，那么由功能原理，有m2gh1(m1m2)v2[m1gh1k(l)2]22式中l为弹簧在A点时比原长的伸长量，那么lACBC(21)h联立上述两式，得kh222m1m2gh21vm2m12-17图2-19质量为M的大木块拥有半径为R的四分之一弧形槽，如题2-19图所示．质量为m的小立方体从曲面的顶端滑下，大木块放在圆滑水平面上，二者都作无摩擦的运动，并且都从静止开始，求小木块离开大木块时的速度．解:m从M上下滑的过程中，机械能守恒，以m，M，地球为系统，以最低点为重力势能零点，那么有mgR1mv21MV222又下滑过程，动量守恒，以m,M为系统那么在m离开M瞬时，水平方向有mvMV0联立，以上两式，得2MgRvmM习题八8-1电量都是q的三个点电荷，分别放在正三角形的三个顶点．试问：(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷，就能够使这四个电荷都抵达均衡(即每个电荷受其余三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这类均衡与三角形的边长有没关?解:如题8-1图示(1)以A处点电荷为研究对象，由力均衡知：q为负电荷21q21qq2cos304π0a4π0(3a)23解得与三角形边长没关．

3q3题8-1图题8-2图8-2两小球的质量都是m，都用长为l的细绳挂在同一点，它们带有同样电量，静止时两线夹角为2,如题8-2图所示．设小球的半径和线的质量都能够忽视不计，求每个小球所带的电量．解:如题8-2图示TcosmgTsinFe1q24π0(2lsin)2解得2sin40mgtanql8-3依据点电荷场强公式4q，当被观察的场点距源点E电荷很近(r→0)时，那么场强→∞，这是没有物理意义的，对此应怎样理解?q解:E4π0r2r0仅对点电荷成立，当r0时，带电体不可以再视为点电荷，再用上式求场强是错误的，实质带电体有必定形状大小，考虑电荷在带电体上的散布求出的场强不会是无穷大．8-4在真空中有A，B两平行板，相对距离为d，板面积为S，其带电量分别为+q和-q．那么这两板之间有相互作使劲f，有人说f=q22,又有人说，因为f=qE,Eq，所以f=q2．试40d0S0S问这两种说法对吗?为何?f究竟应等于多少?解:题中的两种说法均不对．第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的，第二种说法把合场强Eq当作是一个带0S电板在另一带电板处的场强也是不对的．正确解允许为一个板的电场为Eq，另一板受它的作使劲fqqq2，这20S20S20S是两板间相互作用的电场力．8-5一电偶极子的电矩为pql，场点到偶极子中心O点的距离为,矢量r与的夹角为,(见题8-5图)，且rl．试证点rl的场强E在r方向上的重量Er和垂直于r的重量E分别为Er=pcos3,E=psin320r40r:如题8-5所示，将p分解为与r平行的重量psin和垂直于r的重量psin．∵rl∴场点P在r方向场强重量pcosEr32π0r垂直于r方向，即方向场强重量psinE034π0r题8-5图题8-6图8-6长l的直导线AB上均匀地散布着线密度-9C·m-1的正电荷．试求：(1)在导线的延长线上与导线B端相距a1处P点的场强；(2)在导线的垂直均分线上与导线中点相距d2处Q点的场强．解：如题8-6图所示(1)在带电直线上取线元dx，其上电量dq在P点产生场强为dEP1dx4π0(ax)2ldxEPdEP24π0l(ax)2211][4π0alal22lπ0(4a2l2)用l15cm，9Cm1,acm代入得EP102NC1方向水平向右(2)同理dEQ1dx方向如题8-6图所示4π0x2d22因为对称性∵

dEQx0，即EQ只有y重量，ldEQy1dxd24π0x2d22x2d22d2ldxEQydEQy24πl3l22(x2d22)2l2π0l24d22以9Ccm1,l15cm,d25cm代入得EQEQy14.96102NC1，方向沿y轴正向8-7一个半径为R的均匀带电半圆环，电荷线密度为,求环心处O点的场强．解:如8-7图在圆上取dlRd8-7图dqdlRd，它在O点产生场强盛小为RddE方向沿半径向外4π0R2那么dExdEsinsind4π0RdEydEcos()cosd4π0R积分Ex0sind4π0R2π0REy0cosd04π0R∴EEx，方向沿x轴正向．2π0R8-8均匀带电的细线弯成正方形，边长为l，总电量为q．(1)求这正方形轴线上离中心为r处的场强E；(2)证明：在rl处，它相当于点电荷q产生的场强E．解:如8-8图示，正方形一条边上电荷q在P点产生物强dEP4方向如图，大小为dEPcos1cos2l24π0r24l∵cos12l2r22cos2cos1∴dEPll2l24π0r2r242dEP在垂直于平面上的重量dEdEPcos∴dElrl2l2l24π0r2r2r24248-8图因为对称性，P点场强沿OP方向，大小为∵∴

EP44lrdEl2)r2l24π0(r242q4lEPqr方向沿OP4π0(r2l2)r2l2428-9(1)点电荷q位于一边长为a的立方体中心，试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量；(2)假如该场源点电荷挪动到该立方体的一个极点上，这时穿过立方体各面的电通量是多少?*(3)如题8-9(3)图所示，在点电荷q的电场中取半径为R的圆平面．q在该平面轴线上的A点处，求：经过圆平面的电通量．(arctanR)x解:(1)由高斯定理qEdSs0立方体六个面，当q在立方体中心时，每个面上电通量相等∴各面电通量eq．60电荷在极点时，将立方体延长为边长2a的立方体，使q处于边长2a的立方体中心，那么边长2a的正方形上电通量eq60对于边长a的正方形，假如它不包括q所在的极点，那么eq，240假如它包括q所在极点那么e0．如题8-9(a)图所示．题8-9(3)图题8-9(a)图题8-9(b)图题8-9(c)图∵经过半径为R的圆平面的电通量等于经过半径为R2x2的球冠面的电通量，球冠面积*S2π(R2x2)[1x]R2x2∴q0Sq1x4π(R2x2)20[x2]0R2对于球冠面积的计算：见题8-9(c)图S2πrsinrd02πr2sind02πr2(1cos)8-10均匀带电球壳内半径6cm，外半径10cm，电荷体密度为-3求距球心5cm，8cm,12cm各点的场强．2×105C·m解:高斯定理EdSq,Eπr2qs040当r5cm时，q0,E0r8cm时，qp4π(r3r内3)34πr3r内2∴E3104NC1，方向沿半径向外．4π0r2r12cm时,q4π(r外3r内3〕3∴4πr外3r内3104C1沿半径向外.E3N4π0r28-11半径为R1和R2(R2＞R1)的两无穷长同轴圆柱面，单位长度上分别带有电量和-,试求:(1)r＜R1；(2)R1＜r＜R2；(3)r＞R2处各点的场强．解:高斯定理qEdSs0取同轴圆柱形高斯面，侧面积S2πrl那么(1)(2)∴(3)∴

ESEπrlSd2rR1q0,E0R1rR2qlE沿径向向外2π0rrR2q0E08-12图8-12两个无穷大的平行平面都均匀带电，电荷的面密度分别为1和2，试求空间各处场强．:如题8-12图示，两带电平面均匀带电，电荷面密度分别为1与2，两面间，E1(12)n201面外，E1(12)n202面外，E1(12)n20n：垂直于两平面由1面指为2面．8-13半径为R的均匀带电球体内的电荷体密度为,假定在球内挖去一块半径为r＜R的小球体，如题8-13图所示．试求：两球心O与O点的场强，并证明小球空腔内的电场是均匀的．解:将此带电体看作带正电的均匀球与带电的均匀小球的组合，见题8-13图(a)．(1)球在O点产生电场E100，4π3球在O点产生电场E203rOO'4π0d3∴O点电场r3'；E030d3OO(2)4d3在O产生电场E1033OO'4π0d球在O产生电场E200∴O点电场E0OO'30题8-13图(a)题8-13图(b)设空腔任一点P相对O的位矢为r，相对O点位矢为r(如题8-13(b)图)那么∴

EPO3r，0EPOr,30EPEPOEPO(rr)dOO'303030∴腔内场强是均匀的．8-14一电偶极子由q×10-6C的两个异号点电荷组成，两电荷距离，把这电偶极子放在×105N·C-1的外电场中，求外电场作用于电偶极子上的最鼎力矩．解:∵电偶极子p在外场E中受力矩MpE∴MmaxpEqlE代入数字Mmax621035104Nm8-15两点电荷q1×10-8C，q2×10-8C，相距r1=42cm，要把它们之间的距离变成r2=25cm，需作多少功?解:Ar2Fdrr2q1q2drq1q2(11)r1r24π0r24π0r1r2106J外力需作的功AA6.55106J题8-16图8-16如题8-16图所示，在A，B两点处放有电量分别为q,-q的点电荷，AB间距离为2R，现将另一正试验点电荷q0O点经过半圆弧移到C点，求挪动过程中电场力作的功．解:如题8-16图示UO1(qq)04π0RR1qqqUO(R)4π03R6π0R∴Aq0(UOqoqUC)6π0R8-17如题8-17图所示的绝缘细线上均匀散布着线密度为的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R．试求环中心O点处的场强和电势．解:(1)因为电荷均匀散布与对称性，AB和CD段电荷在O点产生的场强相互抵消，取dlRd那么dqRd产生O点dE如图，因为对称性，O点场强沿y轴负方向题8-17图2Rd2cosEdEy24π0R4π0R［sin()sin］222π0R(2)AB电荷在O点产生电势，以U0U1Adx2Rdxln24π0xR4π0xB4π0同理CD产生U24π0ln2半圆环产生UπR3404π0R∴UOU1U2U3ln22π0408-18一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×104m·s-1的匀速率作圆周运动．求带电直线上的线电荷密度．(电子质量m0×10-31kg，电子电量e×10-19C)解:设均匀带电直线电荷密度为，在电子轨道处场强E2π0r电子受力大小FeeEe2π0r∴emv22π0rr得2π0mv213Cm1e8-19空气能够承受的场强的最大值为-1，超出E=30kV·cm这个数值时空气要发生火花放电．今有一高压平行板电容器，极板间距离为d，求此电容器可承受的最高电压．解:平行板电容器内部近似为均匀电场∴

UEd

1.5104

V8-20

依据场强

E与电势

U的关系E

U，求以下电场的场强：(1)

点电荷

q的电场；

(2)总电量为

q，半径为

R的均匀带电圆环轴上一点；*(3)偶极子pql的rl处(见题8-20)．解:(1)点电荷Uq题8-20图4π0r∴EUr04q2r0r0为r方向单位矢量．rπ0r(2)总电量q，半径为R的均匀带电圆环轴上一点电势Uq4π0R2x2∴UqxExi4π0R2x23/2i(3)偶极子pql在rl处的一点电势Uq[11]qlcos4π0(rl)(1l4π0r2coscos)22∴UpcosEr2π0r3rE1Upsinr4π0r38-21证明：对于两个无穷大的平行平面带电导体板(题8-21)来说，(1)相向的两面上，电荷的面密度老是大小相等而符号相反；(2)相背的两面上，电荷的面密度老是大小相等而符号同样．:如题8-21图所示，设两导体A、B的四个平面均匀带电的电荷面密度挨次为1，2，3，4题8-21图那么取与平面垂直且底面分别在A、B内部的闭合柱面为高斯面时，有EdS(23)S0s∴230说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反；在A内部任取一点P，那么其场强为零，并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的，即又∵∴

1232020202314

40200说明相背两面上电荷面密度老是大小相等，符号同样．8-22三个平行金属板A，B和C的面积都是200cm2，A和B相，A与C相距．B，C都接地，如题8-22图所示．假如使A板带正电×10-7C，略去边沿效应，问B板和C板上的感觉电荷各是多少?以地的电势为零，那么A板的电势是多少?解:如题8-22图示，令A板左边面电荷面密度为1，右边面电荷面密度为2题8-22图(1)∵UACUAB，即∴EACdACEABdAB∴1EACdAB22EABdAC且1+qA2S得2qA,12qA3S3S而qC1S2qA2107C3qB2S1107C(2)UAEACdAC1dAC3V08-23两个半径分别为R1和R2〔R1＜R2)的齐心薄金属球壳，现给内球壳带电+q，试计算：外球壳上的电荷散布及电势大小；先把外球壳接地，而后断开接地线从头绝缘，此时外球壳的电荷散布及电势；*(3)再使内球壳接地，此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量．:(1)内球带电q；球壳内表面带电那么为q,外表面带电q，且均匀散布，其电势题8-23图UqdrqEdr24π0RR2R24π0r外壳接地时，外表面电荷q入地，外表面不带电，内表面电荷仍为q．所以球壳电势由内球q与内表面q产生：Uqq4π0R204π0R2(3)设此时内球壳带电量为q；那么外壳内表面带电量为q，外壳外表面带电量为qq(电荷守恒)，此时内球壳电势为零，且得外球壳上电势

UAq'q'qq'4π0R14π0R204π0R2qR1qR2UBq'q'qq'R1R2q4π0R24π0R24π0R24π0R228-24半径为R的金属球离地面很远，并用导线与地相联，在与球心相距为d3R处有一点电荷+q，试求：金属球上的感觉电荷的电量．解:如题8-24图所示，设金属球感觉电荷为q，那么球接地时电势UO08-24图由电势叠加原理有：UOq'q4π0R04π03R得qq38-25有三个大小同样的金属小球，小球1，2带有等量同号电荷，相距甚远，此间的库仑力为F0．试求：用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1，2后移去，小球1，2之间的库仑力；小球3挨次交替接触小球1，2很频频后移去，小球1，2之间的库仑力．解:由题意知q2F04π0r2(1)小球3接触小球1后，小球3和小球1均带电qq,2小球3再与小球2接触后，小球2与小球3均带电q3q4∴此时小球1与小球2间相互作使劲q'q"3q238F124π0r2F04π0r8小球3挨次交替接触小球1、2很频频后，每个小球带电量均为2q.322qq4∴小球1、2间的作使劲F233F04π0r29*8-26如题8-26图所示，一平行板电容器两极板面积都是S，相距为d，分别保持电势UA=U，UB=0不变．现把一块带有电量q的导体薄片平行地放在两极板正中间，片的面积也是S，片的厚度略去不计．求导体薄片的电势．解:挨次设A,C,B从上到下的6个表面的面电荷密度分别为1，2，3，4,5,6以下列图．由静电均衡条件，电荷守恒定律及保持UABU可得以下6个方程8-26图qA10U12SC0UdSq34S56qB0USd230450123456解得16q2S230Uqd2S450Uqd2S所以CB间电场E24Uqd20S0UCUCBE2d1(Uqd)2220S注意：因为C片带电，所以UCU，假定C片不带电，明显UCU228-27在半径为R1的金属球以外包有一层外半径为R2的均匀电介质球壳，介质相对介电常数为r，金属球带电Q．试求：电介质内、外的场强；电介质层内、外的电势；金属球的电势．解:利用有介质时的高斯定理DdSqS(1)介质内(R1rR2)场强DQr3,E内Qrrr3;4πr4π0介质外(rR2)场强DQr,E外Qr4πr34π0r3(2)介质外(rR2)电势UE外drQr4π0r介质内(R1rR2)电势UE内drrE外drrq(11)Q4π0rrR24π0R2Q(1r1)4π0rrR2(3)金属球的电势UR2E内drE外drR1R2R2QdrQdrR4π0rr2R24π0r2Q(1r1)4π0rR1R28-28如题8-28图所示，在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为r的电介质．试求：在有电介质局部和无电介质局部极板上自由电荷面密度的比值．:如题8-28图所示，充满电介质局部场强为E2，真空部分场强为E1，自由电荷面密度分别为2与1由DdSq0得D11，D22而D10E1,D20rE2E1E2Ud∴2D2rD11题8-28图题8-29图8-29两个同轴的圆柱面，长度均为l，半径分别为R1和R2(R2＞R1)，且l>>R2-R1，两柱面之间充有介电常数的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷Q和-Q时，求：在半径r处(R1＜r＜R2＝，厚度为dr，长为l的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量；电介质中的总电场能量；圆柱形电容器的电容．解:取半径为r的同轴圆柱面(S)那么DSrlD(S)d2π当(R1rR2)时，qQ∴DQ2πrl(1)电场能量密度wD2Q2222l28πr薄壳中dWwdQ222πrdrlQ2dr2r2l4πrl8π(2)电介质中总电场能量WdWR2Q2drQ2lnR2VR14πrl4πlR1电容：∵WQ22CQ2πl∴C22Wln(R2/R1)*8-30金属球壳A和B的中心相距为r，A和B本来都不带电．此刻A的中心放一点电荷q1，在B的中心放一点电荷q2，如题8-30图所示．试求：(1)q1对q2作用的库仑力，q2有无加快度；去掉金属壳B，求q1作用在q2上的库仑力，此时q2有无加快度．:(1)q1作用在q2的库仑力仍知足库仑定律，即1q1q2Fr24π0但q2处于金属球壳中心，它受协力为零，没有加快度．．．(2)去掉金属壳B，q1作用在q2上的库仑力还是F1q1q22，4π0r但此时q2受协力不为零，有加快度．题8-30图题8-31图8-31如题8-31图所示，C1F，C2F，C3．C1上电压为50V．求：UAB．解:电容C1上电量Q1C1U1电容C2与C3并联C23C2C3其上电荷Q23Q1∴Q23C1U12550U2C2335C23UABU1U250(12586V)358-32C1和C2两电容器分别注明“200pF、500V〞和“300pF、900V〞，把它们串连起来后等值电容是多少?假如两头加上1000V的电压，能否会击穿?解:(1)C1与C2串连后电容C1C2200300pFC200120C1C2300串连后电压比U1C23，而U1U21000U2C12∴U1600V,U2400V即电容C1电压超出耐压值会击穿，而后C2也击穿．8-33将两个电容器C1和C2充电到相等的电压U此后切断电源，再将每一电容器的正极板与另一电容器的负极板相联．试求：每个电容器的最后电荷；电场能量的损失．解:如题8-33图所示，设联接后两电容器带电分别为q1,q28-33图q1q2q10q20C1UC2Uq1C1U1q2C2U2U1U2解得(1)q1C1(C1C2)U,q2C2(C1C2)UC1C2C1C2电场能量损失WW0W(1C1U21C2U2)(q12q22)222C12C22C1C2U2C1C28-34半径为R1的导体球，外衣有一起心的导体球壳，壳的内、外半径分别为R2和R3，当内球带电荷Q×10-8C时，求：整个电场储藏的能量；假如将导体壳接地，计算储藏的能量；此电容器的电容值．解:如图，内球带电Q，外球壳内表面带电Q，外表面带电Q题8-34图(1)在rR1和R2rR3地区E0在R1rR2时QrE14π0r3rR3时E2Qrπ0r34∴在R1rR2地区W1R210(Q2)24πr2drR124π0r2drQ21)R2Q(1R18π0r28π0R1R2在rR3地区W10(Q)24πr2drQ212R324π0r28π0R3∴总能量WW1W2Q2(111)8π0R1R2R34J(2)导体壳接地时，只有R1rR2时EQr,W204π0r3∴WW1Q2(114J8π0R1R2(3)电容器电容C2W4π0/(11)Q2R1R21012F习题九9-1在同一磁感觉线上，各点B的数值能否都相等?为何不把作用于运动电荷的磁力方向定义为磁感觉强度B的方向?:在同一磁感觉线上，各点B的数值一般不相等．因为磁场作用于运动电荷的磁力方向不单与磁感觉强度B的方向相关，并且与电荷速度方向相关，即磁力方向其实不是独一由磁场决定的，所以不把磁力方向定义为B的方向．9-2(1)在没有电流的空间地区里，假如磁感应线是平行直线，磁感觉强度B的大小在沿磁感觉线和垂直它的方向上能否可能变化(即磁场能否必定是均匀的)?(2)假定存在电流，上述结论能否还对?:(1)不行能变化，即磁场必定是均匀的．如图作闭合回路abcd可证明B1B2BdlB1daB2bc0I0abcd∴B1B2假定存在电流，上述结论不对．如无穷大均匀带电平面双侧之磁力线是平行直线，但B方向相反，即B1B2.9-3用安培环路定理可否求有限长一段载流直导线四周的磁场?:不可以，因为有限长载流直导线四周磁场固然有轴对称性，但不是稳恒电流，安培环路定理其实不合用．9-4在载流长螺线管的状况下，我们导出其内部B0nI，外面B=0，所以在载流螺线管外面围绕一周(见题9-4图)的环路积分LB外·dl

=0但从安培环路定理来看，环路

L中有电流

I穿过，环路积分应为LB外·dl

=

0I这是为何?解:我们导出

B内

0nl

,B外

0有一个假定的前提，即每匝电流均垂直于螺线管轴线．这时图中环路

L上就必定没有电流通过，即也是

L

B外

dl

0

I

0，与

L

B外

dl

0dl

0是不矛盾的．但这是导线横截面积为零，螺距为零的理想模型．实质上以上假定其实不真切存在，所以使得穿过L的电流为I，所以实质螺线管假定是无穷长时，不过B外的轴向重量为零，而垂直于轴的圆周方向重量B0I,r为管外一点到螺线管轴的距2r离．9-4图9-5假如一个电子在经过空间某一地区时不偏转，可否必定这个地区中没有磁场?假如它发生偏转可否必定那个地区中存在着磁场?解：假如一个电子在经过空间某一地区时不偏转，不可以必定这个地区中没有磁场，也可能存在相互垂直的电场和磁场，电子受的电场力与磁场力抵消所致．假如它发生偏转也不可以必定那个地区存在着磁场，因为仅有电场也能够使电子偏转．9-6磁感觉强度-2的均匀磁场，方向沿xWb·m轴正方向，如题9-6图所示．试求：(1)经过图中abcd面的磁通量；(2)经过图中befc面的磁通量；(3)经过图中aefd面的磁通量．解：如题9-6图所示9-6图经过abcd面积S1的磁通是1BS1Wb经过befc面积S2的磁通量BS20经过aefd面积S3的磁通量43BS320.30.5cosWb(或曰)9-7图9-7如题9-7图所示，AB、CD为长直导线，BC为圆心在O点的一段圆弧形导线，其半径为R．假定通以电流I，求O点的磁感觉强度．解：如题9-7图所示，O点磁场由AB、BC、CD三局部电流产生．此中AB产生B10CD产生B20I，方向垂直向里12RCD段产生B30I(sin90sin60)0I(13)，方向向里4R2R22∴B0B1B2B30I(13)，方向向里．2R269-8在真空中，有两根相互平行的无穷长直导线L1和L2，相距，通有方向相反的电流，I1=20A,I2=10A，如题9-8图所示．A，B两点与导线在同一平面内．这两点与导线L2的距离均为．试求A，B两点处的磁感觉强度，以及磁感觉强度为零的点的地点．9-8图解：如题9-8图所示,BA方向垂直纸面向里BA0I10I24T2(0.10.05)2(2)设B0在L2外侧距离L2为r处那么0II202(r0.1)2r解得rm9-9图9-9如题9-9图所示，两根导线沿半径方向引向铁环上的A，两点，并在很远处与电源相连．圆环的粗细均匀，求环中心O的磁感觉强度．解：如题9-9图所示，圆心O点磁场由直电流A和B及两段圆弧上电流I1与I2所产生，但A和B在O点产生的磁场为零。且I1电阻R2.I2电阻R12I1产生B1方向纸面向外0I1(2)，B122RI2产生B2方向纸面向里B2

0I2∴有

2R2B1I1(2)B2I21B0B1B209-10在一半径R的无穷长半圆柱形金属薄片中，自上而下地有电流IA经过，电流散布均匀.如题9-10图所示．试求圆柱轴线任一点P处的磁感觉强度．9-10图解：因为金属片无穷长，所以圆柱轴线上任一点P的磁感觉强度方向都在圆柱截面上，取坐标如题9-10图所示，取宽为dl的一无穷长直电流dIIl，在轴上P点产生dB与R垂直，R大小为0dI0IRd0IddBR2R2R22RdBxdBcos0Icosd22RdBydBcos()0Isind22R2∴2Icosd0I[sinsin()]0I5TBx22R22R22R22By2(0Isind0)222R∴B5iT9-11氢原子处在基态时，它的电子可看作是在半径a×10-8cm的轨道上作匀速圆周运动，速率v×108cm·s-1．求电子在轨道中心所产生的磁感觉强度和电子磁矩的值．解：电子在轨道中心产生的磁感觉强度0evaB034a如题9-11图，方向垂直向里，大小为0ev13TB024a电子磁矩Pm在图中也是垂直向里，大小为Pmea2eva24Am2T2题9-11

图

题

9-12图9-12

两平行长直导线相距

d=40cm，每根导线载有电流I1=I2=20A，如题9-12图所示．求：两导线所在平面内与该两导线等距的一点A处的磁感觉强度；(2)经过图中斜线所示面积的磁通量．(r1=r3=10cm,=25cm)．解：(1)BA0I10I24105T方向纸面向外2(d)2(d)22(2)取面元dSldrr1r2[0I11I1]ldr0I1l0I2l1I1l6Wbr1ln3lnln32r2(dr)2239-13一根很长的铜导线载有电流10A，设电流均匀散布.在导线内部作一平面S，如题9-13图所示．试计算经过S平面的磁通量(沿导线长度方向取长为1m的一段作计算)．铜的磁导率0.解：由安培环路定律求距圆导线轴为r处的磁感觉强度Bdl0IlB2rIr20R2∴B0Ir2R2题9-13图磁通量R0Ir0I6WbBdS2dr10m2R(s)049-14设题9-14图中两导线中的电流均为8A，对图示的三条闭合曲线a,b,c，分别写出安培环路定理等式右边电流的代数和．并议论：在各条闭合曲线上，各点的磁感觉强度B的大小能否相等?在闭合曲线c上各点的B能否为零?为何?解：Bdl80aba

Bdl80Bdl0c在各条闭合曲线上，各点B的大小不相等．在闭合曲线C上各点B不为零．不过B的环路积分为零而非每点B0．题9-14图题9-15图9-15题9-15图中所示是一根很长的长直圆管形导体的横截面，内、外半径分别为a,b，导体内载有沿轴线方向的电流I，且I均匀地散布在管的横截面上．设导体的磁导率0，试证明导体内部各点(arb)的磁感觉强度的大小由下式给出：B0Ir2a2(b2a2)r2解：取闭合回路l2r(arb)那么BdlB2r(r2lIa)I2b2a2∴B0I(r2a2)2r(b2a2)9-16一根很长的同轴电缆，由一导体圆柱(半径为a)和一起轴的导体圆管(内、外半径分别为b,c)构成，如题9-16图所示．使用时，电流I从一导体流去，从另一导体流回．设电流都是均匀地散布在导体的横截面上，求：(1)导体圆柱内(r＜a),(2)两导体之间(a＜r＜b)，〔3〕导体圆筒内(b＜r＜c)以及(4)电缆外(r＞c)各点处磁感觉强度的大小解：Bdl0IL(1)raIr2B2r0R2B

0Ir2R2(2)arbB2r0I0IB2r(3)(4)

brcB2r0Ir2b20Ic2b2B0I(c2r2)2r(c2b2)rcB2r0B0题9-16图题9-17图9-17在半径为R的长直圆柱形导体内部，与轴线平行地挖成一半径为r的长直圆柱形空腔，两轴间距离为a,且a＞r，横截面如题9-17图所示．此刻电流I沿导体管流动，电流均匀散布在管的横截面上，而电流方向与管的轴线平行．求：圆柱轴线上的磁感觉强度的大小；空心局部轴线上的磁感觉强度的大小．解：空间各点磁场可看作半径为R，电流I1均匀散布在横截面上的圆柱导体和半径为r电流I2均匀散布在横截面上的圆柱导体磁场之和．圆柱轴线上的O点B的大小：电流I1产生的B10，电流I2产生的磁场B20I20Ir22a2aR2r2∴B00Ir22a(R2r2)空心局部轴线上O点B的大小：电流I2产生的B20，电流I1产生的B20Ia20Ia2aR2r22(R2r2)∴0IaB02r2)2(R9-18图9-18如题9-18图所示，长直电流I1邻近有一等腰直角三角形线框，通以电流I2，二者共面．求△ABC的各边所受的磁力．解：AFABI2dlBBFABI2a0I10I1I2a方向垂直AB向左2d2dFACC方向垂直AC向下，大小为I2dlBAFACdaI2dr0I10I1I2lndad2r2d同理FBC方向垂直BC向上，大小∵∴

FBcdaI2dl0I1d2rdldrcos45FBCda0I2I1dr0I1I2daaln2rcos452d9-19图9-19在磁感觉强度为B的均匀磁场中，垂直于磁场方向的平面内有一段载流曲折导线，电流为I，如题9-19图所示．求其所受的安培力．解：在曲线上取dl那么FabbIdlBa∵dl与B夹角dl，B不变，B是均匀的．2∴FabbbaIdlBI(dl)BIabBa方向⊥ab向上，大小FabBIab9-20图9-20如题9-20图所示，在长直导线AB内通以电流I1=20A，在矩形线圈CDEF中通有电流I2=10A，AB与线圈共面，且CD，EF都与AB平行．a=9.0cm,b=20.0cm,d，求：导线AB的磁场对矩形线圈每边所作用的力；矩形线圈所受协力和协力矩．解：(1)FCD方向垂直CD向左，大小FCDI2b0I14N2d同理FFE方向垂直FE向右，大小FFE

I2b

0I1

8.010

5

N2(d

a)FCF方向垂直CF向上，大小为da0I1I2lnda5FCFd0I1I2drN2r2dFED方向垂直ED向下，大小为FEDFCF5N(2)协力FFCDFFEFCFFED方向向左，大小为F7.2104N协力矩MPmB∵线圈与导线共面∴Pm//BM0．9-21图9-21边长为l的正三角形线圈放在磁感觉强度B=1T的均匀磁场中，线圈平面与磁场方向平行.如题9-21图所示，使线圈通以电流I=10A，求：线圈每边所受的安培力；对OO轴的磁力矩大小；从所在地点转到线圈平面与磁场垂直时磁力所作的功．解：(1)FbcIlB0FabIlB方向纸面向外，大小为FabIlBsin120NFcaIlB方向纸面向里，大小FcaIlBsin120N(2)PmISMPmB沿OO方向，大小为MISBI3l22Nm4(3)磁力功AI(21)∵1023l2B4∴AI3l22J49-22一正方形线圈，由细导线做成，边长为a，共有N匝，能够绕经过其相对两边中点的一个竖直轴自由转动．此刻线圈中通有电流I，并把线圈放在均匀的水平外磁场B中，线圈对其转轴的转动惯量为J.求线圈绕其均衡地点作细小振动时的振动周期T.解：设微振动时线圈振动角度为(Pm,B)，那么MPmBsinNIa2Bsin由转动定律即∴振动角频次

d2NIa2BsinNIa2BJ2atd2NIa2B0dt2JNIa2BJ周期2JT2Na2IB9-23一长直导线通有电流I1＝20A，旁边放一导线ab，此中通有电流I2=10A，且二者共面，如题9-23图所示．求导