北京中考尺规作图与理论依据讲义

中考尺规作图与理论依据讲义基本作图专注一对一第1页共45页郝老2页共45页常添结论1、线段垂直平分线的性质定理及逆定理垂直于一条线段并且平分这条线段的直线是这条线段的垂直平分线。段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。2、角的平分线及其性质一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。角的平分线有下面的性质定理：1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。专注一对一第3页共45页郝老师171901638882）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。3、平行线公理及其推论平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。5三角形全等的判定定理：边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“”）6等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于607、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：理常用于证明同一个三角形中的边相等。：三个角都相等的三角形是等边三角形：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。：在直角三角形中，如果一个锐角等于°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。8、三角形中的中位线连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。2）要会区别三角形中线与中位线。三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。数量关系：可以证明线段的倍分关系。9四边形的内角和定理：四边形的内角和等于360、四边形的外角和定理：四边形的外角和等于360°。推论：多边形的内角和定理：n边形的内角和等于(n-2)180第4页共45页12多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于36013多边形的对角线条数的计算公式（）设多边形的边数为，则多边形的对角线条数、平行四边形的性质1）平行四边形的邻角互补，对角相等。2）平行四边形的对边平行且相等。推论：夹在两条平行线间的平行线段相等。3）平行四边形的对角线互相平分。、平行四边形的判定1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形2）定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形3）定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形4）定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形5）定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形、矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。、矩形的性质：（1）具有平行四边形的一切性质；（）矩形的四个角都是直角；3）矩形的对角线相等；4）矩形是轴对称图形。、矩形的判定1）定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形2）定理1：有三个角是直角的四边形是矩形：对角线相等的平行四边形是矩形191、菱形的概念：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形、菱形的性质（1）具有平行四边形的一切性质（）菱形的四条边相等3）菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角（）菱形是轴对称图形、菱形的判定1）定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形2）定理1：四边都相等的四边形是菱形：对角线互相垂直的平行四边形是菱形21正方形、正方形的概念：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。、正方形的性质1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质专注一对一第5页共45页郝老师171901638882）正方形的四个角都是直角，四条边都相等3）正方形的对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角、正方形的判定1）定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2）定理1：对角线相等的菱形是正方形。3）定理2：对角线垂直的矩形是正方形。4）定理3：有一个角是直角的菱形是正方形。24圆的有关定理及推论：（1）弧、弦、圆心角之间的关系:在同圆或等圆中，如果两条劣弧（优弧）、两条两个圆心角中有一组量对应相等，那么它们所对应的其余各组量也分别对应相等.（2）垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．垂径定理的推论:平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧.平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧．（3）在同一圆内，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半.直径或半圆所对的圆周角是直角；90度的圆周角所对的弦是直径，所对的弧是半圆。（4）圆内接四边形的性质:圆的内接四边形对角互补，并且任何一个外角等于它的内对角.（5）过不在同一直线上的三点有且只有一个圆.一个三角形有且只有一个外接圆.三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点.三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等.（6）切线的性质:与圆只有一个公共点；圆心到切线的距离等于半径；圆的切线垂直于过切点的半径.（7）切线的识别:如果一条直线与圆只有一个公共点，那么这条直线是圆的切线.到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线.经过半径的外端且垂直与这条半径的直线是圆的切线.三角形的内心是三角形三条内角平分线的交点.（8）切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等.第6页共45页这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角.1．（东城一模）已知锐角∠AOB，如图，1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作N，交射线OBD，连接CD；2）分别以点CD为圆心，长为半径作弧，两弧交于点P，连接CPDP；3）作射线OP交Q．）A．CPOBBCP=2QCC．∠AOPDOP2．（顺义一模）已知直线及直线外一点．如图，1）在直线l上取一点，连接；2的垂直平分线MN，分别交直线，O；3O为圆心，OB长为半径画弧，交直线于另一点Q；4）作直线．根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．△OPQ≌△．∥．1APBQDAPQ6023．（门头沟一模）已知，如图，在菱形ABCD1）分别以，D为圆心，大于12CD长为半径作弧，两弧分别交于点，；2）作直线EF，且直线恰好经过点，且与边交于点M；3）连接BM．）A．∠ABC=60°B．如果AB=2，那么BM．BC=2D．SS△ABMADM专注一对一第7页共45页郝老师171901638884l∥A在直线1A，2于，C两点，以点C为圆心，长为半径画弧，与前弧交于点D（不与点B重合），连接AC，BC，CD，其中交2E．若∠ECA40°）A．∠=70°B．∠=80°．=D=（平谷一模）已知锐角∠AOB.如图，1）在射线OA上取一点C，以点O为圆心，OC长为半径作弧DE，交射线OBF，连接CF；2）以点F为圆心，长为半径作弧，交弧DEG；3）连接FGCG．作射线OG.根据以上作图过程及所作图形，下列结论中错误的是（）A．∠BOG=∠AOBBCG=OC则∠AOB=30°COF垂直平分D．6O.1）作⊙O的直径；2）以点D为圆心，长为半径画弧，交⊙O于C两点；3）连接DBDC，，AC根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中错误的是（）A．∠ABD=90°．∠BAD=．⊥D．AC7．（燕山一模）已知⊙O．如图，(1)作⊙O的直径AB；(2)A为圆心，长为半径画弧，交⊙O于CD两点；(3)交，连接ACBC．根据以上作图过程及所作图形，有下面三个推断：①CEDE②＝3AEBC＝CE．所有正确推断的序号_______________.第8页共45页（延庆一模）已知，如图，点A是直线l上的一点．求作：正方形ABCD，使得点B在直线l（要求保留作图痕迹，不用写作法）请你说明，∠BAD90°的依据是什么？2．（石景山一模）下面是小石设计的过直线上一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.已知：如图1，直线l及直线l上一点P．求作：直线，使得l．图1作法：如图2，P为圆心，任意长为半径作弧，交直线lA，B；A，B为圆心，以大于12的同样长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点Q；③作直线．所以直线就是所求作的直线．根据小石设计的尺规作图过程，1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；2）完成下面的证明．

图2证明：连接，．∵（①（②∴l（③）（填推理的依据）．3.（房山一模）下面是小方设计的“作一个30°”的尺规作图过程.已知：直线及直线外一点P．求作：直线上一点C使得∠PCB=30°．作法：①在直线上取一点M；P为圆心，为半径画弧，与直线交于点MN；③分别以、N为圆心，为半径画弧，在直线下方两弧交于点Q．PQO.P为圆心，为半径画弧，交直线CCO的左侧.则∠就是所求作的角．根据小方设计的尺规作图过程，专注一对一第9页共45页郝老师171901638881）使用直尺和圆规补全图形；（保留作图痕迹）2）完成下面的证明．证明：∵PM=QMQN，∴四边形PMQN是．∴PQMNPQ=2（）．（填写推理依据）PO∵在RtΔsin∠PCB==_____（填写数值）PC∴∠PCB=30°4．（密云一模）下面是小菲设计的“作一个角等于已知角的二倍”的尺规作图过程．已知：△中，AC>BC．求作：∠ADB，使得∠ADB=2C．作法：如图，1①分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于MN点，作直线MN；21②分别以点A和点BABPQ和交2D；③和；④D为圆心，的长为半径作⊙D．所以∠ADB=2．根据小菲设计的尺规作图过程.1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；2）完成下面的证明．证明：连接∵和分别为AC的垂直平分线，∴=．∴⊙D是△的外接圆．∵点C是⊙D上的一点，∴∠ADB=2C）（填推理的依据）第10页共45页5.（西城一模）先阅读下列材料，再解答问题.尺规作图:已知：△ABC，D上一点，如图，求作：四边形DBCF，使得四边形是平行四边形.小明的做法如下：（1）设计方案先画一个符合题意的草图,，再分析实现目标的具体方法，依据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形.图22）设计作图步骤，完成作图作法：如图，①；②分别作∠ECP∠EBA,∠ADQ∠ABE；③DQ与交于点F.∴四边形即为所求.图3（）推理论证证明：∵∠ECP∠EBA，∴CPBA.同理，DQBE.∴四边形是平行四边形.是平行四边形，并证明．专注一对一第页共45页郝老密云二模）已知：点AB在直线的两侧．A到直线的距离小于点B到直线的距离）．12根据以上作图过程及所作图形，下列四个结论中：①是⊙C的切线；②EF；③PB=PC=PFAPN=∠BPN．所有正确结论的序号是．（西城二模）下面是小明设计的“在已知三角形的一边上取一点，使得这点到这个三角形的另外两边的距离相等”的尺规作图过程：已知：△ABC.求作：点D，使得点D在边上，且到AB，边的距离相等.作法：如图，作∠的平分线，交D.D即为所求.根据小明设计的尺规作图过程，1）使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；2）完成下面的证明.证明：作⊥E⊥，平分∠BAC，∴=()(填推理的依据).第12页共45页2．（昌平二模）在数学课上，老师提出如下问题：已知：∠α，直线l和l上两点，．求作：RtABC，使点C在直线l的上方，且∠ABC＝90°，∠BAC＝∠α．小刚的做法如下：①以∠α的顶点O为圆心，任意长为半径作弧，交两边于M，N；以A为圆心，同样长为半径作弧，交lP；②以P为圆心，的长为半径作弧，两弧交于点Q，作射线AQ；③以B为圆心，任意长为半径作弧，交直线l于，；④分别以，F为圆心，大于长为半径作弧，两弧在直线l上方交于点G，作射线；⑤射线与射线交于点C．△即为所求．1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）2）完成下面的证明：PQ．在△和△＝APNMPQOM＝，∴△OMN≌△AQP（）．（填写推理依据）∴∠＝∠O＝α．CECFBEBF，CBEF（）．（填写推理依据）专注一对一第13页共45页郝老师171901638883．（门头沟二模）下面是小明同学设计的过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图1，直线l和直线l外一点P．图1求作：直线PQ，使直线PQ∥直线．作法：如图2，①在直线l上任取一点，作射线AP；P为圆心，为半径作弧，交直线l，连接PB；P为圆心，长为半径作弧，交射线；分别以BC为圆心，大于12长为半径作弧，在的右侧两弧交于点Q；④作直线；所以直线就是所求作的直线．根据上述作图过程，回答问题：1）用直尺和圆规，补全图2中的图形；2）完成下面的证明：证明：由作图可知平分∠CPB，∴∠==12∠CPB．又∵PB，∴∠PBA）（填依据）．∵∠CPB∠+PBA，∴∠=12CPB．∴∠=．PQ）（填依据）．第14页共45页（海淀二模）下面是小王同学“过直线外一点作该直线的平行线的尺规作图过程.已知：直线l及直线l外一点P.求作：直线PQ，使得PQ//l.作法：如图，①在直线l外取一点A，作射线与直线l交于点B，②以A为圆心，为半径画弧与直线l交于点，连接AC，③以A为圆心，为半径画弧与线段交于点Q，则直线即为所求.根据小王设计的尺规作图过程，1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）2）完成下面的证明．证明：∵AB=AC，∴ABC=ACB，（____________________.（填推理的依据）∵AP=_________,∴∠AQP.∵ABC+ACB+∠A=180°，∠∠AQP+A=180°，∴∠ABC.∴∥（____________________.（填推理的依据）即PQ//l.专注一对一第15页共45页郝老师171901638885．（朝阳二模）下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.已知：直线l及直线l外一点P．求作：直线PQ，使得PQl．作法：如图，①任意取一点，使点KP在直线l的两旁；P为圆心，长为半径画弧，交lA，，连接AP；BAB（点QA在直线④作直线．所以直线就是所求作的直线．根据小东设计的尺规作图过程，1）使用直尺和圆规，补全图形；（保留作图痕迹）2）完成下面的证明．证明：连接BQ,=BQ=，∴四边形是平行四边形（）（填推理依据）．∥．第16页共45页6．（平谷二模）下面是小元设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程．已知：如图，直线l和直线外一点P．P作直线l的平行线．作法：如图，①在直线l上任取点O；②作直线；O为圆心OP长为半径画圆，交直线A，交直线l；AB，以点B为圆心，长为半径画弧，交⊙OC(点AC不重合）；⑤作直线CP；则直线即为所求．根据小元设计的尺规作图过程，完成以下任务．1）补全图形；2）完成下面的证明：BP、∵AB=BC∴∴_________=∠_________，OB=OP，∴_________=∠_________，∴CPB=∠OBP，∴CP（____________）（填推理的依据）．专注一对一第17页共45页郝老师171901638886．（顺义二模）下面是小东设计的以线段为一条对角线作一个菱形”的尺规作图过程．已知：线段AB．求作：菱形ACBD．作法：如图，A为圆心，以长为半径作⊙A；B为圆心，以长为半径作⊙B，交⊙A于CD两点；ACBC，，AD．所以四边形ACBD就是所求作的菱形．根据小东设计的尺规作图过程，1）使用直尺和圆规，补全图形（保留作图痕迹）；2）完成下面的证明．证明：∵点,CD在⊙A∴AB=AC=AD()（填推理的依据）．∵点,CD在⊙B∴AB=BC=BD．∴===．∴四边形ACBD是菱形.()（填推理的依据）．7．（丰台二模）下面是小文设计的“过圆外一点作圆的切线”的作图过程.已知：⊙O和圆外一点．求作：过点P的⊙O的切线．作法：①连接；②以OP为直径作⊙M，交⊙OAB；③作直线，PB；所以直线为⊙O的切线.根据小文设计的作图过程，完成下面的证明.证明：连接OAOB.OP为⊙M的直径，∴∠OAP∠=°（）填推理的依据).OA，⊥BP.OAOB为⊙O半径，，为⊙O的切线.（）(填推理的依据).第18页共45页（房山二模）下面是“作一个30°”的尺规作图过程．已知：平面内一点A．求作：∠A，使得∠A＝30°．作法：如图，（1）作射线AB；（2）在射线上取一点OO为圆心，OA为半径作圆，与射线相交于点C；（3C为圆心，OC为半径作弧，与⊙O交于点D，作射线AD．则∠即为所求的角．_______________________________________．9．（东城二模）下面是作一个45°角的尺规作图过程．已知：平面内一点．求作：∠A，使得∠A45°．作法：如图，1作射线AB；2在射线上取一点OO为圆心，OA长为半径作圆，与射线相交于点；3分别以AC12DOD交O；4作射线AE.则∠即为所求的角.1）使用直尺和圆规，补全图形；(保留作图痕迹)2）完成下面的证明.证明:AD=CDAO=CO,∴∠AOE∠=°.∴∠EAB=°.()(填推理的依据)专注一对一第19页共45页郝老西城一模）阅读下面材料：在复习课上，围绕一道作图题，老师让同学们尝试应用学过的知识设计多种不同的作图方法，并交流其中蕴含的数学原理．已知：直线和直线外的一点P．求作：过点P且与直线l垂直的直线PQ，垂足为点Q.某同学的作图步骤如下：步骤作法推断第一步P为圆心，适当长度为半径作弧，交直线l于A，B两点．PAPB第二步PA，PB的平分线，交直线lQ．_________PQ即为所求作．l请你根据该同学的作图方法完成以下推理：∵PAPB，__________，∴l．（依据：______________________________________________________（石景山一模）小林在没有量角器和圆规的情况下，利用刻度尺和一副三角板画出了一个角的平分线，他的做法是这样的：如图，1）利用刻度尺在的两边，上分别取；（）利用两个三角板，分别过点M，N画，ON的垂线，交点为P；3）画射线．则射线为的平分线．请写出小林的画法的依据．（怀柔一模）阅读下面材料：在数学课上，老师提出利用尺规作图完成下面问题：已知：△ABC.求作：△的内切圆.小明的作法如下：如图：(1)作∠ABC，∠ACB的平分线BE和CF，两线相交于点O;(2)过点O作OD⊥BC，垂足为点(3)点O为圆心，OD长为半径作⊙O.所以，⊙O即为所求作的圆.请回答：该尺规作图的依据是_______________________________________________.第20页共45页（平谷一模）下面是“作已知角的角平分线”的尺规作图过程．图1OP，使它平分∠MON．作法：如图2，（1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OMONB；（2）连接AB；（）分别以点B为圆心，大于12的长为半径作弧，两弧相交于点；（4）作射线OP．所以，射线OP即为所求作的射线．请回答：该尺规作图的依据是．（海淀一模）下面是“过圆上一点作圆的切线”的尺规作图过程.请回答：该尺规作图的依据是．（东城一模）已知：正方形ABCD..专注一对一第21页共45页O;OO.⊙O即为所求作的圆.7.（朝阳一模）下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线的尺规作图过程.已知：直线a和直线外一点P.求作：直线a的垂线，使它经过P.作法：如图，1）在直线a上取一点,PA；2）分别以点AP为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于C两点，连接交D；3）以点D为圆心，DP为半径作圆，交直线a，作直线PE.所以直线就是所求作的垂线.请回答：该尺规作图的依据是．“作一个角等于已知角的尺规作图过程．已知：∠.求作：一个角，使它等于∠.作法：如图，1）以点A为圆心，任意长为半径作⊙，交∠A的两边于，C两点；2）以点C为圆心，长为半径作弧，与⊙A点D，作射线AD．所以∠就是所求作的角．请回答：该尺规作图的依据是．第22页共45页（大兴一模）下面是“求作∠AOB的角平分线”的尺规作图过程．已知：如图，钝角∠AOB.求作：∠AOB的角平分线.作法：①在OA和OB上，分别截取OD、OE，使OD＝OE；②分别以D、E为圆心，大于12的长为半径作弧,在于点C；③作射线OC.所以，射线OC就是所求作的∠AOB的角平分线.．10.（顺义一模）在数学课上，老师提出一个问题“用直尺和圆规作一个矩形”．小华的做法如下：（1）如图1，任取一点O作直线l，l；（2）如图2，以O为圆心，任意长为半径作圆，与直线，l2分别相交于点A、C，B、D；（3）如图3，连接AB、BC、CD、DA．四边形ABCD即为所求作的矩形．老师说：“小华的作法正确”．请回答：小华的作图依据是．专注一对一第23页共45页郝老通州一模）尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：如图，直线l与直线l外一点P.求作：过点P与直线l平行的直线．作法如下：（1）在直线l上任取两点A，B，连接AP，；（2）B为圆心，AP长为半径作弧；以点P为圆心，AB长为半径作弧；如图所示，两弧交于点M.（3）P、M作直线．（4）PM即为所求.所以直线为所求.请回答：PM平行与l的依据是．12.（门头沟一模）下图是“已知一条直角边和斜边做直角三角形”的尺规作图过程．已知：线段、b，求作：．使得斜边b,a作法：如图．（1）作射线AP，截取线段ABb；（2为直径，作⊙O；（3）以点A为圆心，a的长为半径作弧交⊙O；（4）连接ACCB.即为所求作的直角三角形．请回答：该尺规作图的依据是______________________________________________．第24页共45页13.（燕山一模）在数学课上，老师提出如下问题：︵尺规作图：确定图中所在圆的圆心．︵︵已知：．求作：CD所在圆的圆心O．曈曈的作法如下：如图，︵（1）在上任意取一点M，分别连接CMDM；（2）分别作弦CMDM的垂直平分线，两条垂直平分线交于点O．︵所以，点O就是CD所在圆的圆心．老师说：“曈曈的作法正确．”_____________________________________________________________．【平谷一模】．全等三角形“SSS”判定定理；全等三角形对应角相等；两点确定一条直线．石景山1.16．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：已知：在△中，∠A．求作：⊙P，使得点P上，且⊙P与AB，都相切．如图，（）作∠的平分线BF交于点；（）以点P为圆心，长为半径作⊙．所以⊙P即为所求．小轩的主要作法如下：老师说：“小轩的作法正确．”请回答：⊙P与相切的依据是____________________________________．专注一对一第25页共45页郝老师171901638881、【石景山一模】．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：已知：在△中，∠A．求作：⊙P，使得点P上，且⊙P与AB，都相切．小轩的主要作法如下：如图，（）作∠的平分线BF交于点；（）以点P为圆心，长为半径作⊙．所以⊙P即为所求．老师说：“小轩的作法正确．”请回答：⊙P与相切的依据是____________________________________．1、【年怀柔一模】16．数学活动课上，老师让同学们围绕一道尺规作图题展开讨论，尽可能想出不同的作法：已知：如图，直线L和L外一点P.PQ⊥LQ．小强的作法如下：1.在直线L上任取一点A，连接1分别以AP为圆心，以大于2AP长为半径作弧，两弧交于D两点；作直线APO；以O为圆心，以OA长为半径作圆，交直线LQ；作直线所以直线即为所求.老师说：“小强的作法正确．”请回答：小强这样作图的依据是:．第26页共45页2、【一模门头沟区】16.下图是“已知一条直角边和斜边做直角三角形”的尺规作图过程．已知：线段a、，求作：b,a作法：如图．（1）作射线AP，截取线段ABb；（）以为直径，作⊙O；（）以点A为圆心，a的长为半径作弧交⊙O；（）连接、CB.即为所求作的直角三角形．请回答：该尺规作图的依据是__________．1【年门头沟一模】.在数学课上，老师布置了一项作图任务，如下：已知：如图16-1，在△，请在图中的△内（含边），画出使的一个点P（保留作图痕迹），小红经过思考后，利用如下的步骤找到了点：1为直径，做⊙M，如图16-2；2）过点M作的垂线，交⊙M；3）以点N为圆心，为半径作⊙NCA、，在劣弧上任取P即为所求点，如图16-3.说出此种做法的依据__________.16-1

16-3专注一对一第27页共45页郝老师171901638882、【一模朝阳区】16.下面是“经过已知直线外一点作这条直线的垂线”的尺规作图过程.已知：直线a和直线外一点P.求作：直线a的垂线，使它经过P.作法：如图，1）在直线a上取一点,；2）分别以点AP为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于C两点，连接交D；3）以点D为圆心，DP为半径作圆，交直线a于点，作直线PE.所以直线就是所求作的垂线.请回答：该尺规作图的依据是．3、16．阅读下面材料：如图，AB是半圆的直径，点C在半圆外，老师要求小明用无刻度的直尺画出△ABC的三条高.小明的作法如下：（1）连接AD，BE，它们相交于点P；（2）连接CP并延长，交ABF.所以，线段AD，BE，CF就是所求的△ABC的三条高.请回答，小明的作图依据是.1.（东城二模）阅读下列材料：数学课上老师布置一道作图题：第28页共45页小东的作法如下：老师说：“小东的作法是正确的.”请回答：小东的作图依据是.2.（海淀二模）下面是“作以已知线段为斜边的等腰直角三角形”的尺规作图过程．已知：线段AB．求作：以AB为斜边的一个等腰直角三角形．作法：如图，（1AB为圆心，大于12的长为半径作弧，两弧相交于P，Q两点；（2）作直线PQABO；（3O为圆心，的长为半径作圆，交直线PQC；（4）连接，即为所求作的三角形．请回答：在上面的作图过程中，①是直角三角形的依据是；②是等腰三角形的依据是．专注一对一第29页共45页郝老师171901638883.（朝阳二模）下面是“作三角形一边上的高”的尺规作图过程.已知：△ABC.求作：△上的高.作法：如图，（）分别以点BC为圆心，BA,CA为半径作弧,两弧相交于点；（）作直线交边于点D.所以线段就是所求作的高.请回答：该尺规作图的依据是4.（石景山二模）已知：在四边形ABCD中，∠ABC=ADC=90ºM、N分别是和上的点．求作：点、，使△AMN的周长最小．作法：如图，1）延长AD的延长线上截取´=DA；2）延长AB的延长线上截取BA″BA；3）连接A′A″，分别交CD、MN．M、N即为所求作的点．请回答：这种作法的依据是_____________________________________________________________．ABC是⊙OOD⊥BC于点D请借助直尺，画出△ABC中∠BAC的平分线.晓龙同学的画图步骤如下：（1）延长ODC于点M；（2）连接AM交BC于点N.所以线段AN为所求△ABC中∠BAC的平分线.请回答：晓龙同学画图的依据是.第30页共45页6.（门头沟二模）以下是通过折叠正方形纸片得到等边三角形的步骤：问题：在折叠过程中，可以得到PB=PC；依据是____________________________________________________.7.（昌平二模）“直角”在初中几何学习中无处不在．课堂上李老师提出一个问题：如图，已知∠AOB．判断∠是否为直角（仅限用直尺和圆规）．小丽的方法如图，在OAOB上分别取点，D，C为圆心，长为半径画弧，交OB的反向延长线于点．若OEOD，则∠AOB=°．李老师说小丽的作法正确，请你写出她作图的依据：8.（房山二模）阅读下面材料：在数学课上，老师提出如尺规作图：作一条线段等于已知线段.已知：线段AB.求作：线段CDAB.小亮的作法如下：如图：1）作射线；2）以C为圆心，长为半径作弧交于D.则线段就是所求作的线段.专注一对一第31页共45页郝老师说：“小亮的作法正确”请回答：小亮的作图依据是_________________________________________________．9.（怀柔二模）下面是“已知线段AB，求作在线段Rt△ABC.”的尺规作图的过程.已知：线段AB.求作：在线段上方作等腰RtABC.作法：如图(1)分别以点AB为圆心，大于12的长为半径作弧，两弧相交于EF两点；；(2)作直线O；(3)以O为圆心，OA为半径作O上方交；(4)连接线段ACBC.△为所求的等腰△ABC.请回答：该尺规作图的依据是____________________________________________________________.10.（平谷二模）在数学课上，老师提出一个问题“用直尺和圆规作以为底的等腰直角三角形ABC”．小美的作法如下：1分别以点AB为圆心，大于12作弧，交于点M，；2作直线MNO；3O为圆心，OA为半径，作半圆，交直线；4ACBC．所以，△即为所求作的等腰直角三角形．请根据小美的作法，用直尺和圆规作以为底的等腰直角三角形ABC，并保留作图痕迹．这种作法的依据是第32页共45页下面是“经过已知直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程.请回答：该作图的依据是.例2、在数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：过直线外一点作已知直线的平行线．已知：直线l及其外一点A．求作：l的平行线，使它经过点．小云的作法如下：（1）在直线l上任取一点B；（2B为圆心，长为半径作弧，交直线l；（3）分别以AC为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点D；（4）作直线AD．即为所求．小云作图的依据是．1、如图，已知钝角△ABC，老师按照如下步骤尺规作图：步骤1：以C为圆心，CA为半径画弧①；步骤2：以B为圆心，BA为半径画弧②，交弧①于点步骤3：连接AD，交BC延长线于点H.小明说：图中的BH⊥AD且平分AD.小丽说：图中AC平分∠BAD.小强说：图中点C为BH的中点.他们的说法中正确的是___________.他的依据是__专注一对一第33页共45页郝老师171901638882、阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：尺规作图：经过直线外一点作这条直线的平行线．已知：直线l和直线l外一点．求作：直线l的平行线，使它经过点．小强的作法如下：如图,（1）过点A作直线m交直线l于点B；（2）以点A为圆心，AB长为半径作弧，交直线m于点C；（3）在直线l上取点D（不与点B重合）,连接CD；（4）作线段CD的垂直平分线n，交线段CD于点E；（5）作直线AE.所以直线AE即为所求．、老师表扬了小强的作法是对的．请回答：小强这样作图的主要依据是．在数学课上，老师提出如下问题：已知：线段，b．求作：等腰△ABC，使ABAC，BC=a，BC边上的高为b．小姗的作法如下：如图，（）作线段BC=a；（）作线段BC的垂直平分线MN交线段BC于点D；（）在MN上截取线段DA=b，连接AB，AC．所以，△ABC就是所求作的等腰三角形．老师说：“小姗的作法正确”．请回答：得到△ABC是等腰三角形的依据是：____________________________．第34页共45页【角的平分线】例1、阅读下面材料：下面是“作角的平分线”的尺规作图过程．已知：∠AOB．求作：射线，使它平分∠AOB．如图，作法如下：1）以点O为圆心，任意长为半径作弧，交OA于EOB于D；2）分别以点DE为圆心，以大于作弧，两弧交于点C；12DE的同样长为半径3）作射线．则射线OC就是所求作的射线．请回答：该作图的依据是．1、小米是一个爱动脑筋的孩子，他用如下方法作∠AOB的角平分线：作法：如图，（1）在射线上任取一点C，过点C作∥OB；（2）以点C为圆心，的长为半径作弧，交CD于点E；（3）作射线OE．所以射线就是∠AOB的角平分线．请回答：小米的作图依据是____________________________专注一对一第35页共45页郝老矩形】例1、阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：已知：RtABC，∠ABC90°．ABCD．①作线段的垂直平分线交ACO；并延长，在延长线上截取OD＝；DADC．则四边形ABCD即为所求．请回答：小敏的作图依据是1、阅读下面材料：在数学课上，老师提出如下问题：已知：如图，四边形ABCD是平行四边形．求作：菱形AECF，使点E，F分别在BC小凯的作法如下：（1；（2的垂直平分线分别交BC于，F；（3AECF．所以四边形AECF是菱形．老师说：“小凯的作法正确．”是菱形的依据是______________________．第36页共45页2ABC(BC＞AC)经过两次折叠，得到边AB，BC，CA上的点D,E,F．使得四边形DECF恰好为菱形．小明的折叠方法如下：如图，(1)AC边折叠，使AC边落在边上，得到折痕交AB于D；(2)CAB边折叠，使CD点重合，得到折痕交EAC．老师说：“小明的作法正确．”请回答：小明这样折叠的依据是_________________________．【圆的有关】例1、阅读下面材料：在学习《圆》这一章时，老师给同学们布置了一道尺规作图题：尺规作图：过圆外一点作圆的切线．已知：P⊙O外一点．求作：经过点P⊙O小敏的作法如下：如图，（1，作线段OP的垂直平分线交OP；（2C为圆心的长为半径作圆，交O于AB两点；（3作直线PB．所以直线，就是所求作的切线．请回答：连接OA，后，可证∠OAP∠OBP=90°，其依据是；由此可证明直线，PB都是⊙O的切线，其依据是．专注一对一第37页共45页郝老2、下面是“用三角板画圆的切线”的画图过程．图1图2图3请回答：该画图的依据是______________________________________________________．1、阅读下面材料：在数学课上，老师给同学们布置了一道尺规作图题：已知：如图，正比例函数和反比例函数的图象分别交于M、N两点．要求：在y轴上求作点P，使得∠MPN为直角.小丽的作法如下：如图，以点O为圆心，以OM长为半径作⊙O，O与y轴交于P、P2两点，则点P、P2即为所求.第38页共45页老师说：“小丽的作法正确．”请回答：小丽这样作图的依据是．2、阅读下面材料：①作线段AB的垂直平分线m；②作线段BC的垂直平分线n，与直线m交于点O；③以点O为圆心，OA为半径作△ABC的外接圆；④在弧ACB上取一点P，连结AP，BP．所以∠APB=∠ACB．老师说：“小明的作法正确．”请回答：O为△ABC；（2）∠APB=∠ACB的依据是．3、下图是“作已知直角三角形的外接圆”的尺规作图过程已知：RtABC,C900，求作Rt的外接圆.作法：如图．（1）分别以点A和点B为圆心，大于（2）作直线PQ，交于点O；（3）以O为圆心，OA为半径作O.O即为所求作的圆.12的长为半径作弧，两弧相交于P,Q两点；专注一对一第39页共45页郝老4、下面是一道确定点P位置的尺规作图题的作图过程.如图，直线与相交于点OA,B是上两点，点P是直线上的点，且∠APB=30°，请在图中作出符合条件的点作法：如图，l11AB为边在上方作等边△ABC；2C为圆心，AB长为半径作⊙COABl2交直线于P1两点.则P1、就是所作出的符合条件的点请回答该作图的依据是.7、如图，已知∠AOB．小明按如下步骤作图：①以点O为圆心，任意长为半径画弧，交OA于点D，交OB于点E．②分别以D，E为圆心，大于12DE长为半径画弧，在∠AOB的内部两弧交于点C．③画射线OC．所以射线OC为所求∠AOB的平分线.根据上述作图步骤，回答下列问题:（1）写出一个正确的结论：________________________.（2）如果在OC上任取一点M，那么点M到OA、OB的距离相等.第40页共45页依据是：_______________________________________________________.8、阅读下面材料：数学课上，老师提出如下问题：小明解答如图所示：老师说：“小明作法正确．”请回答：（1）小明的作图依据是；（2）他所画的痕迹弧