大一高等数学试题及答案

....;..;..期末总复习题一、填空题1、已知向量aij2k，b2ijk，则ab= -1。2、曲线zx2绕z轴旋转所得曲面方程为z=x2+。3、级数

1 1的敛散性为 发散 。n1

n 3naa4Lx2y2a2（y0，则曲线积分L

x2y2

ds=0dy2

f(x,y)dx＝2

dx0

f(x,y)dyy

1 1-x级数n1

1n(n

的和为 1 。二、选择题1平面(x3y(z0和平面(x2)(y2z0的关系 （ B ）A、重合 B、平行但不重合 C、一般斜交 D、垂直2. 下列曲面中为母线平行于 z 轴的柱面的是（C ）A、x22z21 、y22z21 C、x22y21 D、x22y2z21 x3ln(x2y21)3.D:x2y24y0,

x2y21D

dxdy（ A ）A、、0 C、1 D、44、设D:x2y24(y0)，则dxdy（ A ）DA、16 、

C、D、5、函数z50x24y2在点（1，-2）处取得最大方向导数的方向是 （ A ）A、2i16j B、2i16j C、2i16j D、2i16j6 、 微 分 方 程 (y2) y( y 阶0数 为（B ）A、1 B、2 C、4 D、6．下列表达式中，微分方程y4y3y0 的通解为（D ）A、yexe3xC B、yexCe3x1 C、yCexe3x D、yCexCe31 ． limu 0

为 无 穷 级 数 u

收 敛 的n n（B ）

nn1A、充要条件 B、必要条件 Cb三、已知b

1，

，

，求

b a

的夹角.P73bb3bbabab0aba2 10)2a-b (ab)2 (10(ab)(ab)132cos(ab)(ab)21aba-b120O4 2解：设平面方程为解：设平面方程为AxByCzD0依题可得 D0，-2AB3C0又n-45 A-4B5C0故有：47x13yz0四、一平面垂直于平面x4y5z10解：由全微分方程的不变性，得dzzdu解：由全微分方程的不变性，得dzzduzdvuvevduuevdvexyd(x2y2)(x2y2)exyd(xy)exy(2xdx2ydy)(x2y2)exy(ydxxdy)exy(2xx2yy3)dxexy(x32yxy2)dy进而可得xzexy(2xx2yy3zexy(x32yxy2)y五、设zuev,ux2y2,vxy,求z zdz,x,

. P19xyzsinzzy的偏导数zzx y解：由解：由xyzsinz得xyzsinz0coszzyzxyz0xx解得：zyzx coszxycoszzxzxyz0yy解得：zxzy coszxy 1 七、求旋转抛物面z2x22y2在点M01,2,2处的切平面和法线方程. f(xy2x22y2,则：f(x,y)4x,f(x,y)4yx所以：n4x,4y,1ny4,2,1M0故曲面在点M处的切面方程式为：024x2yz304(x1)2(y1)(z2)01法线方程式为： x14y22z21即： x142y1z24八、求函数fx,yxysin(x2y)在点P0,0处沿从点P0,0到点Q1,2的方向的解：这里的方向解：这里的方向即向量PQ的方向，易知PQ上单位向量01 25 5，又 f(x,y)ycos(x2y),f(x,y)x2co2y)f(0,0)1,f(0,0)2xyx故fyf(0,0) 1 f(0,0)x x(0,0)5251 1 2525 5九、计算二重积分xydxdyDxyx2y21在第一象D限所围的区域.解：画出微积分区域D解：画出微积分区域D的草图，如图所示，从D的草图可判断D既是X型区域也是Y型区域，把D看成Y型区域，则先对x积分，后对y积分，此时D可用不等式组表示：1xy2y故xdsdy2dyyxdx12(y1)dy9y11yy21y316D十、计算P792）

L和的三角形边界.（参考解：解：AB,OB,OA的方程分别为：y1x, 0xx0yy0x(xy)ds1x1x1()2dxAB102dx 2OA(xy)ds1(x0)102dx1xdx1,00(xy)ds1(0y)0202dy1ydy1,(xy)dsOB0(xy)ds(xy)ds02(xy)ds 21LOAABOB十一、求微分方程sinxcosydxcosxsinydy0y

x0 4

的特解.P167 yds，其中L解：将方程分离变量得：sin解：将方程分离变量得：sinxcosxdxs