解析函数的级数表示

第1页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第2页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第一节复变函数项级数一、复数项级数第3页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第4页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第5页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六解例1第6页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六二、复变函数项级数第7页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第8页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第9页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六三、一致收敛级数的判别方法判别法1第10页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第11页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第12页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六四、一致收敛级数的性质第13页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第14页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第15页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第16页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第17页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第二节幂级数一、幂级数的敛散性

由于发散的幂级数没有多大用处，故首先必须研究幂级数的敛散性。1.阿贝尔定理第18页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第19页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第20页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第21页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第22页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六二、求收敛圆半径R的公式（1）比值判别法第23页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第24页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第25页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第26页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六例2解

综上第27页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六例3求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形:解(1)该级数收敛该级数发散p=1p=2该级数在收敛圆上是处处收敛的。第28页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六

综上该级数发散。该级数收敛，第29页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六故该级数在复平面上是处处收敛的.第30页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六三、幂级数在收敛圆内的性质第31页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第32页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六例4解代换展开还原第33页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六解代换展开还原第34页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第35页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六现在研究与此相反的问题：一个解析函数能否用幂级数表达?(或者说,一个解析函数能否展开成幂级数?解析函数在解析点能否用幂级数表示？）

由幂级数的性质知:一个幂级数的和函数在它的收敛圆内部是一个解析函数。以下定理给出了肯定回答：任何解析函数都一定能用幂级数表示。第36页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第三节解析函数的泰勒展开

上节证明了：幂级数的和函数在其收敛圆内解析。本节证明其逆定理：解析函数可以展开成幂级数，且这种展开式是唯一的。

——解析函数与幂级数的密切关系一、泰勒定理第37页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第38页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第39页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第40页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第41页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六二、将解析函数展开成泰勒级数的方法常用四种方法：第42页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第43页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第44页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六例2解收敛半径第45页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第46页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第47页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第48页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第49页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六3.利用两个绝对收敛幂级数的乘积或商第50页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第51页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第52页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六4.在收敛圆内逐项求导或逐项积分第53页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第54页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第55页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第56页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第57页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第四节解析函数的洛朗展开

由前面的讨论

知,f(z)在b

解析，则f(z)总可以在b

的某一个圆域z-b<R内展开成z-b

的幂级数。若f(z)在b点不解析，在b的邻域中就不可能展开成z-b

的幂级数，但如果在圆环域R1<z-b<R2

内解析，那么，f(z)能否用级数表示呢？例如，第58页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六由此推想，若f(z)在R

1<z-b<R2

内解析,f(z)可以展开成以b为展开中心的级数，只是这个级数含有负幂次项,即第59页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六

本节将讨论在以b为中心的圆环域内解析的函数的级数表示法。它是后面将要研究的解析函数在孤立奇点邻域内的性质以及定义留数和计算留数的基础。第60页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六预备知识复连通域的Cauchy积分公式DbR1R2rRk1k2D1z第61页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六一.双边幂级数---含有正负幂项的级数定义形如---双边幂级数正幂项(包括常数项)部分：负幂项部分：第62页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六级数(2)是一幂级数，设收敛半径为R2，则级数在z-b=R2内收敛，且和为s(z)+;在z-b=R2外发散。

第63页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六bR1R2bR2R1第64页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六

(2)在圆环域的边界z-b=R1,

z-b=R2上,第65页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六二函数展开成双边幂级数定理第66页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六证明由复连通域上的Cauchy

积分公式：DbR1R2rRk1k2D1z记为I1记为I2第67页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第68页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六DbR1R2rRk1k2D1z式(*1),(*2)中系数an的积分分别是在k2，k1上进行的，在D内取绕b的简单闭曲线k，由复合闭路定理可将an写成统一式子：第69页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六式(*1),(*2)中系数an的积分分别是在k2，k1上进行的，在D内取绕b的简单闭曲线k，由复合闭路定理可将an写成统一式子：证毕！级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。第70页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六

(2)在许多实际应用中，经常遇到f(z)在奇点

b的邻域内解析，需要把f(z)展成级数，那么就利用洛朗（Laurent）级数来展开。级数中正整次幂部分和负整次幂部分分别称为洛朗级数的解析部分和主要部分。第71页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六三展开式的唯一性结论一个在某一圆环域内解析的函数展开为含有正、负幂项的级数是唯一的，这个级数就是f(z)的洛朗级数。事实上，DbR1R2c第72页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六DbR1R2c第73页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六

由唯一性，将函数展开成Laurent级数，可用间接法。在大都数情况，均采用这一简便的方法求函数在指定圆环域内的Laurent展开式，只有在个别情况下，才直接采用公式求Laurent系数的方法。二、将环域内的解析函数展开成罗朗级数的方法与步骤：第74页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第75页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第76页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第77页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第78页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第79页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第80页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第81页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第82页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第83页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第84页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第85页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第86页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第87页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第88页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六----z=0及z=1/n(n=1,2,…)都是它的奇点例如第89页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六xyo这说明奇点未必是孤立的。第90页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六二、孤立奇点的分类和性质孤立奇点包括：可去奇点、极点、本性奇点。第91页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第92页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第93页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第94页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第95页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第96页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六三、解析函数零点与极点的关系第97页，共113页，2022年，5月20日，8点17分，星期六第98