《机械优化设计》复习题讲解

《机械优化设计》复习题解答一、填空题1、用最速降落法求222)2的最优解时，设X（0）＝[-0.5,0.5]T，第一11步迭代的找寻方向为[-47,-50]T。2、机械优化设计采纳数学规划法，其核心一是找寻找寻方向，二是计算最优步长。3、当优化问题是凸规划的状况下，任何局部最优解就是全域最优解。4、应用进退法来确立找寻区间时，最后获得的三点，即为找寻区间的始点、中间点和终点，它们的函数值形成高－低－高趋向。5、包含n个设计变量的优化问题，称为n维优化问题。、函数1XTHXBTXC的梯度为HX+B。620，d1，知足(d0T1，7、设G为n×n对称正定矩阵，若n维空间中有两个非零向量d)Gd=0则d0、d1之间存在共轭关系。8、设计变量、目标函数、拘束条件是优化设计问题数学模型的基本因素。9、对于无拘束二元函数f(x1,x2)，若在x0(x10,x20)点处获得极小值，其必需条件是错误！未找到引用源。，充分条件是错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。正定。10、库恩-塔克条件能够表达为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各拘束函数梯度的非负线性组合。11、用黄金切割法求一元函数f(x)x210x36的极小点，初始搜寻区间[a,b][10,10]，经第一次区间消去后获得的新区间为10]。12、优化设计问题的数学模型的基本因素有设计变量、目标函数、拘束条件。kHk1gk，其计算量大，且要求初始点在极小点周边位13、牛顿法的找寻方向d=置。14、将函数f(X)=x12+x221212表示成1XTHXBTXC的形式错误！未-xx-10x-4x+602找到引用源。。、存在矩阵H，向量1，向量d2，当知足d1T2，向量1和向量d2是对于H共15dHd=0d轭。16、采纳外点法求解拘束优化问题时，将拘束优化问题转变为外点形式时引入的处罚因子r数列，拥有单一递加特色。17、采纳数学规划法求解多元函数极值点时，依据迭代公式需要进行一维找寻，即求最优步长。18、与负梯度成锐角的方向为函数值（降落）的方向，与梯度成直角的方向为函数值（变化为零）的方向。19、对于一维找寻，找寻区间为a,b，中间插入两个点a1,b1,a1b1,计算出fa1fb1，则缩短后的找寻区间为（a1b1）20、因为确立（找寻方向）和最正确步长的方法不一致，派生出不一样样的无拘束优化问题数值求解方法。1、导出等式拘束极值条件时，将等式拘束问题变换为无拘束问题的方法有（和（拉格朗日法）。2、优化问题中的二元函数等值线，从外层向内层函数值渐渐变（小）。3、优化设计中，可行设计点位（可行域内）内的设计点。4、方导游数定义为函数在某点处沿某一方向的（变化率）5、在n维空间中相互共轭的非零向量个数最多有（n)个。

消元法）6、外点处罚函数法的迭代过程可在可行域外进行，界）或等式拘束曲面。

处罚项的作用是随意迭代点迫近（边二、选择题1、下边C方法需要求海赛矩阵。、最速降落法B、共轭梯度法C、牛顿型法D、DFP法2、对于拘束问题minfXx12x224x24g1Xx1x2210g2X3x10g3Xx20依据目标函数等值线和拘束曲线，判断X1[1,1]T为，X2[5,1]T。D22为．内点；内点外点；外点内点；外点外点；内点3、内点处罚函数法可用于求解B优化问题。无拘束优化问题只含有不等式拘束的优化问题只含有等式的优化问题含有不等式和等式拘束的优化问题4、对于一维找寻，找寻区间为[a，b]，中间插入两个点a1、b1，a1<b1，计算出f(a1)<f(b1)，则缩短后的找寻区间为D。[a1，b1][b1，b][a1，b][a，b1]5、D不是优化设计问题数学模型的基本因素。设计变量拘束条件目标函数最正确步长6、变尺度法的迭代公式为xk+1=xk-αkHk▽f(xk)，以下不属于Hk必然知足的条件的是C。Hk之间有简单的迭代形式B.拟牛顿条件C.与海塞矩阵正交D.对称正定7、函数f(X)在某点的梯度方向为函数在该点的A。、最速上涨方向B、上涨方向C、最速降落方向D、降落方向8、下边四种无拘束优化方法中，D在组成找寻方向时没有使用到目标函数的一阶或二阶导数。梯度法牛顿法变尺度法坐标轮换法9、设f(X)为定义在凸集充分必需条件是海塞矩阵

R上且拥有连续二阶导数的函数，则G(X)在R上各处B。

f(X)

在

R上为凸函数的A正定B半正定C负定D半负定10、以下对于最常用的一维找寻试一试方法——黄金切割法的表达，错误的选项是D，假定要求在区间[a，b]插入两点α1、α2，且α1<α2。A、其缩短率为B、α1=b-λ（b-a）C、α1=a+λ（b-a）D、在该方法中缩短找寻区间采纳的是外推法。11、与梯度成锐角的方向为函数值A方向，与负梯度成锐角的方向为函数值B方向，与梯度成直角的方向为函数值C方向。、上涨B、降落C、不变D、为零12、二维目标函数的无拘束极小点就是B。、等值线族的一个共同中心B、梯度为0的点C、全局最优解D、海塞矩阵正定的点kk+113、最速降落法相邻两找寻方向d和d必为B向量。相切正交成锐角共轭14、以下对于内点处罚函数法的表达，错误的选项是A。可用来求解含不等式拘束和等式拘束的最优化问题。处罚因子是不停递减的正当初始点应选择一个离拘束界限较远的点。初始点必然在可行域内三、问答题（看讲义）1、试述两种一维找寻方法的原理，它们之间有何区答：找寻的原理是：区间消去法原理差别：（1）、试一试法：给定的规定来确立插入点的地点，此点的地点确立可是依据区间的缩短如何加速，而无论及函数值的散布关系，如黄金切割法2）、插值法：没有函数表达式，能够依据这些点处的函数值，利用插值方法成立函数的某种近似表达式，近而求出函数的极小点，并用它作为本来函数的近似值。这类方法称为插值法，又叫函数迫近法。2、处罚函数法求解拘束优化问题的基本源理是什么？答，基本源理是将优化问题的不等式和等式拘束函数经过加权转变后，和原目标函数结合形成新的目标函数——的拘束最优解3、试述数值解法求最正确步长因子的基本思路。答主要用数值解法，利用计算机经过频频迭代计算求得最正确步长因子的近似值4、试述求解无拘束优化问题的最速降落法与牛顿型方法的优弊端。答：最速降落法此法长处是直接、简单，头几步降落速度快。弊端是收敛速度慢，越到后边收敛越慢。牛顿法长处是收敛比较快，对二次函数拥有二次收敛性。弊端是每次迭代需要求海塞矩阵及其逆矩阵，维数高时及数目比较大。5、写出用数学规划法求解优化设计问题的数值迭代公式，并说明公式中各变量的意义，并说明迭代公式的意义。6、什么是共轭方向？知足什么关系？共轭与正交是什么关系？四、解答题1、试用梯度法求目标函数f(X)=1.5x1222-x1x2-2x1的最优解，设初始点x(0)=[-2，4]T,选代精度ε（迭代一步）。解：第一计算目标函数的梯度函数错误！未找到引用源。,计算目前迭代点的梯度向量值错误！未找到引用源。梯度法的找寻方向为错误！未找到引用源。,所以在迭代点x(0)的找寻方向为[12，6]T在此方向上新的迭代点为：错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。把新的迭代点带入目标函数，目标函数将成为一个对于单变量错误！未找到引用源。的函数错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。令错误！未找到引用源。，能够求出目前找寻方向上的最优步长错误！未找到引用源。新的迭代点为错误！未找到引用源。目前梯度向量的长度错误！未找到引用源。,所以连续进行迭代。第一迭代步达成。1-2)2122的最优解，设初始点x(0)=[2,1]T。2、试用牛顿法求f(X)=(x+(x-2x)1：（注：题目出题不妥，初始点已经是最长处，解2是改正题目后解法。）牛顿法的找寻方向为错误！未找到引用源。,所以第一求出目前迭代点x(0)的梯度向量、海色矩阵及其逆矩阵错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。不用找寻，目前点就是最长处。2：上述解法不是典型的牛顿方法，原由在于题目的初始点选择不妥。以下改正求解题目的初始点，以表现牛顿方法的典型步骤。以非最长处x(0)=[1,2]T作为初始点，从头采纳牛顿法计算牛顿法的找寻方向为错误！未找到引用源。,所以第一求出目前迭代点x(0)的梯度向量、以及海色矩阵及其逆矩阵梯度函数：初始点梯度向量：错误！未找到引用源。海色矩阵：海色矩阵逆矩阵：目前步的找寻方向为：错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。新的迭代点位于目前的找寻方向上：错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。把新的迭代点带入目标函数，目标函数将成为一个对于单变量错误！未找到引用源。的函数错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。令错误！未找到引用源。，能够求出目前找寻方向上的最优步长错误！未找到引用源。新的迭代点为错误！未找到引用源。目前梯度向量的长度错误！未找到引用源。,所以连续进行迭代。第二迭代步：所以不用连续计算，第一步迭代已经抵达最长处。这正是牛顿法的二次收敛性。对正定二次函数，牛顿法一步即可求出最长处。223、设有函数f(X)=x1+2x2-2x1x2-4x1，试利用极值条件求其极值点和极值。解：第一利用极值必需条件错误！未找到引用源。找出可能的极值点：令错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。求得错误！未找到引用源。,是可能的极值点。再利用充分条件错误！未找到引用源。正定（或负定）确认极值点。错误！未找到引用源。所以错误！未找到引用源。正定,错误！未找到引用源。是极小点，极值为f(X*)=-8224、求目标函数f(X)=x1+x1x2+2x2+4x1+6x2+10的极值和极值点。5、试证明函数f(X)=2x222+2x3x2+2x3x1-6x2+3在点[1，1，-2]T处拥有极小值。1+5x2+x3解：必需条件：将点[1，1，-2]T带入上式，可得充分条件错误！未找到引用源。＝40错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。正定。所以函数在点[1，1，-2]T处拥有极小值6、给定拘束优化问题minf(X)=(x1-3)2+(x2-2)2s.t.g1(X)=－x12－x22＋5≥0g2(X)=－x1－2x2＋4≥0g3(X)=x1≥0g4(X)=x2≥0T考证在点X[2，１]Kuhn-Tucker条件成立。T解：第一，找出在点X[2，１]起作用拘束：g1(X)＝0g2(X)＝0g3(X)＝2g4(X)＝1所以起作用拘束为g1(X)、g2(X)。此后，计算目标函数、起作用拘束函数的梯度，检查目标函数梯度能否能够表示为起作用拘束函数梯度的非负线性组合。错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。＝错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。求解线性组合系数错误！未找到引用源。错误！未找到引用源。获得错误！未找到引用源。均大于0所以在点X[2，１]TKuhn-Tucker条件成立7、设非线性规划问题minf(X)(x12)2x22s.t.g1(X)x10g2(X)x20g3(X)x12x2210用K-T条件考证X*1,0T为其拘束最长处。解法同上8、已知目标函数为f(X)=x1+x2，受拘束于：2g1(X)=-x1+x2≥0g2(X)=x1≥0写出内点罚函数。解：内点罚函数的一般公式为此中：r(1)>r(2)>r(3)⋯>r(k)⋯>0是一个递减的正当数列r(k)＝Cr(k-1)，0＜C＜1所以罚函数为：229、已知目标函数为f(X)=(x1-1)+(x2+2)g2(X)=2-x1-x2≥0g3(X)=x1≥0g4(X)=x2≥0试写出内点罚函数。解法同上10、如图，有一块边长为6m的正方形铝板，四角截去相等的边长为x的方块并折转，造一个无盖的箱子，问如何截法（x取何值）才能获得最大容器的箱子。试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。11、某厂生产一个容积为8000cm3的平底无盖的圆柱形容器，要求设计此容器耗费原资料最少，试写出这一优化问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。12、一根长l的铅丝截成两段，一段弯成圆圈，另一段弯折成方形，问应以如何的比率截断铅丝，才能使圆和方形的面积之和为最大，试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。13、求表面积为300m2的体积最大的圆柱体体积。试写出这一优化设计问题的数学模型以及用MATLAB软件求解的程序。14、薄铁板宽20cm，折成梯形槽，求梯形侧边多长及底角多大，才会使槽的断面积最大。写出这一优化设计问题的数学模型，并用matlab软件的优化工具箱求解（写出文件和求解命令）。15、已知梯形截面管道的参数是：底边长度为c，高度为h，面积A=64516mm2，斜边与底边的夹角为θ，见图1。管道内液体的流速与管道截面的周