智慧测评新高考人教A版文科数学一轮总复习课时训练36正弦定理和余弦定理及其应用(含答案详析)

第三篇第6节一、选择题一、选择题1．(2014芜湖模拟)在△ABC中，已知a＝15，b＝10，A＝60°，则cosB等于()22B．－22A.336D．－6C.33剖析：由正弦定理得15＝10，得sinB＝3，sin60°sinB3π6又b<a，因此B∈0，3，cosB＝3.应选C.答案：C2．(2014安阳模拟)已知△ABC的一个内角是120°，三边长构成公差为4的等差数列，则三角形的面积是()A．103B．303C．203D．153剖析：设A、B、C所对边长分别为b－4，b，b＋4，b－42＋b2－b＋42则cos120＝°，2×b－4×b∴b2－10b＝0，∴b＝10或b＝0(舍去)，∴b＝10，b－4＝6，13∴三角形的面积S＝2×10×6×2＝153.应选D.答案：D3．(2014湖州模拟)在△ABC中，若sin2A＋sin2B>sin2C，则△ABC的形状是()A．钝角三角形

B．直角三角形C．锐角三角形

D．不能够确定剖析：∵sin2A＋sin2B>sin2C，∴a2＋b2>c2，即a2＋b2－c2>0，∴cosC＝a2＋b2－c22ab>0，又C∈(0，π)，π∴0<C<2，但仅由角C为锐角不能够判断三角形的形状．应选D.答案：D4．(2013年高考新课标全国卷Ⅰ)已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c,23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，则b等于()A．10B．9C．8D．5剖析：由题意知，23cos2A＋2cos2A－1＝0，即cos2A＝251，又因为△ABC为锐角三角形，1因此cosA＝5.2221在△ABC中，由余弦定理知7＝b＋6－2b×6×5，212即b－5b－13＝0，13即b＝5或b＝－5(舍去)，应选D.答案：D5．(2012年高考陕西卷)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2＝2c2，则cosC的最小值为()3B．2A.2211C.2D．－2cosC＝2＋b2－c22c21，剖析：由余弦定理得a＝c≥＝2ab2aba2＋b22当且仅当a＝b，即△ABC为等腰三角形时取到等号．应选C.答案：C二、填空题6.某居民小区为了美化环境，给居民供应更好的生活环境，在小区内的一块三角形空地上(如图，单位：m)种植草皮，已知这种草皮的价格是120元/m2，则购买这种草皮需要________元．剖析：三角形空地面积S＝12×123×25×sin120°＝225m2，故共需225×120＝27000(元)．答案：2700017．(2012年高考北京卷)在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cosB＝－4，则b＝________.剖析：由已知依照余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB得b2＝4＋(7－b)2－2×2×(7－b)×－14，即：15b－60＝0，得b＝4.答案：48．(2014哈尔滨模拟)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为3，a，b，c，且cosA＝55cosB＝13，b＝3，则边c＝________.剖析：∵cosA＝355，cosB＝13，A，B∈(0，π)，∴sinA＝4，sinB＝12，5134531256∴sin(A＋B)＝5×13＋5×13＝65.56即sinC＝65.c由正弦定理sinB＝sinC得56b·sinC＝3×65＝14c＝sinB125.13答案：1459．在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝(cosC，2a－c)，b＝(b，cosB)且a⊥b，则B＝________.剖析：由a⊥b，得a·b＝bcosC－(2a－c)cosB＝0，利用正弦定理，可得sinBcosC－

(2sinA－sinC)cosB＝sinBcosC＋

cosBsinC－2sinAcosB＝0，即sin(B＋C)＝sinA＝2sinAcosB，因为

sinA≠0，故

1cosB＝2，因此

πB＝3.答案：π310．在△ABC则△ABC的形状为

中，内角A、B、C所对的边分别是________．

a、b、c若

sinC＋sin(B－A)＝sin2A，剖析：由

sinC＋sin(B－A)＝sin2A得sin(A＋B)＋sin(B－A)＝sin2A，2sinBcosA＝2sinAcosA.∴cosA＝0

或

sinA＝sinB.∵0<A、B<π，π∴A＝2或

A＝B，∴△ABC

为直角三角形或等腰三角形．答案：等腰或直角三角形三、解答题2211．(2014兰州市第一次诊断)在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，a＝bc2＋bc.(1)求角A的大小；(2)若a＝23，b＝2，求c的值．解：(1)由a2＝b2＋c2＋bc，b2＋c2－a21得2bc＝－2.1∴cosA＝－2.∵0<A<π，2π∴A＝3.(2)由正弦定理，31得sinB＝asinA＝23×2＝2.b2π∵A＝3，0<B<π，π∴B＝6.π∴C＝π－(A＋B)＝6.∴c＝b＝2.12．(2014马鞍山质检)在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，C＝2A，cosA3＝4.(1)求cosB，cosC的值；→→27(2)若BA·BC＝，求边AC的长．23解：(1)∵C＝2A，cosA＝，∴cosC＝cos2A＝2cos2A－1＝2×342－1＝18，∴sinC＝37，sinA＝784.∴cosB＝－cos(A＋C)＝sinAsinC－cosAcosC7×373×1