初高中数学衔接行知学校校本课程

初高中数学衔立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用因式分解初中一般只限于二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而且对三次或高次多项式因式分解几乎不作要求，但高中许多化简求值都要用到,如解方程、不等式等。二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式常用的解题技巧。初中对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终究闭区间上函数最值等等是高中数学必须掌握的基本题型与常用方法。二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（定理）在初中不等式与二次方程相互转化被视为重要内容，高中却未安排专门的讲授。下；左、右平移，两个函数关于原点，轴、直线的对称问题必须掌握。视为重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相交弦定理等）初中生大都没有学习，而高中都要涉及。二、初高中数学衔 前第一讲数与式的运算（两）第二讲因式分解（两）第三讲一元二次方程根与系数的关系（一）第四讲不等式（两）第五讲二次函数的最值问题（ 第六讲简单的二元二次方程组（一第七讲分式方程和无理方程的解法（一）第八讲直线、平面与常见图形（一）第九讲直线与圆，圆与圆的位置关系（一）初高中数学衔初高中衔接从观念开----致即将毕业的初三同一、初、高中的和初中数学相比高中数学的内容多抽象性理论性强高中很注重能力的培养的高中不会像初中那样老师一天到晚盯着你在高中一定要注重能力的培养谁的自学也不是很的，只要你跟着思路走，你的数学一定会很好的。二、学好高中数学的方1、有人会说自己的基础不好。那我问一下什么是基础？今天所学的知识就是明天的基实的了。所以现在是在同一个起跑线上的，无所谓基础好不好。2、还有同学会说学数学除了高考没啥用。其实，大千世界均蕴含数学的理性思想；并处处要用到数学知识。3在学学在同课基可者了败这高学性大系因要自的不事依师多行交增自作的。要参外籍过，扩视的，学想，尽掌学，学乐趣。第二：要培养对数学的有在就数感，够保去有在就。望今始要培数热有说是的，你一有厚么它注出，收想的的么该培？你数好，的那就浓。比如徒认为上帝是万能的认为呢？如何来证明你的结论呢？观点：上。（反证法论什么力量都搬不动的石头”相，所以假设不成立，所以上帝不是万能的。其实这样的例子周围还有很多炒股银行存款摸等等都和数学有关的随着中数学的学习，那么上面的问题你都会有所细致的了解。第三：学好高中数学要注意培养的几个（一问题结合，寻找解决之道。例、牌中有一个算24的游戏：给出四个数，利用加、减、乘、除及括号连接这四个数，使运算结果为243、388为24。（微软公司在复旦大学招聘人才考试题）（二段形象地揭示问题的本质。空间想像能力是对空间形式的观察分析抽象的要表现为识图画图和对图形的想像能力识图是指观察给图形中几何元间的相互关系画图是指将文字语想像主要包括有图想图和无图想图两种，是空间想像能力次的标志，逻辑推理能力。（三象就不可能有概括，而概括必须在抽象的基础上得出某一观点或作出某项结论。抽象概括（四命题真实性初步的推理能力。例、操场有100名学生排成10×10的方阵，共有1010列A.在每一行中选出一个最高的，共有10个“高个子”，其中最矮的记为A；B.在每一列中选出一个最矮的，共有10个“矮个子”，其中最高的记为B；问：AB高？（五）的条件，寻找与设计合理、简捷的运算途径；能根据要求对数据进行估计和近似计算。运算求解能力是思维能力和运算技能的结合.施运算过程中遇到而调整运算的能力。（六问题有用的信息，并作出判断.数据处理要依据统计或统计案例中的方法对数据进行整理、分析，并解决给定的实际问题。（七）题清，更抓题质快问的。例、炎炎夏日，虔诚的老太太去山上进香，山高路远，老太太一路走走停停，自上午时从家出发，下午4时方到庙中，在庙中住了一晚，第二天自原路返回，仍是上午6时从中出发，下午4时方回到家中。问：这个老太太可不可能在同一时间经过同一地点（注：同一时间指的相对于一天内的时间，如昨天的上午9点与今天的上午9点是作为同一（八（九创新意识能发现问题提出问题综合与灵活地应用所学的数学知识思想方法选择有效的方法和分析信息进行独立的思考探索和研究提出解决问题的思路，创造性地解决问题.创新意识是理性思维的 次表现对数学问题“观察猜测抽象第四：对数学科目的几个要（一预习不是很随便的把看一遍，预习要有个目标：（1）就是通过预习可以把书本后面的练习题可以自己独立的完成；（2）并思考与本节课有关的旧知识以及如何将新知识融合在里面；（3）问自己几个问题：的例题有什么特性？可否发展？如何发展？（二上课认真听讲上课的时候准备一只笔一本草稿一本笔记做不做笔记自己决定不过我提倡数学课做笔记的有些知识点比较重要上又没有的你们可以补充在你预习时已有的相应知识点的位置；另外，在预习中不能解决或者是还存在的问题现在通过课堂的听讲有所感悟也可以记录下来；再来就是，如果你觉得某个例题比（三）间相帮如让作样帮他害这理家，望课候学来我养问高时，（四提升，最终到达高考成功的彼岸！第一 数与式的运算（两在初中，我们已学习了实数，知道字母可以表示数用代数式也可以表示数，我们把实和代数式简称为数与式．代数式中有整式（多项式、单项式、分式、根式。它们具有实数（平方差公式与完全平方公式，并且知道乘法公式可以使多项式的运算简便。由于在高中学习中还会遇到更复一、乘法公【公式1】(abc)2a2b2c22ab2bc(abc)2abc]2ab)22(ab)ca22abb22ac2bcc2a2b2c22ab2bc等式成【例1】计算(x2

2x1)23说明：多项式乘法的结果一般是按某个字母的降幂或升幂排【公式2】(ab)(a2abb2a3b3(立方和

(ab)(a2abb2)a3a2bab2a2bab2b3a3【例2】计算(ab)(a2abb2【公式3】(ab)(a2abb2a3b3(立方差请同1、2、3称为【例3】计算（1）(4m)(164mm2

(m m21mn1n2（2） （2） （3）(a2)(a2)(a44a2 （4）(x22xyy2)(x2xyy2说明（1）在进行代数式的乘法、除法运算时，要观察代数式的结构是否足乘法公式的结（2）为了更好地使用乘法公式，记住1、2、3、4、…、20的平方数1、2、3、4、…、10立方数，是非常有好处的。【例4x23x10，求x3

的值说明：本题若先从x23x10中解出x的值后，再代入代数式求值，则计算较烦代换法。本题的解法，体现了“正难则反”的解题策略，根据题求利用题知，是明智【例5】已知abc0

a(11b(11c11 a3b3c33abc(abc)(a2b2c2abbc二、根式

a(a0叫做二次根式，其性质如下baba(1)baba

2a(a

|a

a

b(a0,b

(a0,b

【例6】化简下列各(3(3(3

(2(2说明：请注

|a|的使用：当化去绝对值符号但字母的范围未知时，要对母的取值分类讨1 x2【例7】计算(没有特殊说明，本节1 x23232

(3) 说明：(1)二次根式的化简结果应满足：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数不含能开得尽方的因数或因式。(2)二次根式的化简常见类型有下列两种：①被开方数是整数或整式。化简时，先32它分解因数或因式，然后把开得尽方的因数或因式开出来；②分母中有根式(32开方数有分

x2)．这时可将x2

ab形式ab

x2x2

x2化为x2根式”的情况．化简时，要把分母中的根式化为有理式，采取分子、分母同乘以一个根323(2323(2(23)(2

，其中2

3与2

3叫做互为有理化因式baaaaaabaaaaaaa(1)a

222【例9】设x22

3,y3

x3y3的值(()三、分B

的分子、分母中至少有一个是分式时，B

就叫做繁分式，繁分式的化简常用下两种方法：(1)利用除法法则；(2)利用分式的基本性质【例10

x1xx说明：解法一的运算方法是从最的分式入手，采取通分的方式逐步脱掉繁分式解法二则是利用分式的基本性质AAm进行化简．一般根据题目特点综合使用两 B【例11】化简x23x9 x2 9x

x162x解再进行约分化简；(2)分式的计算结果应是最简分式或整式。第二 因式分解（两算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用。是一种重要的基本技能。因式分解的方法较多，除了初 涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和全平方公式)外，还有公式法(立方和、立方差公式)、相乘法和分组分解法等等一、公式法(立方和、立方在第一讲里，我们已经学习了乘法公式中的立方和、立方差公(ab)(a2abb2)a3(ab)(a2abb2)a3

(立方差公式由于因式分解与整式乘法正好是互为逆变形，所以把整式乘法公式反过来写，就得到a3b3(ab)(a2abb2a3b3(ab)(a2abb2(差)(差)差(和)。运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分【例1】用立方和或立方差公式分解下列各多项

8

分析：(1)823，(2)中0.1250.5327b33b)3说明(1)在运用立方和(差)公式分解因式时经常要逆用幂的运算法则8a3b32ab)3，这里逆用了法则(ab)nanbn；(2)在运用立方和(差)公式分解因式时，一定【例2】分解因式

3a3b

a7(1)可看作是(a32b32或(a23b23。二、分组分解四项以上的多项式，如abab既没有公式可用，也没有公因式可以提取。因此，关键在于如何分组。分组后能提取公因【例3】把2ax10ay5bybx分解因式x后从两组分别提出公因式a与b，这时另一个因式正好都是x5y，这样可以继续提取公因式。【例4】把ab(c2d2a2b2cd分解因式分析：按照原先分组方式，无公因式可提，需要把括号打开后重新分组，然后再分解式34分组后能直接运用公【例5】x2y2axayxyaxy。【例6】把2x24xy2y28z2分解因式分析：先将系数2出后，得到x22xyy24z2，其中前三项作为一组，它是一个完说明：从例5、例6可以看出：如果一个多项式的项分组后，各组都能直接运用公式项式就可以分组分解法来分解因式。三、相乘x2pq)xpq型的因式这类式子在许多问题中经常出现，其特点是(1次项系数是1；(2)项是两个数之积；(3次项系数是常数项的两个因数x2(pq)xpqx2pxqxpqx(xp)q(xp)(xp)(xx2pq)xpqxp)(x运用这个公式，可以把某些二次项系数为1的二次三项式分解【例7】把下列各式因式分解

x27x

x213x说明：此例可以看出，常数项为正数时，应分解为两个同号因数，它们的符号与一次项系数的符号相同。【例8】把下列各式因式分解

x25x

x22x因数与一次项系数的符号相同。【例9】把下列各式因式分解

x2xy6y2

(x2x)28(x2x)分析：(1x2xy6y2看成x的二次三项式，这时常数项是6y2y，把6y2分解成3y与2y的积，而3y(2y)y，正好是一次项系数。(2)由换元思想，只要把x2x整体看作一个字母a，可不必写出，只当作分解二次三项式a28a12。一般二次三项式ax2bxc型的因式分大家知道(axc)(axcaax2acac)xc

1 1 2 1aax2(acac)xcc(axc)(axc1 1 2 1 我们发现，二次项系数a分解成aa，常数项c分解成cc，把aacc写成a1c11 1

这里按斜线交叉相乘，再相加，就得acac，如果它正好等于ax2bxc的一次项1 2数b，那么ax2bxc就可以分解成(axc)(axc，其中ac位于上一行，ac位于

1 这种借助画交叉线分解系数从而将二次三项式分解因式的方法叫做相乘法必须注意分解因数及相乘都有多种可能情况所以往往要经过多次尝试才能确定一个二次三项式能否用相乘法分解【例10】把下列各式因式分解

12x25x

5x26xy说明用相乘法分解二次三项式很重要当二次项系数不是1时较具体分是否符合一次项系数，否则用加法”凑”，先”凑”绝对值，然后调整，添加正、负号。四、其它因式分解的方配方【例11】分解因式x26x拆、添项【例12】分解因式x33x2次如果它能分解成几个因式的积那么进行乘法运算时必是把一次项系数合并为0了，说明：本解法把原常数4拆成1与3的和，将多项式分成两组，满足系数对应成比例造成可以用公式法及提取公因式的条件。本题还可以将3x2拆成x24x2，将多项式分成两组(x3x2和4x24。一般地，把一个多项式因式分解，可以按照下列步骤进行如果多项式各项有公因式，那么先提取公因如果各项没有公因式，那么可以尝试运用公式来分解如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组或其它方法(如相乘法)来分分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为第三讲一元二次方程根与系数的关系（一现行初中数学主要要求学生掌握一元二次方程的概念解法及应用而一元二次方程的根的判断式及根与系数的关系在高中中的二次函数不等式及解析几何等章节着许多应用。本节将对一元二次方程根的判别式、根与系数的关系进行阐述。一、一元二次方程的根的判一元二次方程ax2bxc0(a0，用配方法将其变形为(x

b)2

b24ac当b24ac0时，右端是正数。因此，方程有两个不相等的实数根bb b2当b24ac0时，右端是零。因此，方程有两个相等的实数根： 当b24ac0时，右端是负数。因此，方程没有实数由于可以用b24ac的取值情况来判定一元二次方程的根的情况。因此，把b24ac叫做一元二次方程ax2bxc0(a0的根的判别式，表示为b24ac【例1】不解方程，判断下列方程的实数根的个

2x23x1

4y29

5(x23)6x说明：在求判断式时，务必先把方程变形为一元二次方程的一【例2知关于x的一元二次方程3x22xk0根据下列条件分别求出k的范围(1)方程有两个不相等的实数根 (2)方程有两个相等的实数根(3)方程有实数根 (4)方程无实数根【例3】已知实数xyx2y2xy2xy10，试求xy的值二、一元二次方程的根与系数的关bb2一元二次方程ax2bxc0bb2b b2b b2

x2 b

b2 b b2 x1x2

ab

b24acb b2

(b)2(b24ac

x1x2

定理：如果一元二次方程ax2bxc0(a0的两个根为xx，那 xxb,xx 1 说明一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家发现所以通常把定理称为”定理”。上述定理成立的前提是0。 【例4】若xx是方程x22x20070的两个根，试求下列各式的

x2x2；

1

；

(x

5)

|xx| ，可以利用定理来解答。说明：利用根与系数的关系求值，要熟练掌握以下等式变形x2x2

x)22xx，1

x1x2，

x)2

x)24xx 1

1|xx

，xx2x2xxx(xx)(xx)24x (xx)24x 1x3x3(xx)33xx(xx)等等。定理体现了整体思想 1 【例5】已知关于xx2k1)x1k210，根据下列条件，分别求出k的值4方程两实根的积为 (2)方程的两实根x1,x2满足|x1|x2分析：(1)由定理即可求之；(2)有两种可能，一是x1x20，二是x1x2，根的条件，即所求的字母应满足0。 【例6xx是一元二次方程4kx24kxk10的两个实 是否存在实数k，使(2xx)(x2x)3成立？若存在，求出k的值 若不存在，请您说明理求使

x22的值为整数的实数k的整数值说明：(1)存在性问题的题型，通常是先假设存在，然后推导其值，若能求出，则说明存在，否则即不存在。（2）本题综合性较强，要学会对k

为整数的分析第四 不等式（两识一、一元二次不等式及其解形如ax2bxc0(或0)(其中a0的不等式称为关于x的一元二次不等式ax2bxc0(或0与二次函yax2bxc(a0)及一元次方程ax2bxc0的关系(简称：三个二次)。以二次函数yx2x6作出图根据图象容易看到，图象与x(3,0),(2,0)，即当x3或2时，y0。就是说对应的一元 二次方程x2x60的两实根是x3或2。当x3或x2时，y0，对应图像位于x轴的上 就是说x2x60的解是x3或x2。3x2y0应图像位x轴的下方。就是说x2x60的解是3x2一般地，一元二次不等式可以结合相应的二次函数、一元二次方程求解，步骤如下将二次项系数先化为正数观测相应的二次函①如果图象与x轴有两个交点(x10),(x20，此时对应的一元二次方程有两个不相等的实数根x1,x2(也可由根的判别式0来判断)。

ax2bxc0(a

xx1或xax2bxc0(a0)xx ②如果图象与x轴只有一个交此时对应的一元二次方程有

(

,0)相的实数根

x

(也可由根的判别式0来判断

ax2bxc0(a

xax2bxc0(a0)无ax2bxc0(a0)x取一切实ax2bxc0ax2bxc0(a0)x取一切实ax2bxc0(a0)无如果单纯的解一个一元二次不等式的话，可以按照一下步骤处化二次项系数为正若二次三项式能分解成两个一次因式的积，则求出两根x1,x2．那么0”型的解为xx1或xx2(俗称两根之0”型的x1xx2(俗称两根之间)；否则，对二次三项式进行配方，变成

bxca(x

b24ac，) ，)结合完全平方式为非负数的性质求【例1】解不等式x2x60分析：不等式左边可以因式分解，根据“符号法则——正正(负负)正负得负”的原则，将其转化为一元一次不等式组。说明：当把一元二次不等式化为ax2bxc0(或0的形式后，只要左边可以分解为【例2】解下列不等(x2)(x3) (2)（x-1）(x+2)(x-分析：要先将不等式化为ax2bxc0(或0的形式，通常使二次项系数为正【例3】解下列不等

x22x8

x24x4

x2x2【例4】已知对于任意实数xkx22xk恒为正数，求实数k的取值范围5】已知关于x的不等式kx2k21)x30的解为1k3，求k分析：对应的一元二次方程的根是1和3，且对应的二次函数的图象开口向上。根据说明：本例也可以根据方程有两根1和3，用代入法得k(1)2k21)(130k323(k2130，且注意k0，从而k1。【例6】解下列不等2x3x

x x2x(1)(式)(式)直接转化为整式不等式求解。注意到经过配方法，分母实际上是一个正【例7】解不等式 x说明：(1)转化为整式不等式时，一定要先将右端变为0本例也可以直接去分母，但应注意讨论分母的符号 x2

x2

x

x x

33(x2)

3(x2)

x

5或x

5x

或x2含有3母系数的一元二次不等

一元一次不等式最终可以化为axb(a0)的形式当a0时，不等式的解xba当a0时，不等式的解xba当a0时，不等式化为0xb①若b0，则不等式无解b﹤0，则不等式的解是全体实数【例8】求关于x的不等式m2x22mxm的解【例9】已知关于x的不等式k2kxx2的解为x1，求实数k的值 分析：将不等式整理成axb的形式，可以考虑只有当a0时，才有形如x 的解ab1 第五 二次函数的最值问题（一二次函数yax2bxc(a0是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基础。在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量x取任意实数时的最值情况(当a0xb处取得最小

4ac

，无最大值a0时，函数xb处取得最大值4ac

，无最小值本节在这个基础上继续学习当自变量x在某个范围内取值时，函数的最值问题。【例1】当2x2时，求函数yx22x3的最大值和最小到函数的最大值、最小值及函数取到最值时相应自变量x的值。【例2】当1x2时，求函数yx2x1的最大值和最小【例3】当x0时，求函数yx(2x的取值范【例4】当txt1时，求函数y1x2x5的最小值(其中t为常数 分析：由于x所给的范围随着t的变化而变化，所以需要比较对称轴与置【例5】某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现这种商品每天的销售m(件)与每件的销售价x(元)满足一次函数m1623x30x54写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件销售价x之间的函数关系式若商场要想每天获得最大销售利每件商品的售价定为多少最合适？最大销售润为多少第六 简单的二元二次方程组（一2含有两个未知数、且含有未知数的项的最高次数是2的方程组，叫做二元二次方一、由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程着转化思想：将二元一次方程化归为熟悉的一元二次方程求解。2xy 【例1】解方程组x2y230分析：由于方程(1)是二元一次方程，故可由方程(1)y2x，代入方程(2)消去y。解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的步骤①由二元一次方程变形为用xy的方程，或用y表示x的方程②把方程(3)代入二元二次方程，得一个一元二次方程③解消元后得到的一元二次方程④把一元二次方程的根，代入变形后的二元一次方程(3)数的值；⑤写出答案x，还是y，应由二元一次方程的系数来决定．若系数均为整数，那么最好消去系数绝对值较小的，如方程x2y10，可以消去x，变形得x2y1，再代入消元。入二元二次方程求另一未知数的值，因为这样可能产生增根，这一点切xy 【例2】解方程组xxy 分析：本题可以用代入消元法解方程组，但注意到方程组的特点，可以把x、y看成方程z211z280的两根，则更容易求xy说明：(1)对于这种对称性的方程组xyaxy构造方程时，未知数要换成xy的字母，如z(2称形方程组的解也应是对称的，即有解x4，则必有解x7二、由两个二元二次方程组成的方程可因式分解型的方程

y

y程组，其中每个方程组都是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成。x2y25(x 【例3】解方程组x2xyy2 分析：注意到x2y25(xy，可分(xy)(xy5)0，即xy0或xy50，则可得到两个二元二次方程组，且每个方程组中均有一个方程为二元一次方次方程。 【例4】解方程组xyy2 分析：本题的特点是方程组中的两个方程均缺一次项，我们可以消去常数项，可得一个二次三项式的方程．对其因式分解，就可以转化为例3的类型方程组中的任一个方程联立，得到一个可因式分解型的二元二次方程组。x2y2 【例5】解方程组xy 分析：(1)+(2)2得：(xy)236 (3)，(1)-(2)2得：(xy)216 (4)，分别分x2y2对称型方程组xy形式，通过构造一元二次方可消二次项型的方程【例6】解方程组xyx 3xyy

x2y2、xy

都可以通过变形转化为xymxyxy一个二元一次方程，把它与原方程组的任意一个方程联立，解此方程组，即得原方程组的解．二元二次方程组类型多样，消元与降次是两种基本方法，具体问题具体解决。第七 分式方程和无理方程的解法（一二次方程的分式方程的解法以及无理方程的解法．并且只要求掌握(1)不超过三个分式构成的分式方程的解用”去分母”或”换元法”求方程的根，并会验根；(2)了解无理方程概念掌握可化为一元二次方程的无理方程的解用”平方”或”换元法”求根会验根。一、可化为一元二次方程的分式方去分母化分式方程为一元二次方【例1

x

x2

x

1分析：去分母，转化为整式去分母解分式方程的步骤①把各分式的分母因式分解；②在方程两边同乘以各分式的最简公分母③去括号，把所有项都移到左边，合并同类项；④解一元二次方程；验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算量较大。而分式方能产生的增根，就是使分式方程的分母为0的根。因此我们只要检验一元二次方程的根，是否使分式方程两边同乘的各分式的最简公分母为0。若为0，即为增根；若不为0，即为原用换元法化分式方程为一元二次方【例2

x

23x240x0分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程 。但注意到方程的结

x

y，即得到一个关于y的一元二次方程。最后在已知y的值的情况下，用分母的方法解方

x y说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出y的值，而没有求到原方程的解，即【例3

8(x2 3(x2 x21 x2分析：注意观察方程特点，可以看到分x2

x2与x2

x2x2

互为倒数。因此

x2