数学选修2-2数系的扩充和复数的引入说课材料课件

第三章阶段复习课第三章阶段复习课一、数系的扩充和复数的概念1.复数的概念形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，通常记为z=a+bi(复数的代数形式)，其中i叫虚数单位(i2=-1)，a叫实部，b叫虚部，数集C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.一、数系的扩充和复数的概念2.复数的分类(1)(2)集合表示:2.复数的分类3.复数相等的充要条件a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d(a,b,c,d∈R).4.复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数.3.复数相等的充要条件5.复数的几何意义(1)复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R);(2)复数z=a+bi平面向量(a,b∈R).6.复数的模向量的模r叫做复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=r=(r≥0,r∈R，a,b∈R).

5.复数的几何意义【辨析】复数、复平面内的点、复平面内的向量任意一个复数都可以由它的实部和虚部唯一确定，当把实部、虚部看成有序数对时就对应复平面内的一个点，每一个点都对应一个以原点为起点，以该点为终点的向量，所以复数、复平面内的点、复平面内的向量是统一的.

【辨析】二、复数代数形式的四则运算1.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则.设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则加法z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i减法z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i乘法z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i除法二、复数代数形式的四则运算加法z1+z2=(a+bi)+((2)对复数运算法则的认识.①复数代数形式的加减运算，其运算法则是对它们的实部与虚部分别进行加减运算，在运算过程中应注意分清每一个复数的实部与虚部.②复数加法法则的合理性:(ⅰ)当b=0,d=0时，与实数加法法则一致.(ⅱ)加法交换律和结合律在复数集中仍成立.(ⅲ)符合向量加法的平行四边形法则.(2)对复数运算法则的认识.(3)复数满足的运算律:复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1+z2=z2+z1，(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2=z2·z1,(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.

(3)复数满足的运算律:(4)复数加减法的几何意义.复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行(满足平行四边形、三角形法则).复数的减法运算也可以按向量的减法来进行.(4)复数加减法的几何意义.2．几个重要的结论(1)|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2).(2)z·=|z|2=||2.(3)若z为虚数，则|z|2≠z2.(4)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,n∈N*.2．几个重要的结论3.共轭复数的性质复数z=a+bi的共轭复数=a-bi.(1)z·∈R.(2)=z.(3)任一实数的共轭复数仍是它本身；反之，若z=则z是实数.(4)共轭复数对应的点关于实轴对称.4.巧用向量解复数问题复数的加减运算可转化为向量的加减运算.

3.共轭复数的性质请你根据下面的体系图快速回顾本章内容，从备选答案中选择准确选项，填在图中的相应位置，构建出清晰的知识网络吧.请你根据下面的体系图快速回顾本章内容，从备选答案中选数学选修2-2数系的扩充和复数的引入说课材料课件一、复数的概念与分类形如a+bi(a,b∈R)的数，称为复数，所有复数构成的集合称复数集，通常用C来表示.设z=a+bi(a,b∈R)，则(1)z是虚数⇔b≠0；(2)z是纯虚数⇔

；(3)z是实数⇔b=0.一、复数的概念与分类【例1】(2019·无锡高二检测)已知复数z=m(m+1)+mi,i为虚数单位，m∈R.(1)当复数z为纯虚数时，求m的值；(2)当复数z在复平面上的对应点在第二、四象限角平分线上时，求m的值；(3)若(1+i)z=1+3i，求|z|.【例1】(2019·无锡高二检测)已知复数z=m(m+1)+【解析】(1)由题意得⇒m=-1，当m=-1时，z是纯虚数.(2)由题意得m2+m=-m，解得m=0或m=-2.(3)∵(1+i)z=1+3i,∴|(1+i)z|=|1+3i|,∴|z|=∴|z|=【解析】(1)由题意得⇒m=-1，二、复数的四则运算复数加减乘除运算的实质是实数的加减乘除,加减法是对应实部、虚部相加减,而乘法类比多项式乘法,除法类比根式的分母有理化,要注意i2=-1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1，(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=-i,=i.二、复数的四则运算【例2】计算:(1)(2)【解析】(1)原式=(2)原式【例2】计算:(1)【例3】已知复数z＝ω＝z＋ai(a∈R)，当||≤时，求a的取值范围．【例3】已知复数z＝ω【解析】∵ω＝z＋ai＝1－i＋ai＝1＋(a－1)i,∴∴∴a2－2a－2≤0，∴1－≤a≤1＋故a的取值范围是［1－1＋］．【解析】三、复数的几何意义及数形结合思想的应用复数z=a+bi(a,b∈R)和复平面上的点Z(a,b)一一对应，和向量一一对应，复数z对应的点所在象限由z的实部和虚部的符号确定，正确的求出复数的实部和虚部，是解决此类问题的关键.复数的几何意义为数形结合解决复数问题提供了条件，灵活运用数形结合思想可达到事半功倍的效果.运用数形结合的思想,挖掘题目中知识的多功能因素,使问题出奇制胜地得到解决.三、复数的几何意义及数形结合思想的应用【例4】已知复数z满足｜z-3-4i｜=2，则｜z｜的最大值为__________.【解析】｜z-3-4i｜=2表示复平面内动点Z的轨迹是以点(3，4)为圆心，以2为半径的圆，所以｜z｜max=5+2=7.答案：7【例4】已知复数z满足｜z-3-4i｜=2，则｜z｜的最大值【例5】已知z是复数，z+2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.【解析】设z=x+yi(x,y∈R)，则z+2i=x+(y+2)i,由题意知∴∴z=4-2i.【例5】已知z是复数，z+2i，均为实数(i为虚数单∵(z+ai)2=［4+(a-2)i］2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,由已知得∴2<a<6，∴实数a的取值范围是(2,6).∵(z+ai)2=［4+(a-2)i］2四、复数的模与共轭复数若z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi称为z的共轭复数，复数的模与复数的代数形式紧密相关，复数模的计算也可以转化为复数的乘积，即：z·=|z|2.四、复数的模与共轭复数【例6】使复数为实数的充分而不必要条件是()(A)z=(B)|z|=z(C)z2为实数(D)z+为实数【解析】选B.z=⇔z∈R；|z|=z⇒z∈R，反之不行，如z=-2；z2为实数不能推出z∈R，如z=i；对于任意z，z+都是实数.【例6】使复数为实数的充分而不必要条件是()【例7】已知z2=(x2+a)i，对于任意x∈R，均有|z1|＞|z2|成立，试求实数a的取值范围．【解析】∵|z1|＞|z2|，∴x4+x2+1＞(x2+a)2，∴(1-2a)x2+(1-a2)＞0对x∈R恒成立．当1-2a=0，即a=时，不等式成立；当1-2a≠0时，⇒-1＜a＜综上，a∈(-1,］．【例7】已知z2=(x2+a五、复数中的轨迹问题通过引入参变量架起已知通向未知的桥梁,这样,把问题转化为对参变量的讨论.这种方法运用的巧妙,可以达到化难为易、化繁为简、化生为熟、化未知为已知的效果.五、复数中的轨迹问题【例8】已知复数z1≠1,且是纯虚数，复数求复数z在复平面内对应的点的轨迹.【解析】设=bi(b∈R,b≠0),则z1=-1，∴z==(1-bi)2=1-b2-2bi.设z=x+yi(x,y∈R),得消去b得，y2=-4(x-1)(x≠1),即复数z对应的点的轨迹为抛物线(除去顶点).【例8】已知复数z1≠1,且是纯虚数，复数【例9】已知z=t+3+3i，其中t∈C，且为纯虚数．(1)求t的对应点的轨迹；(2)求|z|的最大值和最小值．【例9】已知z=t+3+3i，其中t∈C，且为【解析】(1)设t=x+yi(x,y∈R)，则∵为纯虚数，∴即∴t的对应点的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，并除去(-3,0)(3,0)两点.【解析】(1)设t=x+yi(x,y∈R)，(2)由t的轨迹可知，|t|=3，∴|z-(3+3i)|=3，圆心对应3+3i，半径为3，∴|z|的最大值为|3+3i|+3=9，|z|的最小值为|3+3i|-3=3．(2)由t的轨迹可知，|t|=3，1.(2019·浙江高考)已知i是虚数单位,则=()(A)1-2i(B)2-i(C)2+i(D)1+2i【解析】选D.1.(2019·浙江高考)已知i是虚数单位,则=(2.已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝()(A)－3i(B)3i(C)±3i(D)4i【解析】选B.令z＝a＋bi(a，b∈R)，则a2＋b2＝9,①又z＋3i＝a＋(3＋b)i是纯虚数，∴由①②得a＝0，b＝3，∴z＝3i，故应选B.2.已知|z|＝3，且z＋3i是纯虚数，则z＝()3.复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为()(A)2(B)4(C)4(D)8【解析】选C.∵|z－4i|＝|z＋2|，且z＝x＋yi,∴|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|,∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2,∴x＝－2y＋3，∴2x＋4y＝2－2y＋3＋4y＝8·＋4y≥3.复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足|z－4i|＝|z＋24.满足条件|z+i|+|z－i|=4的复数z在复平面上对应点的轨迹是()(A)一条直线(B)两条直线(C)圆(D)椭圆【解析】选D.复数z在复平面上对应点到定点(0,1)，(0，-1)的距离之和为定值4，故对应点的轨迹是椭圆.4.满足条件|z+i|+|z－i|=4的复数z在复平面上对应5.(2019·东城高二检测)若复数(1+ai)(2+i)=3-i，则实数a的值为__________.【解析】∵(1+ai)(2+i)=3-i,∴(2-a)+(2a+1)i=3-i,∴∴a=-1.答案：-15.(2019·东城高二检测)若复数(1+ai)(2+i)=6.已知复数(x-2)+yi(x,y∈R)的模为求的最大值．【解析】∵|x-2+yi|=∴(x-2)2+y2=3，故(x,y)在以C(2,0)为圆心，为半径的圆上，表示圆上的点(x,y)与点(-1,-1)连线的斜率．如图，由平面几何知识，易知的最大值为6.已知复数(x-2)+yi(x,y∈R)的模为求数学选修2-2数系的扩充和复数的引入说课材料课件数学选修2-2数系的扩充和复数的引入说课材料课件数学选修2-2数系的扩充和复数的引入说课材料课件第三章阶段复习课第三章阶段复习课一、数系的扩充和复数的概念1.复数的概念形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数，通常记为z=a+bi(复数的代数形式)，其中i叫虚数单位(i2=-1)，a叫实部，b叫虚部，数集C={a+bi|a,b∈R}叫做复数集.一、数系的扩充和复数的概念2.复数的分类(1)(2)集合表示:2.复数的分类3.复数相等的充要条件a+bi与c+di相等的充要条件是a=c且b=d(a,b,c,d∈R).4.复平面建立直角坐标系来表示复数的平面，叫做复平面.x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴.实轴上的点表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数；各象限内的点都表示非纯虚数.3.复数相等的充要条件5.复数的几何意义(1)复数z=a+bi复平面内的点Z(a,b)(a,b∈R);(2)复数z=a+bi平面向量(a,b∈R).6.复数的模向量的模r叫做复数z=a+bi的模，记作|z|或|a+bi|，即|z|=|a+bi|=r=(r≥0,r∈R，a,b∈R).

5.复数的几何意义【辨析】复数、复平面内的点、复平面内的向量任意一个复数都可以由它的实部和虚部唯一确定，当把实部、虚部看成有序数对时就对应复平面内的一个点，每一个点都对应一个以原点为起点，以该点为终点的向量，所以复数、复平面内的点、复平面内的向量是统一的.

【辨析】二、复数代数形式的四则运算1.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则.设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),则加法z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i减法z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i乘法z1·z2=(a+bi)·(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i除法二、复数代数形式的四则运算加法z1+z2=(a+bi)+((2)对复数运算法则的认识.①复数代数形式的加减运算，其运算法则是对它们的实部与虚部分别进行加减运算，在运算过程中应注意分清每一个复数的实部与虚部.②复数加法法则的合理性:(ⅰ)当b=0,d=0时，与实数加法法则一致.(ⅱ)加法交换律和结合律在复数集中仍成立.(ⅲ)符合向量加法的平行四边形法则.(2)对复数运算法则的认识.(3)复数满足的运算律:复数的加法满足交换律、结合律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1+z2=z2+z1，(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).复数的乘法满足交换律、结合律及乘法对加法的分配律，即对任意z1，z2，z3∈C，有z1·z2=z2·z1,(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3),z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.

(3)复数满足的运算律:(4)复数加减法的几何意义.复数加法的几何意义：复数的加法可以按照向量的加法来进行(满足平行四边形、三角形法则).复数的减法运算也可以按向量的减法来进行.(4)复数加减法的几何意义.2．几个重要的结论(1)|z1+z2|2+|z1-z2|2=2(|z1|2+|z2|2).(2)z·=|z|2=||2.(3)若z为虚数，则|z|2≠z2.(4)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,n∈N*.2．几个重要的结论3.共轭复数的性质复数z=a+bi的共轭复数=a-bi.(1)z·∈R.(2)=z.(3)任一实数的共轭复数仍是它本身；反之，若z=则z是实数.(4)共轭复数对应的点关于实轴对称.4.巧用向量解复数问题复数的加减运算可转化为向量的加减运算.

3.共轭复数的性质请你根据下面的体系图快速回顾本章内容，从备选答案中选择准确选项，填在图中的相应位置，构建出清晰的知识网络吧.请你根据下面的体系图快速回顾本章内容，从备选答案中选数学选修2-2数系的扩充和复数的引入说课材料课件一、复数的概念与分类形如a+bi(a,b∈R)的数，称为复数，所有复数构成的集合称复数集，通常用C来表示.设z=a+bi(a,b∈R)，则(1)z是虚数⇔b≠0；(2)z是纯虚数⇔

；(3)z是实数⇔b=0.一、复数的概念与分类【例1】(2019·无锡高二检测)已知复数z=m(m+1)+mi,i为虚数单位，m∈R.(1)当复数z为纯虚数时，求m的值；(2)当复数z在复平面上的对应点在第二、四象限角平分线上时，求m的值；(3)若(1+i)z=1+3i，求|z|.【例1】(2019·无锡高二检测)已知复数z=m(m+1)+【解析】(1)由题意得⇒m=-1，当m=-1时，z是纯虚数.(2)由题意得m2+m=-m，解得m=0或m=-2.(3)∵(1+i)z=1+3i,∴|(1+i)z|=|1+3i|,∴|z|=∴|z|=【解析】(1)由题意得⇒m=-1，二、复数的四则运算复数加减乘除运算的实质是实数的加减乘除,加减法是对应实部、虚部相加减,而乘法类比多项式乘法,除法类比根式的分母有理化,要注意i2=-1，i4n+1=i，i4n+2=-1，i4n+3=-i，i4n=1，(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=-i,=i.二、复数的四则运算【例2】计算:(1)(2)【解析】(1)原式=(2)原式【例2】计算:(1)【例3】已知复数z＝ω＝z＋ai(a∈R)，当||≤时，求a的取值范围．【例3】已知复数z＝ω【解析】∵ω＝z＋ai＝1－i＋ai＝1＋(a－1)i,∴∴∴a2－2a－2≤0，∴1－≤a≤1＋故a的取值范围是［1－1＋］．【解析】三、复数的几何意义及数形结合思想的应用复数z=a+bi(a,b∈R)和复平面上的点Z(a,b)一一对应，和向量一一对应，复数z对应的点所在象限由z的实部和虚部的符号确定，正确的求出复数的实部和虚部，是解决此类问题的关键.复数的几何意义为数形结合解决复数问题提供了条件，灵活运用数形结合思想可达到事半功倍的效果.运用数形结合的思想,挖掘题目中知识的多功能因素,使问题出奇制胜地得到解决.三、复数的几何意义及数形结合思想的应用【例4】已知复数z满足｜z-3-4i｜=2，则｜z｜的最大值为__________.【解析】｜z-3-4i｜=2表示复平面内动点Z的轨迹是以点(3，4)为圆心，以2为半径的圆，所以｜z｜max=5+2=7.答案：7【例4】已知复数z满足｜z-3-4i｜=2，则｜z｜的最大值【例5】已知z是复数，z+2i，均为实数(i为虚数单位)，且复数(z+ai)2在复平面上对应的点在第一象限，求实数a的取值范围.【解析】设z=x+yi(x,y∈R)，则z+2i=x+(y+2)i,由题意知∴∴z=4-2i.【例5】已知z是复数，z+2i，均为实数(i为虚数单∵(z+ai)2=［4+(a-2)i］2=(12+4a-a2)+8(a-2)i,由已知得∴2<a<6，∴实数a的取值范围是(2,6).∵(z+ai)2=［4+(a-2)i］2四、复数的模与共轭复数若z=a+bi(a,b∈R),则=a-bi称为z的共轭复数，复数的模与复数的代数形式紧密相关，复数模的计算也可以转化为复数的乘积，即：z·=|z|2.四、复数的模与共轭复数【例6】使复数为实数的充分而不必要条件是()(A)z=(B)|z|=z(C)z2为实数(D)z+为实数【解析】选B.z=⇔z∈R；|z|=z⇒z∈R，反之不行，如z=-2；z2为实数不能推出z∈R，如z=i；对于任意z，z+都是实数.【例6】使复数为实数的充分而不必要条件是()【例7】已知z2=(x2+a)i，对于任意x∈R，均有|z1|＞|z2|成立，试求实数a的取值范围．【解析】∵|z1|＞|z2|，∴x4+x2+1＞(x2+a)2，∴(1-2a)x2+(1-a2)＞0对x∈R恒成立．当1-2a=0，即a=时，不等式成立；当1-2a≠0时，⇒-1＜a＜综上，a∈(-1,］．【例7】已知z2=(x2+a五、复数中的轨迹问题通过引入参变量架起已知通向未知的桥梁,这样,把问题转化为对参变量的讨论.这种方法运用的巧妙,可以达到化难为易、化繁为简、化生为熟、化未知为已知的效果.五、复数中的轨迹问题【例8】已知复数z1≠1,且是纯虚数，复数求复数z在复平面内对应的点的轨迹.【解析】设=bi(b∈R,b≠0),则z1=-1，∴z==(1-bi)2=1-b2-2bi.设z=x+yi(x,y∈R),得消去b得，y2=-4(x-1)(x≠1),即复数z对应的点的轨迹为抛物线(除去顶点).【例8】已知复数z1≠1,且是纯虚数，复数【例9】已知z=t+3+3i，其中t∈C，且为纯虚数．(1)求t的对应点的轨迹；(2)求|z|的最大值和最小值．【例9】已知z=t+3+3i，其中t∈C，且为【解析】(1)设t=x+yi(x,y∈R)，则∵为纯虚数，∴即∴t的对应点的轨迹是以原点为圆心，3为半径的圆，并除去(-3,0)(3,0)两点.【解析】(1)设t=x+yi(x,y∈R)，(2)由t的轨迹可知，|t|=3，∴|z-(3+3i)|=3，圆心对应3+3i，半径为3，∴|z|的最大值为|3+3i|+3=9，|z|的最小值为|3+3i|-3=3．(2)由t的轨迹可知，|t|=3，1.(2019·浙江高考)已知i是虚数单位