液压与气压传动

正态总体均值与方差的区间估一.单个正态总设给定置信度为1

X1

X2

XnN(,

2的样本

X,S

分别是样本均值和样本方差

2为已知

由上节可知μ双侧置信区间为

X n /2n μ单侧置信区间为

X

z

X

z,nn nn 1(2)2为未知因为根据第五章定理三

X

~t(nS则P

(n1)

XnSn

t/

(nnn

1即 nnPX t/2(n1)X t/2(nnn

1

nX /2nX

(n

类似地，可得μ的单侧置信,X

St(n

X

St(n

nn nn 例 有一大批糖果,现从中随机地取16袋,称得量(克)如下设袋装糖果的重量服从正态分布,试求总体均的置信度为0.95的置信区间解

n1t(n1分布表可知

t0.025(15)

计算

x

s3得的置信度为95%

6.20222.1315

就是说估计袋装糖果重量的均值在500.4克507.1克之间,这个估计的可信程度为若依此区间内任一值作为的近似值其误差不大

6.61(克这个误差的可信度为4

已知

2的置信度

1的置信区 X2根据

~2(ni1 (Xi P

(n)

i

2(n)

1 1

n(n

(

)2ni ,i1 n 2(n)

1

(n)

未知

的置信度

1

的置信区因为S2是2的无偏估计根据第五章定理二

(n1)S ~(n (n1)S 则P12(n1

/2(n

1(n1)S (n1)S 即P

(n1)

(n

1 / (n1)S (n1)S

(n

(n1) / 1/ 进一步可得

1

nnn 2/2/(n21/(n 在应用中，一般更关注方差的上限，类似上面的推导，可得方差σ2的置信度为1-α的单侧置信区间为 (n1)S2

(n1)7注意:在密度函数不对称时

如

分布F分布上仍取对称的分位点来确定置信区间(如图8例2(续例1)求例1中总体标准差的置信度0.95的置信区解2

12

n

2(n1分布表可知2

计算

s代入公式得标准差的置信区间(4.58,9二.两个正态总设给定置信度1,

X1

n2X ,n21

个总

N(,2的样本,Y,Y

为第二 N(,2的样本

X,Y本均值

S2,

2分别是第一、二个总体的样本方差 讨论两个整体总体均值差和方差比的估计问题

1

2和

2112的一个置2122 22 .X .X

z/ 推导过程如下X,

分别

1

2的无偏估计X

2的无偏估计X,Y的独立性 2 2X~N1,

,

Y~N2

, 可知X

~N

2

2 221222122

Y

2

于是得12的一个置信度1的置信区22 22 .X .X1212

z/

2和

只要n1和n2都很大(实用上

12的置信度

1的近似置 SS.X X

z/ (3)

2

2

但

为未知2112的一个置信度1的置信区21X X

t/2

11S2w (n1)S2(n1)SS2w其中

,

Sw n1n2 为比较І,ІІ两种型号 随机地取І 10发,得到枪口速度的平均值x1

s1

1.10(m/

随机地取 20发,得枪口速度平均值

x2

1.20(m/s),假设两总体都可认为近地服从正态分布,且由生产过程可认为它们的方相等,求两总体均值信区间

2的置信度为0.95的置由题意,两总体样本独立且方差相等(但未知2

n1

n2

n1

2

t(n1分布表可知

t0.025(28)

s 9sw

19,

sw

S2w于是得12的一个置信度为0.95的置信S2wx1

x2

Sw

(411

即所求置信区间为(3.07,122仅讨论总体均

1,

2为未知的情况 的一个置信度为1

22S S , S S2 2S S2

/2

推导过程如下(n1)S (n1)S由于 ~

2(n

~

2(n

(n1)S (n1)S

与

相互独立 根据F分布的定义(n1)S(n1)S112(n11(n1)S222(n22

S211S211S222

S

1)

S S 1S S 22P 222S2S

11的一个置信度为1

22S

S , S S2 2S S2

/2

1SS1 S2F/ (n1,n2

1

SS1 1S2F1/ (n1,n2s2 甲、乙两台机床加工同一种零件,在机床甲加工的零件中抽取9个样品,在机床乙加工的零件s2s1由所给数据算得s1

0.357,在置信0.98下,试求这两台机床加工精度之比1 信区间.假定测量值都服从正态分布,方差分别1.22,1.2 n1

n2

1)

1/F/2(8,5)

F0.01(8,

的一个置信度为0.98 S1S22/(n1,n12 SS22(n1,n1)1120.3570.357

0.2450.245 例 为提高某一化学生产过程的得率,试图采一种新的催化剂,为慎重起见,在试验工厂先进

8次试验得到得率的平均值

样本方差

ss1又采用新的催化剂进行了n2ss1

8次试验得到得的平均值x2

样本方

4.02,假设两2体都可认为近似地服从正态分布,且方差相等,2两总体均值

1

2的置信水平为0.95的置信区由题意,两总体样本独立且方差相等(但未知 (n1)S2(n1)S且

n1n2于是得12的一个置信水平0.95的置信区x1

x2

sw

(2.021188

即所求置信区间为

例 研究由机器A和机器B生产 内径,机抽取机A生产的管18只,测得样本方差s1 0.34(mm2抽取机器B13只,s1s得样本方差s

设两样本相互2立,且设由机器A和机器B生产 内径分别2从正态分

N(1,

2

N(2

2

i

2(i

121i2均未知求方差比121i2区间

2的置信度为0.90的置n1

n2

s1 s1

s2s2

1)

F0.05(17,12)

(17,12)

(17,12)

1的一个置信度为0.9022

,0.34

单个总体均值的置信区2为已知,X nn(2)

2为未知X

/2S (n单个总体方差

/ nn2的置信区(n1)S (n1)S /

(n

2

(n1)两个总体均值差12的置信区122和12

2均为已知

XX

122122. S SS.X1和.X

均为未知

z/ 21221

2

但

为未知1X

t/2

2)Sw 122总体均

1,

2为未S S , S S2 2S S2

/2

如何评价两

1

2

,0, 作

2/2 ,