数学二串讲1(函数与极限)课件

考研数学二串讲主讲教师:杜守旭同学们好！考研数学二串讲主讲教师:杜守旭同学们好！2考好数学的奥秘------陈文灯数学基础树的根，技巧演练考题型，勤学苦练强磨砺，功到高分自然成。数学基础班------陈文灯考研数学基础班，任务搬掉“三重山”，基础夯实张开帆，一路凯歌无难关。注：“三重山”指基本概念、基本理论、基本运算。2考好数学的奥秘------陈文灯3二、极限一、函数三、连续与间断第一章函数与极限—研究对象—研究方法—研究桥梁3二、极限一、函数三、连续与间断第一章函数与41.函数的四种特性容易证明：有界的充分必要条件是既有上界又有下界(1)函数的有界性:说明：(1)界不唯一,不要求找最小的界.(2)还可定义有上界、有下界和无界.(3)函数的有界性是局部概念.使称为有界函数.一般的一、函数41.函数的四种特性容易证明：有界的充分必要条件是既有上界又5(2)

单调性称为I

上的单调增函数;称为I

上的单调减函数;注意:(1)这里是严格单调.(2)单调性是局部概念.5(2)单调性称为I上的单调增函数;称为I上6(3)函数的奇偶性:设D关于原点对称，对于有则称f(x)为偶函数.有则称f(x)为奇函数.注意：(1)定义域关于原点对称,奇偶性是整体概念.(2)奇函数的图形关于原点对称,偶函数的图形关于y轴对称.(3)奇偶函数的定义域不一定是R.(4)若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有6(3)函数的奇偶性:设D关于原点对称，对于有则称f(x)为7(4)周期性则称为周期函数

,若称

l

为周期.例如,

常量函数狄里克雷函数x

为有理数x为无理数说明：10周期函数的定义域是无限的点集.20周期函数不一定存在最小正周期.结论：设函数7(4)周期性则称为周期函数,若称l为周期.例如,82.反函数(1)定义(2)性质其反函数(减)(减).1)y=f(x)单调递增且也单调递增2)函数与其反函数的图形关于直线对称.(注意：对单值函数而言的)82.反函数(1)定义(2)性质其反函数(减)(减).1)93.复合函数则设有函数链称为由①,②确定的复合函数

,①②u

称为中间变量.注意:

构成复合函数的条件不可少.例如,

函数链:函数但函数链不能构成复合函数.可定义复合93.复合函数则设有函数链称为由①,②确定的复合函数10(1)基本初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数:由常数及基本初等函数否则称为非初等函数

.例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.均为初等函数.4.初等函数10(1)基本初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角11非初等函数举例:(2)取整函数:注意：分段函数一般不是初等函数.(1)符号函数:-4-3-2-112341234-1-2-3-4oxy11非初等函数举例:(2)取整函数:注意：分段函数一般不是初12函数的分类:初等函数非初等函数(大部分分段函数,有无穷多项的函数)代数函数超越函数(解析式中含反，对，指，三的函数)有理函数无理函数(解析式中含有根式的函数)有理整函数(多项式函数)有理分式函数(分式函数)函数12函数的分类:初等函数非初等函数(大部分分段函数,有无穷多131.定义：(1)数列极限的精确性定义：使时，恒有使当时，恒有二、极限使当时，恒有(4)左极限,右极限：使当时，恒有使当时，恒有131.定义：(1)数列极限的精确性定义：使时，恒有使当时，14(5)极限定义的等价形式

14(5)极限定义的等价形式153.无穷小(1)无穷小的性质;～～～～～～～(2)常用等价无穷小:

当时2.函数极限的性质：惟一性；局部有界性；局部保号性153.无穷小(1)无穷小的性质;～～～～～～～(2)常16(3)无穷小的比较:设是同一过程中的两个无穷小，且

如果1记作：2

如果3特别地,若C=1时,记作：

如果416(3)无穷小的比较:设是同一过程中的两个无穷小，且174.两个重要极限:

5.求极限的法则:(1)极限的四则运算法则定理：如果则(1)(2)(3)其中(2)数列极限的单调有界准则，夹逼准则(3)复合函数的求极限法则（变量代换法）存在+存在=存在存在+不存在=不存在不存在+不存在=不一定存在174.两个重要极限:5.求极限的法则:(1)极限的18求极限的方法1.利用四则法则;2.恒等变形法;3.利用无穷小的性质;4.利用两个重要极限;5.利用函数的连续性;1.型:型:2.4.变量替换约去零因式3.：通分等价无穷小代换.分子分母有理化,6.利用极限存在的充要条件;6.求极限的基本方法:

抓大头7.利用夹逼准则.18求极限的方法1.利用四则法则;2.恒等变形法;3.利用8、罗必达法则9、泰勒展开式10、定积分的定义8、罗必达法则20例1.

求下列极限：解:

无穷小有界令20例1.求下列极限：解:无穷小有界令21则有复习:

若21则有复习:若22(4)

求解:原式=1(2000考研)22(4)求解:原式=1(2000考研)23几个常用极限与几个极限不存在的例子23几个常用极限与几个极限不存在的例子24(5)求解:24(5)求解:25则有复习:

若则有复习:

若25则有复习:若则有复习:若26解:经验：分段函数分界点处的极限一般应先求左右极限,其它点处的极限不需求左右极限.26解:经验：分段函数分界点处的极限一般应先求左右极限,其它数学二串讲1(函数与极限)课件28例2.

确定常数a,b,

使解:原式28例2.确定常数a,b,使解:原式29解:29解:30例4.

当时,是的几阶无穷小?解:

设其为的阶无穷小,则因为故30例4.当时,是的几阶无穷小?解:设其为的阶无穷小,31非零因子要及时分离出来31非零因子要及时分离出来323233(12数学二)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅰ)(Ⅱ)33(12数学二)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅰ)(Ⅱ)34三、连续与间断(1)函数在点的某邻域内有定义，函数在点的某邻域内有定义,则1.函数在处连续的定义34三、连续与间断(1)函数在点的某邻域内有定义，函数在点352.函数的间断点:间断点的分类与判别:第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点352.函数的间断点:间断点的分类与判别:第一类间断点:可去361第一类间断点:2第二类间断点:361第一类间断点:2第二类间断点:373.连续函数的运算性质:4.初等函数的连续性:定义域不能构成区间373.连续函数的运算性质:4.初等函数的连续性:定义域不能385.闭区间上连续函数的性质:定理1(最大值和最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值.定理2(有界性定理)

在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界.定理3(零点定理)定理4(介值定理)则对A

与B

之间的任一数C推论

在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M与最小值m之间的任何值.385.闭区间上连续函数的性质:定理1(最大值和最小值定理)39例1.

求的间断点,并判别其类型.解:

x=-1为第一类可去间断点.

x=1为第二类无穷间断点.

x=0为第一类跳跃间断点.间断点为：39例1.求的间断点,并判别其类型.解:x=-1404041注意：初等函数的间断点就是无定义的点及有定义的孤立点.41注意：初等函数的间断点就是无定义的点及有定义的孤立点.42例3.

设函数在x=0连续,则

a=

,b=

.提示:42例3.设函数在x=0连续,则a=43有无穷间断点和可去间断点解:为无穷间断点,所以为可去间断点,极限存在例4.

设函数试确定常数a

及b.43有无穷间断点和可去间断点解:为无穷间断点,所以为可去间断44例5.解：44例5.解：45例5.证明:讨论:定理3(零点定理)由零点定理知,综上,45例5.证明:讨论:定理3(零点定理)由零点定理知,综上,46练习：提示：46练习：提示：到此为止谢谢到此为止考研数学二串讲主讲教师:杜守旭同学们好！考研数学二串讲主讲教师:杜守旭同学们好！49考好数学的奥秘------陈文灯数学基础树的根，技巧演练考题型，勤学苦练强磨砺，功到高分自然成。数学基础班------陈文灯考研数学基础班，任务搬掉“三重山”，基础夯实张开帆，一路凯歌无难关。注：“三重山”指基本概念、基本理论、基本运算。2考好数学的奥秘------陈文灯50二、极限一、函数三、连续与间断第一章函数与极限—研究对象—研究方法—研究桥梁3二、极限一、函数三、连续与间断第一章函数与511.函数的四种特性容易证明：有界的充分必要条件是既有上界又有下界(1)函数的有界性:说明：(1)界不唯一,不要求找最小的界.(2)还可定义有上界、有下界和无界.(3)函数的有界性是局部概念.使称为有界函数.一般的一、函数41.函数的四种特性容易证明：有界的充分必要条件是既有上界又52(2)

单调性称为I

上的单调增函数;称为I

上的单调减函数;注意:(1)这里是严格单调.(2)单调性是局部概念.5(2)单调性称为I上的单调增函数;称为I上53(3)函数的奇偶性:设D关于原点对称，对于有则称f(x)为偶函数.有则称f(x)为奇函数.注意：(1)定义域关于原点对称,奇偶性是整体概念.(2)奇函数的图形关于原点对称,偶函数的图形关于y轴对称.(3)奇偶函数的定义域不一定是R.(4)若在x=0有定义,为奇函数时,则当必有6(3)函数的奇偶性:设D关于原点对称，对于有则称f(x)为54(4)周期性则称为周期函数

,若称

l

为周期.例如,

常量函数狄里克雷函数x

为有理数x为无理数说明：10周期函数的定义域是无限的点集.20周期函数不一定存在最小正周期.结论：设函数7(4)周期性则称为周期函数,若称l为周期.例如,552.反函数(1)定义(2)性质其反函数(减)(减).1)y=f(x)单调递增且也单调递增2)函数与其反函数的图形关于直线对称.(注意：对单值函数而言的)82.反函数(1)定义(2)性质其反函数(减)(减).1)563.复合函数则设有函数链称为由①,②确定的复合函数

,①②u

称为中间变量.注意:

构成复合函数的条件不可少.例如,

函数链:函数但函数链不能构成复合函数.可定义复合93.复合函数则设有函数链称为由①,②确定的复合函数57(1)基本初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数(2)初等函数:由常数及基本初等函数否则称为非初等函数

.例如,并可用一个式子表示的函数,经过有限次四则运算和复合步骤所构成,称为初等函数.可表为故为初等函数.均为初等函数.4.初等函数10(1)基本初等函数:幂函数、指数函数、对数函数、三角58非初等函数举例:(2)取整函数:注意：分段函数一般不是初等函数.(1)符号函数:-4-3-2-112341234-1-2-3-4oxy11非初等函数举例:(2)取整函数:注意：分段函数一般不是初59函数的分类:初等函数非初等函数(大部分分段函数,有无穷多项的函数)代数函数超越函数(解析式中含反，对，指，三的函数)有理函数无理函数(解析式中含有根式的函数)有理整函数(多项式函数)有理分式函数(分式函数)函数12函数的分类:初等函数非初等函数(大部分分段函数,有无穷多601.定义：(1)数列极限的精确性定义：使时，恒有使当时，恒有二、极限使当时，恒有(4)左极限,右极限：使当时，恒有使当时，恒有131.定义：(1)数列极限的精确性定义：使时，恒有使当时，61(5)极限定义的等价形式

14(5)极限定义的等价形式623.无穷小(1)无穷小的性质;～～～～～～～(2)常用等价无穷小:

当时2.函数极限的性质：惟一性；局部有界性；局部保号性153.无穷小(1)无穷小的性质;～～～～～～～(2)常63(3)无穷小的比较:设是同一过程中的两个无穷小，且

如果1记作：2

如果3特别地,若C=1时,记作：

如果416(3)无穷小的比较:设是同一过程中的两个无穷小，且644.两个重要极限:

5.求极限的法则:(1)极限的四则运算法则定理：如果则(1)(2)(3)其中(2)数列极限的单调有界准则，夹逼准则(3)复合函数的求极限法则（变量代换法）存在+存在=存在存在+不存在=不存在不存在+不存在=不一定存在174.两个重要极限:5.求极限的法则:(1)极限的65求极限的方法1.利用四则法则;2.恒等变形法;3.利用无穷小的性质;4.利用两个重要极限;5.利用函数的连续性;1.型:型:2.4.变量替换约去零因式3.：通分等价无穷小代换.分子分母有理化,6.利用极限存在的充要条件;6.求极限的基本方法:

抓大头7.利用夹逼准则.18求极限的方法1.利用四则法则;2.恒等变形法;3.利用8、罗必达法则9、泰勒展开式10、定积分的定义8、罗必达法则67例1.

求下列极限：解:

无穷小有界令20例1.求下列极限：解:无穷小有界令68则有复习:

若21则有复习:若69(4)

求解:原式=1(2000考研)22(4)求解:原式=1(2000考研)70几个常用极限与几个极限不存在的例子23几个常用极限与几个极限不存在的例子71(5)求解:24(5)求解:72则有复习:

若则有复习:

若25则有复习:若则有复习:若73解:经验：分段函数分界点处的极限一般应先求左右极限,其它点处的极限不需求左右极限.26解:经验：分段函数分界点处的极限一般应先求左右极限,其它数学二串讲1(函数与极限)课件75例2.

确定常数a,b,

使解:原式28例2.确定常数a,b,使解:原式76解:29解:77例4.

当时,是的几阶无穷小?解:

设其为的阶无穷小,则因为故30例4.当时,是的几阶无穷小?解:设其为的阶无穷小,78非零因子要及时分离出来31非零因子要及时分离出来793280(12数学二)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅰ)(Ⅱ)33(12数学二)(Ⅰ)(Ⅱ)(Ⅰ)(Ⅱ)81三、连续与间断(1)函数在点的某邻域内有定义，函数在点的某邻域内有定义,则1.函数在处连续的定义34三、连续与间断(1)函数在点的某邻域内有定义，函数在点822.函数的间断点:间断点的分类与判别:第一类间断点:可去型,跳跃型.第二类间断点:无穷型,振荡型.间断点352.函数的间断点:间断点的分类与判别:第一类间断点:可去831第一类间断点:2第二类间