数值分析常微分方程初值问题解法

第七章常微分方程初值问题的数值解一般概一、基本思想:将初值问题微分方程初值问题的数值解法的分类第七章常微分方程初值问题的数值解一般概一阶常微分方程初值问题yf(t,y),

t

y(t)t0ey(t)t0esin00

例如

1

ycost,

ty(0)y(t)y(t)y(0)第七章常微分方程初值问题的数值解一般概一阶常微分方程初值问题yf(t,y),

t

00y(t)00

解的存在定理设f(t

对t连续且关于y满 兹条件存在常数L

f

f

Ly1对所有t[t0,T

及任何实

y1,

均成立，则初问题在[a,b]有唯一解第七章常微分方程初值问题的数值解一般概一阶常微分方程初值问题yf(t,y),

t

00y(t)00

一、基本思想:将初值问题离散化.（离散变量法t0

tk

tn

hk

tk

---步求出y(t)在节点

处的近似

yk

y(tk),

通常

hk

初值问题的数tk

kh第七章常微分方程初值问题的数值解一般概一、基本思想:将初值问题离散化.（离散变量法t0

tk

tn

hk

tk

---步求出y(t)在节点

处的近似

yk

y(tk),

通常

hk

初值问题的数tk

kh初值问题离散化方法通常有三差商代替导数的方法，Taylor级数法，数值积分yfyf(t,y),t0ty(t)00数值微分方法(用差商代替导数t0

k

tn

h

t0y(tn)

f[tn

y(tny(tn1)y(tn)

y(t)f

,y(t

yny(tnhyn1

ynhf(tn

yn

yn1

n1

----Euler公yfyf(t,y),t0ty(t)00Taylor级数t0

k

tn

h

t0

n1)

y(tn)

hy(tn)

1h2y

y(tn1)

y(tn)

yn1yn1ynhf(tn,ynyfyf(t,y),t0ty(t)00t0

k

tn

h

t0

h)

y(t)

hy(t)

1h2y(t)

1h3y(t)1hpy(p)(t)y(ty(th)y(t)hf(t,y(t))1h2f(t,y(t))1h3f(t,1hpf(p1)(t,y(t))1(php1y(p1)(),tt

(p

hp1y(p1)(),t

tyfyf(t,y),t0ty(t)00t0

k

tn

h

t0

h)

y(t)

y(t))

1

f

y(t))

1h3

1hp

y(t))

hp1y(p1)(),t

t

(p(t,

y,h)

f

y(t))

1

y(t))

1

f

1hp1f

yy(th)y(t)hf(t,y(t))1h2f(t,y(t))1h3f(t,1hpf(p1)(t,y(t))1(php1y(p1)(),tt

h)

y(t)

y,h)

(p

hp1y(p1)((t(t,y,h)f(t,y(t))1hf(t,y(t))1h2f(t,1hp1f(p1)(t,y(t))(t,y,h)f(t,y(t))1hf(t,y(t))1h2f(t,1hp1f(p1)(t,y(t))

h)

y(t)

y,h)

(p

hp1y(p1)(n将t 代n

n1)

y(tn)

h(tn

),h)

(p

hp1y(p1)((t,y,h)f(t,y(t))1hf(t,y(t))1h2f(t,1hp1f(p1)(t,y(t))

n1)

y(tn)

h(tn

),h)

(p

hp1y(p1)(ny(tn1)n

y(tn)h(tn

yn1

ynh(tn

yn,Rn

(p

hp1y(p1)(n

O(hp1)

---局部截断误

n1)

y(tn)

h(tn

),h)

(p

hp1y(p1)(ny(tn1)n

y(tn)h(tn

yn1

ynh(tn

yn,Rn

(p

hp1y(p1)(n

O(hp1)

---局部截断误局部截断误差：

y(tn1)y(tn)h[tn,y(tn),整体截断误差n

y(tn)yfyf(t,y),t0ty(t)00(3)数值积分

(两边积分,利用数值积分公式t0

t2

k

tktn

h

t0

ydt

f

n1)

y(tn)

t

f

n用左矩形公式计算积分t

ynyn1

y(tny(tn1

f

(tn

y(tnyn1yn1ynhf(tn,yn----Euler公yfyf(t,y),t0ty(t)00(3)数值积分

(两边积分,利用数值积分公式

n1)

y(tn)

t

f

n用左矩形公式计算积分yn1yyn1ynhf(tn,yn

f

(tn

y(tnyn1ynyn1ynhf(tn1,fntn

yfyf(t,y),t0ty(t)00(3)数值积分

(两边积分,利用数值积分公式

n1)

y(tn)

t

f

ynyn1ynhf(tn,yn用左矩形公式计算积分

yn1yn1ynhf(tn1, fntn

y(t))dt

2[f(tn2h2

y(tn))

f

yn1

yn

[f(tn

yn)

f

---梯形公二、初值问题(7.1),(7.2)数值解法的一般形式F(tn

yn

ynk,

差分方三、常微分方程初值问题的数值解法的分类ynk

G(tn

yn

ynk1,h),

显式方ynk

Z(tn

yn

ynk,h),

yyyyh[f(t,y)fn2nn ,常微分方程初值问题的数值解法的分类单步法

时,只用到前一步的值

tn

yn,tn1多步法

(k大于

G(tn

yn,yn1时,用到前几步的值tnk

ynk

yn1,tn

yn,tn1ynk

G(tn

yn

ynk1,显式单步四、局部截断误差与整体截断误差的关五、单步法的七、Runge-Kutta显式单步一、单步法的一般形yn1

ynh(tn

(t,

y,h)与f有关,称为增量函数

---显式单步yn1

ynh(tn

yn

---隐式单步ynyn1ynhf(tn,ynyyh[f(t,y)fn2nn ,----Euler公 ---梯形公显式单步一、单步法的一般形yn1

ynh(tn

二、单步法的局部截断误

(仅第n+1步产生的误差定义:设y(t)是初值问题(7.1)(7.2)的解,则

y(tn1)y(tn)h[tn,y(tn),为单步法(7.6)在点三、整体截断误

处的局部截断误差ny(tn)显式单步一、单步法的一般形yn1

ynh(tn

二、单步法的局部截断误差(仅第n+1步产生的误差

y(tn1)y(tn)h[tn,y(tn),三、整体截断误

n

y(tn)四、局部截断误差与整体截断误差的关定理7.1设增量函数(t,

yh在区D

y,h)

tT,

,0h

内对y满足Lipschitz条件,若(7.6)的局部截断误

O(hp1)

O(hp显式单步一、单步法的一般形yn1

ynh(tn

二、单步法的局部截断误差Rn1y(tn1y(tnh[tn,y(tn三、整体截断误差ny(tn四、局部截断误差与整体截断误差的关定理7.1

O(hp1)

则

O(hp五、单步法的

O(hp1),则例:求Euler法的阶 一阶方

hf(tn,ynyfyf(t,y),t0ty(t)00六、Euler法(尤拉法复习Euler公式的推(1)数值微分方

(用差商代替导数t0

k

tn

h

t0y(tn)

f[tn

y(tn

)y(t

y(t h

y(tn)

f[tn

y(tn

yn1

y(tn1yn1

yn

(tn,yn

----Euler公tn

yfyf(t,y),t0ty(t)00六、Euler法(尤拉法复习Euler公式的推数值微分方数值积分方

(用差商代替导数(两边积分,利用数值积分公式

ydt

f

n1)

y(tn)

t

f

n7.2显式单步复习Euler公式的推(2)数值积分方法(两边积分,利用数值积分公式

n1)

y(tn)

t

f

n用左矩形公式计算积分

yn

y(tnyn1ynhf(tn,ynn f(t,yn1ynhf(tn,ynn

yn1

y(tn1用右矩形公式计算积

----显式Euler公yn1yyn1ynhf(tn1,yn1yfyf(t,y),t0ty(t)00六、Euler法(尤拉法复习Euler公式的推

(用差商代替导数(两边积分,利用数值积分公式(3)Taylor展

2 y(tn1)

y(tn)

(tn)2!hy(n),tn

ny(tn1)

y(tn)hy(tnynyn1ynhf(tn,ynyn1ynhf(tn,yntnt0nh,n----Euler公例1用Euler法求解下列初值

1

2ty1t

,0ty(0)取步长h=0.5,并与精确解作比较t(3t2y(t)

3(1t2七、Runge-Kutta法(龙格-库塔法 二级Runge-Kutta方yn1

yn

c2K2K1

f(tn

ynyyf(t,y),t0ty(t)00

f

a2h,

(龙格-库塔法1、Runge-Kutta法的基本思yf(t,y),

t

00y(t)00

等价于

n1)

y(tn)

t

f

n 用f(x,y)在几个不同点的数 平均代替f从而使截断误差的阶数尽可能高

yyn1ynh[c1K1c2K2K1f(tn,ynK2f(tna2h,ynb21hK12、N级R-K方法的一般形yn1

yn

h(tnN

(tn,yn,

ciki

k1f(tn,yn

kif(tnaih,

hbijkj),j

aibij,j

思考：一级R-K方法的形式是什七、Runge-Kutta法(龙格-库塔法)yn1

yn

c2K2K1

f(tn

ynK2

f

a2h,

11

c2

最高阶为多少

二2 a2c22

a2二级R-K方法的几种形式yn1

yn

c2k2

1

c2k

f

,y

a kfkf

a2h,

1,a

----改进的Euler

0,22

1,a2

----中点公yn1

ynkf(t,y 4 4

f434

h,

2hk133

,c2

,a2

---休恩方yn1yn

h(c1k1kf

,y

c

c k2

f

a2h,yn

f

a3h,yn

c3a2b32 最高阶为多少？三

325、四级R-K方yn1yn

kf1n (tkf1n

ynk2

ftnf

最高阶为多少？四经典R-K方法（四级四阶yn1y

yn

6

k4k1

f(tn

ynk2k

ff

1h, 21h,2

11hk1

f(tnh,

hk3y n y

yn

6

k4 f , k2

ff

1h, 21h,2

2hk111 1

f h,

hk3例3用经典的R-K法求解下列初值

1

2ty1t

,0ty(0)取步长h=0.5,并与精确解作比较N级R-K方法的最高阶

p(2)

p(4)p(5)p(9)

p(7)

p(8)八、相容性、收敛性和绝对稳y

f

y),

t

y(t)

单步

yn1

ynh(tn

1、相容

（描述差分方程与微分方程的近情况定义:

(t,

y(t),0)

f

则称单步法(7.6)与微分方程(7.1)相容Euler

yn1

yn

(tn

yn

(t,

y(t),h)

f

二级R-K方法

yn1

yn

c2k2

1

c2k

f(t,y

a kfkf

a2h,

a2hk1

八、相容性、收敛性和绝对稳yn1

yn

h(tn

1、相容

（描述差分方程与微分方程的近情况定义:

(t,

y(t),0)

f

则称单步法(7.6)与微分方程(7.1)相容Euler

yn1

yn

(tn

yn

(t,

y(t),h)

f

二级R-K方法

yn1

yn

c2k2

1

c2kf(t,y

1a kfkf

a2h,

a2hk1

(t,

c2f

f

八、相容性、收敛性和绝对稳y

f

y),

t

y(t)

单步

yn1

ynh(tn

1、相容

（描述差分方程与微分方程的近情况定义:

(t,

y(t),0)

f

则称单步法(7.6)与微分方程(7.1)相容定理7.2设增量函数

y,

在区D

y,h)

tT,

,0h

上连续,且对h满足Lipschitz条件,则单步法(7.6)与微分程(7.1)相容的充要条件是单步法(7.6)至少是一阶的方法(t,

y(t),0)

f

相容条定理7.2设增量函数

y,

在区D

y,h)

tT,

,0h

上连续,且对h满足Lipschitz条件,则单步法(7.6)与微分程(7.1)相容的充要条件是单步法(7.6)至少是一阶的方法(t,

y(t),0)

f

y(t))

O(h2证明

(t,

y(t),0)

f

则

O(h2反之

O(h2 (t,

y(t),0)

f

(t,

y(t),0)

f

相容条(t,

y(t),0)

f

y(t))

O(h2思考1、Euler法的相容性2、二级R-K法的相容性3、三级R-K法的相容性4、四级R-K法的相容性2、收敛定义:若对任意

y0及任意的t(t,T

,极0n 0n(h0)ntnt

y(t)则称单步法(7.6)是收敛的单步法(7.6)收敛的充单步法(7.6)在区间(t0,T)的任一点处的整体截断误n0(n相容与收敛的定理7.3设增量函数(ty

在区D

y,h)

tT,

,0h

上连续,且对y满足Lipschitz条件,则单步法(7.6)微分方程(7.1)相容的充要条件是单步法(7.6)是收敛的3、稳定

（描述初始值的误差对计算结果的影响0定义：如果存在正常数 及C使得对任意的初0yyn出发yyn

y0

,单步法的相应精确

yn

,对所的0hh0恒yy0yn Cyy0

~,

b则称单步法是稳定的也称为古典稳定性或渐进稳定定 设增量函数

y,

在区D

y,h)

tT,

,0h

对y满足Lipschitz条件,则单步法是稳定4、绝对稳定定义：对给定的微分方程和给定的步长h，如果由步法计算 时有大小为的误差，即计算y yny而引起其

ym(m

的变化小于 ，y y则称该单步法是绝对稳定的

y

为复定义:设步长h0的单步法(7.6)用于求解模型方程的值问题,且在计

yn时有误差

,如果在计算后面

ym由en所引起的误差 满

(m则称单步法(7.