2021-2022学年湖北省武汉市洪山区九年级（上）期中数学试卷

第22页（共22页）2021-2022学年湖北省武汉市洪山区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．1．（3分）下列图案中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）解方程x2﹣2x﹣3＝0，可用配方法将其变形为（）A．（x﹣1）2＝4 B．（x+1）2＝4 C．（x﹣1）2＝2 D．（x+1）2＝23．（3分）一元二次方程2x2﹣1＝4x化成一般形式后，常数项是﹣1，一次项系数是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣44．（3分）平面直角坐标系中，点（﹣9，2）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣9，2） B．（9，﹣2） C．（2，9） D．（﹣2，﹣9）5．（3分）某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则根据题意列方程为（）A．200（1+x）2＝1000 B．200+200（1+x）2＝1000 C．200（1+x）3＝1000 D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝10006．（3分）抛物线y＝（x+4）2﹣3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移4个单位，再向上平移3个单位 B．先向左平移4个单位，再向下平移3个单位 C．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移4个单位，再向上平移3个单位7．（3分）已知一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0，使方程无实数解的a的值可以是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．08．（3分）如果b＞0，c＞0，那么二次函数y＝ax2+bx+c的图象大致是（）A． B． C． D．9．（3分）如图，某圆弧形拱桥的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则该拱桥的半径为（）A．15米 B．13米 C．9米 D．6.5米10．（3分）已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则代数式﹣n3+2n2+2m2﹣5m﹣1的值是（）A．0 B．﹣1 C．1+2 D．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上．11．（3分）若x＝2是方程x2﹣mx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是．12．（3分）已知A，B是⊙O上两点，圆心角∠AOB＝80°，点P是⊙O上不同于A，B的点，则∠APB＝．13．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝6，将△ABC绕点C逆时针旋转15°得到△MNC，则阴影面积等于．14．（3分）已知y＝x2+mx+n与x轴交于点（1，0）、（﹣3，0），则分解因式x2+mx+n＝．15．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1．给出以下结论：①abc＞0；②2a+b+c≥ax2+bx+c；③若M（n2+1，y1），N（n2+2，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整数根，则对于a的每一个值，对应的p值有2个．其中正确的有．（写出所有正确结论的序号）16．（3分）如图，△AOB为等腰直角三角形，且∠AOB＝90°．点M，N均在△AOB外，满足：∠MAB＝∠NBA＝90°，且MA＝2，BN＝6．若∠MON＝45°，则线段MN的长为．三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程．17．（8分）解方程x2﹣3x+1＝0．18．（8分）如图A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是弧AB的中点，求证四边形OACB是菱形．19．（8分）如图，在一块长13m，宽7m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是55m2，则道路的宽应设计为多少m？20．（8分）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）（1）如图（1），AB，AC是所在圆的两条等弦，其中点分别为M，N，作出该圆的直径AD；（2）如图（2），AB为所在圆的直径，弦CD∥AB，作出该圆的圆心O；（3）如图（3），AB为⊙O的直径，C在AB的延长线上，且AB＝2BC．又点M在圆外，CM⊥AC，CM=3CB，作出点M关于直线AC的对称点M121．（8分）如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直相交于点E．取AD上一点H，连CH与AB相交于点F．（1）作AG⊥CH于G，求证：∠HAG＝∠BCE；（2）若H为AD的中点，且HD＝3，求HF的长．22．（10分）某医疗器械商店经营销售A，B两种型号的医疗器械，该店5月从厂家购进A，B型号器械各10台，共用去1100万元；6月购进5台A型、8台B型器械，共用去700万元．根据器械的特点和使用要求，A，B两种型号器械需搭配销售，且每月A的销售数量与B的销售数量须满足1：2的关系．据统计，该商店每月A型器械的销量nA（台）与售价x（万元）有如下关系：nA＝﹣x+100；B型器械的销量nB（台）与售价y（万元）有如下关系：nB＝﹣2y+150．（1）试求A，B两种器械每台的进货价格；（2）若该店今年7月销售A，B两种型号器械的利润恰好相同（利润不为0），试求本月A型器械的销售数量；（3）在A，B两种器械货源充足的情况下，试计算该店每月销售这两种器械能获得的最大利润．23．（10分）如图1，四边形ABCD为正方形，将△ACD绕点C顺时针旋转至△A1CD1的位置，旋转角为α．连接AA1，E为AA1的中点．（1）当α＝45°时，如图2，此时∠AA1C＝；（2）在（1）的条件下，再将△EAB绕点E旋转180°至△EA1M的位置．请你在图2中完成作图，并证明：EC＝EM；（3）将△ACD绕点C顺时针旋转至如图3所示的位置，试判断△EBD1的形状并证明．24．（12分）如图1，已知抛物线的解析式为y=-16x2-32，直线y＝kx﹣4k与x轴交于M，与抛物线相交于点A，B（1）当k＝1时，直接写出A，B，M三点的横坐标：xA＝，xB＝，xM＝；（2）作AP⊥x轴于P，BQ⊥x轴于Q，当k变化时，MP•MQ的值是否发生变化？若变化，求出其变化范围；若不变，求出其值；（3）如图2，点E在抛物线上，作EF⊥x轴于F，⊙E以EF为半径，且与y轴相交于定点G．①求定点G的坐标；②点G关于原点的对称点G1到直线y＝kx﹣4k距离的最大值是．（直接写出结果）

2021-2022学年湖北省武汉市洪山区九年级（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题中有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑．1．（3分）下列图案中，是中心对称图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：选项B、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以不是中心对称图形；选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后与原图重合，所以是中心对称图形；故选：A．2．（3分）解方程x2﹣2x﹣3＝0，可用配方法将其变形为（）A．（x﹣1）2＝4 B．（x+1）2＝4 C．（x﹣1）2＝2 D．（x+1）2＝2【解答】解：∵x2﹣2x﹣3＝0，∴x2﹣2x＝3，则x2﹣2x+1＝3+1，即（x﹣1）2＝4，故选：A．3．（3分）一元二次方程2x2﹣1＝4x化成一般形式后，常数项是﹣1，一次项系数是（）A．2 B．﹣2 C．4 D．﹣4【解答】解：2x2﹣1＝4x，移项得：2x2﹣4x﹣1＝0，即一次项系数是﹣4，故选：D．4．（3分）平面直角坐标系中，点（﹣9，2）关于原点对称的点的坐标是（）A．（﹣9，2） B．（9，﹣2） C．（2，9） D．（﹣2，﹣9）【解答】解：点（﹣9，2）关于原点对称的点坐标是（9，﹣2），故选：B．5．（3分）某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，如果平均每月增长率为x，则根据题意列方程为（）A．200（1+x）2＝1000 B．200+200（1+x）2＝1000 C．200（1+x）3＝1000 D．200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000【解答】解：二月份的营业额为200×（1+x），三月份的营业额在二月份营业额的基础上增加x，为200×（1+x）×（1+x），则列出的方程是200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000．故选：D．6．（3分）抛物线y＝（x+4）2﹣3可以由抛物线y＝x2平移得到，则下列平移过程正确的是（）A．先向左平移4个单位，再向上平移3个单位 B．先向左平移4个单位，再向下平移3个单位 C．先向右平移4个单位，再向下平移3个单位 D．先向右平移4个单位，再向上平移3个单位【解答】解：由“左加右减”的原则可知，抛物线y＝x2向左平移4个单位可得到抛物线y＝（x+4）2，由“上加下减”的原则可知，抛物线y＝（x+4）2向下平移3个单位可得到抛物线y＝（x+4）2﹣3，故选：B．7．（3分）已知一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0，使方程无实数解的a的值可以是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．0【解答】解：∵一元二次方程x2﹣2x﹣a＝0无实数解，∴Δ＝（﹣2）2﹣4（﹣a）＜0，∴a＜﹣1，故选：B．8．（3分）如果b＞0，c＞0，那么二次函数y＝ax2+bx+c的图象大致是（）A． B． C． D．【解答】解：A、根据图象可知，a＞0，又b＞0，∴-b2B、根据图象可知，a＜0，又b＞0，∴-b2C、∵c＞0，∴与y轴相交于正半轴，这与已知图象矛盾；D、根据图象可知，a＜0，又b＞0，所以-b2故选：D．9．（3分）如图，某圆弧形拱桥的跨度AB＝12米，拱高CD＝4米，则该拱桥的半径为（）A．15米 B．13米 C．9米 D．6.5米【解答】解：根据垂径定理的推论知，圆弧形拱桥的圆心在CD所在的直线上，设圆心是O，半径是r米，连接OA．根据垂径定理，得：AD=12AB＝在Rt△AOD中，根据勾股定理，得r2＝62+（r﹣4）2，解得：r＝6.5，即该拱桥的半径为6.5米，故选：D．10．（3分）已知m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，则代数式﹣n3+2n2+2m2﹣5m﹣1的值是（）A．0 B．﹣1 C．1+2 D．【解答】解：∵m，n是方程x2﹣2x﹣1＝0的两根，∴m2﹣2m﹣1＝0，n2﹣2n﹣1＝0，∴m2＝2m+1，n2＝2n+1，∴n3＝n（2n+1）＝2n2+n＝2（2n+1）+n＝5n+2，∴原式＝﹣（5n+2）+2（2n+1）+2（2m+1）﹣5m﹣1＝﹣5n﹣2+4n+2+4m+2﹣5m﹣1＝﹣（m+n）+1，根据根与系数的关系得m+n＝2，∴原式＝﹣2+1＝﹣1．故选：B．二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）将答案直接写在答题卡指定的位置上．11．（3分）若x＝2是方程x2﹣mx﹣2＝0的一个根，则方程的另一个根是﹣1．【解答】解：设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得，2t＝﹣2，解得t＝﹣1，所以方程的另一个根是﹣1．故答案为：﹣1．12．（3分）已知A，B是⊙O上两点，圆心角∠AOB＝80°，点P是⊙O上不同于A，B的点，则∠APB＝40°或140°．【解答】解：当P点在AB所对的优弧上，如图，∠P=12∠AOB=12当P′点在AB所对的劣弧上，如图，∠P′＝180°﹣∠P＝180°﹣40°＝140°，综上所述，∠APB的度数为40°或140°．故答案为40°或140°．13．（3分）如图，在Rt△ABC中，AB＝AC＝6，将△ABC绕点C逆时针旋转15°得到△MNC，则阴影面积等于63．【解答】解：∵在Rt△ABC中，AB＝AC＝6，∴∠ACB＝45°，∠A＝90°，∵将△ABC绕点C逆时针旋转15°得到△MNC，∴∠ACM＝15°，∠M＝∠A＝90°，CM＝AC＝6，∴∠MCB＝30°，∴DM=33CM＝2∴阴影面积=12×6×2故答案为：63．14．（3分）已知y＝x2+mx+n与x轴交于点（1，0）、（﹣3，0），则分解因式x2+mx+n＝（x﹣1）（x+3）．【解答】解：∵y＝x2+mx+n与x轴交于点（1，0）、（﹣3，0），∴抛物线解析式为y＝（x﹣1）（x+3），∴x2+mx+n＝（x﹣1）（x+3）．故答案为（x﹣1）（x+3）．15．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象过点A（3，0），对称轴为直线x＝1．给出以下结论：①abc＞0；②2a+b+c≥ax2+bx+c；③若M（n2+1，y1），N（n2+2，y2）为函数图象上的两点，则y1＞y2；④若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝p（p＞0）有整数根，则对于a的每一个值，对应的p值有2个．其中正确的有③④．（写出所有正确结论的序号）【解答】解：∵抛物线开口向下，∴a＜0；∵抛物线的对称轴为直线x=-b2a∴b＞0；∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴abc＜0，故①不正确；∵抛物线的对称轴为直线x=-b∴2a+b＝0，∴2a+b+c＝c，而c与ax2+bx+c大小不一定，故②不正确；∵M（n2+1，y1），N（n2+2，y2）在对称轴右侧，n2+1＜n2+2，∴y1＞y2，故③正确；∵抛物线的对称轴是直线x＝1，与x轴的一个交点是（3，0），∴抛物线与x轴的另个交点是（﹣1，0），把（3，0）代入y＝ax2+bx+c得，0＝9a+3b+c，∵抛物线的对称轴为直线x=-b∴b＝﹣2a，∴9a﹣6a+c＝0，解得，c＝﹣3a．∴y＝ax2﹣2ax﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a（a＜0），∴顶点坐标为（1，﹣4a），由图象得当0＜y≤﹣4a时，﹣1＜x＜3，其中x为整数时，x＝0，1，2，又∵x＝0与x＝2时，关于直线x＝1轴对称当x＝1时，直线y＝p恰好过抛物线顶点．所以p值可以有2个．故④正确；故答案为：③④．16．（3分）如图，△AOB为等腰直角三角形，且∠AOB＝90°．点M，N均在△AOB外，满足：∠MAB＝∠NBA＝90°，且MA＝2，BN＝6．若∠MON＝45°，则线段MN的长为210．【解答】解：过点O作OP⊥OM，交AB的延长线于点P，∵△AOB是等腰直角三角形，∴∠OAB＝∠OBA＝45°，∵∠MAP＝90°，∴∠OAM＝∠OBP＝135°，∵∠AOB＝∠MOP＝90°，∴∠AOM＝∠BOP，在△OAM和△OBP中，∠AOM∴△OAM≌△OBP（ASA），∴OM＝OP，AM＝BP＝2，∠AOM＝∠POB，∵∠MON＝45°，∴∠MON＝∠PON＝45°，在△MON和△PON中，OM=∴△MON≌△PON（SAS），∴MN＝PN=BN2三、解答题（共8小题，共72分）在答题卡指定的位置上写出必要的演算过程或证明过程．17．（8分）解方程x2﹣3x+1＝0．【解答】解：x2﹣3x+1＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝9﹣4＝5＞0，∴x1=3+52，x18．（8分）如图A、B是⊙O上的两点，∠AOB＝120°，C是弧AB的中点，求证四边形OACB是菱形．【解答】证明：连OC，如图，∵C是AB的中点，∠AOB＝l20°∴∠AOC＝∠BOC＝60°，又∵OA＝OC＝OB，∴△OAC和△OBC都是等边三角形，∴AC＝OA＝OB＝BC，∴四边形OACB是菱形．19．（8分）如图，在一块长13m，宽7m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路（两条道路分别与矩形的一条边平行），剩余部分栽种花草，若栽种花草的面积是55m2，则道路的宽应设计为多少m？【解答】解：设道路的宽应为x米，由题意得，（13﹣x）（7﹣x）＝55．解得x＝2或x＝18（舍去）．答：道路的宽应设计为2m．20．（8分）请用无刻度直尺完成下列作图，不写画法，保留画图痕迹（用虚线表示画图过程，实线表示画图结果）（1）如图（1），AB，AC是所在圆的两条等弦，其中点分别为M，N，作出该圆的直径AD；（2）如图（2），AB为所在圆的直径，弦CD∥AB，作出该圆的圆心O；（3）如图（3），AB为⊙O的直径，C在AB的延长线上，且AB＝2BC．又点M在圆外，CM⊥AC，CM=3CB，作出点M关于直线AC的对称点M1【解答】解：（1）如图（1），直径AD即为所求；（2）如图（2），圆心O即为所求；（3）如图（3），点M1即为所求．证明：∵CM⊥AC，CM=3CB∴∠BMC＝30°，∴BM＝2BC，∵AB＝2BC，∴AB＝BM，∴∠BAM＝∠BMA＝30°，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB＝90°，∴DB＝BC，∴DM＝MC，∴MM1＝2DM＝2MC．∴点M关于直线AC的对称点是点M1．21．（8分）如图，⊙O的直径AB与弦CD垂直相交于点E．取AD上一点H，连CH与AB相交于点F．（1）作AG⊥CH于G，求证：∠HAG＝∠BCE；（2）若H为AD的中点，且HD＝3，求HF的长．【解答】（1）证明：如图1中，∵AB⊥CD，∴∠CEB＝90°，∵AG⊥CH，∴∠AGH＝90°，∵∠GAH+∠AHG＝90°，∠BCE+∠CBE＝90°，∠ABE＝∠AHG，∴∠HAG＝∠BCE．（2）解：如图2中，连接AC，AD，DF．∵AB⊥CD，∴CE＝DE，∴AC＝AD，FC＝FD，∴∠FCD＝∠FDC，∠ACD＝∠ADC，∴∠ACF＝∠ADF，∵AH=∴∠ADF＝∠DCH＝∠ADH，∴∠ACF＝∠DCF＝∠FDC＝∠ADF，∵∠HFD＝∠FCD+∠FDC＝2∠FCD，∠HDF＝2∠FCD，∴∠HDF＝∠HFD，∴FH＝DH＝3．22．（10分）某医疗器械商店经营销售A，B两种型号的医疗器械，该店5月从厂家购进A，B型号器械各10台，共用去1100万元；6月购进5台A型、8台B型器械，共用去700万元．根据器械的特点和使用要求，A，B两种型号器械需搭配销售，且每月A的销售数量与B的销售数量须满足1：2的关系．据统计，该商店每月A型器械的销量nA（台）与售价x（万元）有如下关系：nA＝﹣x+100；B型器械的销量nB（台）与售价y（万元）有如下关系：nB＝﹣2y+150．（1）试求A，B两种器械每台的进货价格；（2）若该店今年7月销售A，B两种型号器械的利润恰好相同（利润不为0），试求本月A型器械的销售数量；（3）在A，B两种器械货源充足的情况下，试计算该店每月销售这两种器械能获得的最大利润．【解答】解：（1）设A，B两种型号器械每台进价分别为a、b万元，由题意，得10a解得；a=60∴A种型号器械每台进价60万元，B种型号器械每台进价50万元；（2）由题知，nA：nB＝1：2，即-x整理得：x﹣y＝25①，7月份A型号器械利润为：wA＝nA•（x﹣60），7月份B型号器械利润为：wB＝nB•（y﹣50），∵wA＝wB，∴2（y﹣50）＝x﹣60②，联立①②得：x-解得：x=90nA＝﹣x+100＝﹣90+100＝10，∴7月份A型器械的销售数量为10台；（3）总利润w＝wA+wB＝（x﹣60）nA+（y﹣50）nB＝（﹣x+100）[x﹣60+2（y﹣50）]＝（﹣x+100）（3x﹣210）＝﹣3x2+510x﹣21000＝﹣3（x﹣85）2+675，∵﹣3＜0，∴当x＝85时，w有最大值，最大值为675，∴该店每月销售这两种器械能获得的最大利润为675万元．23．（10分）如图1，四边形ABCD为正方形，将△ACD绕点C顺时针旋转至△A1CD1的位置，旋转角为α．连接AA1，E为AA1的中点．（1）当α＝45°时，如图2，此时∠AA1C＝67.5°；（2）在（1）的条件下，再将△EAB绕点E旋转180°至△EA1M的位置．请你在图2中完成作图，并证明：EC＝EM；（3）将△ACD绕点C顺时针旋转至如图3所示的位置，试判断△EBD1的形状并证明．【解答】解：（1）∵AC＝A1C，∠ACA1＝45°，∴∠AA1C＝（180°﹣45°）÷2＝67.5°，故答案为：67.5°；（2）如图，∵将△EAB绕点E旋转180°至△EA1M的位置，∴∠BAA1＝∠AA1M，∴AB∥A1M，∵∠A1AC＝∠BAC＝45°，∴A1C∥AB，∴A1、M、C在同一直线上，∵BE＝EM，∵∠BCA1＝90°，∴CE＝BE＝EM；（3）△BED1为等腰直角三角形，理由如下：延长BE至F，使EF＝BE，连接A1F，D1F，∵AE＝A1E，∠AEB＝∠A1EF，BE＝EF，∴△AEB≌△A1EF（SAS），∴AB＝A1F＝BC，∠BAE＝∠EA1F，∵∠BAE+∠EA1D1+∠A1D1C+∠BCD1+∠ABC＝540°，∠ABC＝A1D1C＝90°，∴∠BAE+∠EA1D1+∠BCD1＝360°，∵∠EA1F+∠EA1D1+∠FA1D1＝360°，∴∠FA1D1＝