高中数学不等式练习题(附答案)

2222xyz2222xyz高中数学等式练习题一．选题（共16小题）1．若ab0且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．a+＜＜log（a+b

B．＜log（a+b）＜+．a+＜log（a+b）＜

Dlog（a+ba+＜2．设x、y、为正数，且=3=5，则（）A．2x＜3y＜5z．5z＜2x＜3yC．3y＜5z＜D3y＜2x＜5z3．若x，y满足，则x+的最大值为（）A．1B．．5D．4．设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（A．﹣15B．﹣．1D．5．已知x，y满足约束条件，则z=x2y的最大值是（A．0B．．5D．6．设x，y满足约束条件，则z=xy的最大值为（）A．0B．．2D．

））7．设x，y满足约束条件

则z=x﹣y的取值范围是（

）A．[﹣30

B．[﹣2]

．[0，2D[0，3第1页（共24页）abccabxy222abccabxy2228．已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣的最小值为（）A．﹣3B．．

D39x满足约束条件目标函数﹣+y的最大值）A．1B．﹣．﹣D﹣310．若a，，且ab＞0，则+的最小值是（）A．1B．

．2D211．已知＜＜1a＞1，下列不等式成立的是（）A．c＞c

B．＜b

．

Dlogc＞logc．已知＞0，＞0，+lg8=lg2则A．2B．．4D2．设a＞0b＞，且a+b=3，则

的最小值是（）的最小值是（）A．6B．

．

D14．已知x，∈，x+y+xy=315，则+y﹣xy的最小值是（）A．35B．C．D21015．设正实数，y满足＞，y＞不等式最大值为（）A．2．4．8D1616．已知两正数x，y满足xy=1，则z=

+≥m恒成立，则m的的最小值为（）A．

B．

．

D二．解题（共10小题）17．已知不等式|2x﹣|＜x与不等式x﹣mx+0的解集相同．第2页（共24页）222222222232222222222232（Ⅰ）求m﹣n；（Ⅱ）若a、b、c∈（0，abbc+ac=m﹣求a+b+的最小值．18．已知不等式x

﹣2x﹣3＜的解集为A，不等式x

+x﹣6＜0的解集为B．求A∩；若不等式x+ax+b0的解集为A∩，求不等式ax+x+0的解集．19．解不等式：≥220．已知不等式ax

+x+＞0的解集为{x1＜x＜3．求a，c的值；若不等式+2x+4c＞0的解集为，不等式3ax+＜0的解集为B，且AB，求实数的取值范围．21已知实数x，均为正数，求证：（2）解关于x的不等式﹣2axa﹣10（∈R

；22．已知，bc是全不相等的正实数，求证：

＞3．23．设a、为正实数，且+=2

．（1）求a

2

+b

的最小值；（2）若（ab）4（ab，求ab的值．24．已知x，∈（0+∞+y=x+y．（1）求

的最小值；（2）是否存在x，y，满足（x+1+1）=5？并说明理由．25．某车间计划生产甲、乙两种产品，甲种产品每吨消耗原料6吨、原料4吨、原料4吨，乙种产品每吨消耗原料3吨B原料12吨C原料6吨．已知每天原料的使用限额为A原料240吨、原料400吨、原料240吨．生产甲种产品每吨可获利元，生产乙种产品每吨可获利元，分别用x，y表示每天生产甲、乙两种产品的吨数（Ⅰ）用x，列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ每天分别生甲乙两种产品各多少吨才能使得利润最大？并求出此最大利润．第3页（共24页）26．某家公司每月生产两种布A和B，所有原料是三种不同颜色的羊毛．下表给出了生产每匹每种布料所需的羊毛量及可供使用的每种颜色的羊毛的总量．羊毛颜色

每匹需要/kg布料A布料B

供应量/kg红绿黄

2

326

105012001800已知生产每匹布料A、的利润分别为60元40元．分别用x、表示每月生产布料A、B的匹数．（Ⅰ）用x、列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（Ⅱ）如何安排生产才能使得利润最大？并求出最大的利润．第4页（共24页）222222xyzxyzx222222xyzxyzxyz高中数学等式练习题参考答案与试题解析一．选题（共16小题）1•山东）若＞b0且ab=1，则下列不等式成立的是（）A．a+＜＜log（a+b

B．＜log（a+b）＜+．a+＜log（a+b）＜

Dlog（a+ba+＜【分析】a＞b＞且ab=1，可取，b=．代入计算即可得出大小关系．【解答】解：∵a＞b＞0，且ab=1，∴可取a=2，．则

=4

==，log（a+b）=

∈（1，2∴

＜log（a+b）＜+．故选：B．【点评本题考查了函数的单调性不等式的解法与性质考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2•新课标Ⅰ）设、、z为正数，且2=3=5，则（）A．2x＜3y＜5z．5z＜2x＜3yC．3y＜5z＜D3y＜2x＜5z【分析为正数2=3=5=k＞＞0得x=

得3y=

根据

==

，

＞．即可得出大小关系．=另解为正数=3=5=k＞＞0得x=

．第5页（共24页）xyzxyzxyzxyz==

＞1可得2x＞3y，同理可得＞2x．【解答】解：x、、为正数，令2

=3

=5

=k＞．lgk＞0．则x=

，y=

，z=

．∴3y=

，2x=

，5z=

．∵

=

=

，

＞

=

．∴

＞lg

＞

＞0．∴3y＜2x＜5z．另解：x、、z为正数，令2

=3

=5

=k＞．lgk＞0．则x=

，y=

，z=

．∴

=

=

＞1，可得2x3y，=

=

＞1可得5z＞2x．综上可得：5z＞＞．故选：D【点评本题考查了对数函数的单调性、换底公式、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．3北京）若x，y满足，则x+2y的最大值为（）A．1B．．5D．【分析画出约束条件的可行域利用目标函数的最优解求解目标函数的最值即可．第6页（共24页）【解答】解：x，满足

的可行域如图：由可行域可知目标函数z=x2y经过可行域的A时，取得最大值，由A（33目标函数的最大值为：32×3=9．故选：D

，可得【点评本题考查线性规划的简单应用画出可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．4新课标Ⅱ）xy满足约束条件

，则z=2x+的最小值是（）A．﹣15B．﹣．1D．【分析画出约束条件的可行域利用目标函数的最优解求解目标函数的最小值即可．【解答】解：x、满足约束条件

的可行域如图：z=2xy经过可行域的A时，目标函数取得最小值，由

解得A（﹣6，﹣3第7页（共24页）则z=2xy的最小值是：﹣15．故选：A．【点评】本题考查线性规划的简单应用，考查数形结合以及计算能力．5山东x满足约束条件z=x+2y最大值A．0B．．5D．【分析】画出约束条件表示的平面区域，根据图形找出最优解是

）由

解得的点A的坐标，代入目标函数求出最大值．【解答】解：画出约束条件

表示的平面区域，如图所示；由

解得A﹣3，4此时直线y=﹣x+z在y轴上的截距最大，第8页（共24页）maxmax所以目标函数z=x2y的最大值为z=﹣+2×4=5．故选：．【点评】本题考查了线性规划的应用问题，是中档题．6新课标Ⅰx足约束条件

z=x+y的最大值）A．0B．．2D．【分析画出约束条件的可行域利用目标函数的最优解求解目标函数的最大值即可．【解答】解：x，满足约束条件

的可行域如图：，则z=xy经过可行域的A时，目标函数取得最大值，由

解得A（0所以z=xy的最大值为：3故选：D【点评本题考查线性规划的简单应用考查约束条件的可行域判断目标函数的最优解是解题的关键．7新课标Ⅲxy满足约束条件（）第9页（共24页）

则z=xy的取值范围是A．[﹣30

B．[﹣2]

．[0，2D[0，3【分析画出约束条件的可行域利用目标函数的最优解求解目标函数的范围即可．【解答】解：x，满足约束条件

的可行域如图：目标函数z=xy，经过可行域的A，B时，目标函数取得最值，由由

解得A（0，3解得B（2，0目标函数的最大值为：2，最小值为：﹣目标函数的取值范围：[﹣3，]．故选：B．【点评本题考查线性规划的简单应用目标函数的最优解以及可行域的作法是解题的关键．8大石桥市校级学业考试）已知变量x，y满足约束条件，则z=xy的最小值为（）A．﹣3B．．

D3【分析由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．第10页（共24页）【解答】解：由约束条件

作出可行域如图，A（03化目标函数z=xy为y=x﹣由图可知，当直线y=x﹣z过点A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为﹣故选：A．【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．9天津学业考试）若变量x，y满足约束条件

，则目标函数﹣2x+y的最大值为（）A．1B．﹣．﹣D﹣3【分析由约束条件作出可行域化目标函数为直线方程的斜截式数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件

作出可行域如图，第11页（共24页）abccabxcxxabccabccabxcxxabcc联立，解得A（1，1化目标函数z=2x+y为y=2x+由图可知，当直线y=2x+过A时，直线在y轴上的截距最大，为﹣1．故选：B．【点评题考查简单的线性划查了数形结合的解题思想方法中档题．10明山区校级学业考试Rab＞+的最小值）A．1B．

．2D2【分析根据题意，首先ab＞可得＞0且＞0，进而由基本不等式可得+≥2

，计算可得答案．【解答】解：根据题意，若a，b∈，且ab＞，则＞0且＞0，+≥2=2即+的最小值是2故选：．【点评】本题考查基本不等式的性质，注意首先要满足基本不等式的使用条件．11•资阳模拟）已0c＜1a＞b＞，下列不等式成立的是（）A．c＞c

B．＜b

．

Dlogc＞logc【分析】根据题意，依次分选项：对于A、构造函数，由指数函数的性质分析可得A错误，对于、构造函数y=x，由幂函数的性质分析可得错误，对于、由作差法比较可得C错误，对于由作差法利用对数函数的运算性质分析可得D正确，即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于、构造函数y=c，由于c＜则函数y=c是减函数，又由a＞1则有c＞c，故A错误；对于B、构造函数，由于0＜c＜则函数y=x第12页（共24页）

是增函数，又由＞b1ccabababxyxyxyx3yccabababxyxyxyx3y则有a＞b，故B错误；对于、﹣

==

又由0＜c＜1a＞1（a﹣c）＞c）＞0a）＜0，进而有故C错误；

﹣＜0故有＜，对于logc﹣logc=

﹣

（由＜＜1ab1则有lgc＜＞lgb0则有logc﹣logc=

﹣

（）＞0即有logc＞logc，故正确；故选：D【点评】本题考查不等式比较大小，关键是掌握不等式的性质并灵活运用．12全国模拟知x＞00+lg8=lg2

的最小值）A．2B．．4D2【分析】利用对数的运算法则和基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵lg2+lg8=lg2，∴（2•8）=lg2，∴2+=2，∴+3y=1．∵x＞0，y0，∴

==2

=4当且仅当x=3y=时取等号．故选．【点评】熟练掌握对数的运算法则和基本不等式的性质是解题的关键．13锦州一模设a＞b2且a+则

的最小值（）A．6B．【分析】

．（

D+b﹣2）1+，根据基本不等式即可求出【解答】解：∵a＞0，b＞，且a+b=3，∴a+b﹣2=1∴

21+≥3+2

当且仅当a=

（b第13页（共24页）22222222222222222222222﹣2）时取等号，即+

，a=2

时取等号，则

的最小值是3+2

，故选：D【点评】本题考查了基本不等式的应用，掌握一正二定三相等，属于中档题14•乌鲁木齐模拟）已知x，∈R，+y+xy=315，则+y﹣的最小值是（）A．35B．C．D210【分析】x，∈R，x+y+xy=315，可得x+y=315﹣≥2xy，因此xy≤105．即可得出．【解答】解：∵x，∈，x+y+xy=315，∴x

+y

=315﹣xy，xy≥当且仅当x=y=±

时取等号．∴xy≤．∴x+y﹣xy=315﹣≥315﹣210=105．故选：B．【点评本题考查了重要不等式的性质考查了推理能力与计算能力属于中档题．15•和平区校级二模正实数x满足x＞＞1不等式≥m恒成立，则m的最大值为（）

+A．2．4．8

D16【分析不等式

+

≥m恒成立，转化为求+

的最小值，可得m的最大值将分母转化为整数设y﹣1=b则y=b+令2y﹣1=ay=（a+1利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：设y﹣，则y=b+，令2y﹣1=a，y=（a+1＞0b＞那

么：+

=

=第14页（共24页）（当且仅当a=b=1即x=2，y=1时取等号．∴+

的最小值为8，则m的最大值为8．故选：．【点评本题考查了基本不等式的性质的运用解决恒成立的问题利用了换元法转化求解，多次使用基本不等式式解决问题的关键，属于中档题．16春温区校级月考已知两正数x满足x+y=1则z=的最小值为（）A．

B．

．

D【分析根据x+y=1可以得到

令t=xy出，而根据【解答】解：z===

的单调性即可求出ft的最小值，进而求出的最小值．=

；令t=xy，则由

在

；上单调递减，故当t=时

有最小值，即：

时z有最小值

．故选B．【点评的的数的单调性．第15页（共24页）2222222222222222二．解题（共10小题）17郑州二模）已知不等式2x﹣3＜x与不等式

﹣+n0的解集相同．（Ⅰ）求m﹣n；（Ⅱ）若a、b、c∈（0，abbc+ac=m﹣求a+b+的最小值．【分析）讨论﹣3≥0或2x3＜0，求出不等式2x﹣3＜x的解集，得出不等式x

﹣mx+n＜的解集，利用根与系数的关系求出m、n的值；（Ⅱ）根据a、b、c∈（0，1abbc+ac=1，求出（+bc）最小值，即可得出a+b+的最小值．【解答】解）当2x﹣3≥0即x≥时，不等式|2x﹣3＜x可化为2x﹣3＜x，解得x＜∴≤x＜3；当2x﹣3＜0，即x＜时，不等式|2x﹣3|＜x可化为3﹣2x＜x，解得x＞∴1＜＜；综上，不等式的解集为{x|1＜x＜3}；∴不等式x﹣mx+n＜的解集为{x|1＜x＜3}，∴方程x﹣mx+n=0的两实数根为1和3，∴，∴m﹣n=4﹣3=1；（Ⅱ）a、b、c∈（0，ab++ac=m﹣，∴（a+bc）+b+c+ab++ca）≥（2ab+2bc+2ac）+2（+bc+ac）=3ab++ca）∴a+bc的最小值是．【点评本题考查了解不等式以及根与系数的关系应用问题也考查了基本不等式的应用问题，是综合题．第16页（共24页）2222222222222222222218春•巢湖市校级期中）已知不等式x﹣2x﹣3＜0的解集为，不等式x+x﹣0的解集为B．求A∩；若不等式x+ax+b0的解集为A∩，求不等式ax+x+0的解集．【分析由一元二次不等式的解法分别求出集合，B，再利用集合的交集即可求出；（2）由一元二次方程的实数根与不等式的解集的关系及判别式与解集的关系即可求出．【解答】解由不等式﹣2x﹣3＜0，解得﹣＜x＜3∴A=（﹣3由不等式x+x﹣0解得﹣3x＜∴B=（﹣3，2∴A∩B=（﹣1，2（2）由不等式x

+ax+b0的解集为A∩B=（﹣12∴

解得∴不等式﹣x+x﹣0可化为x﹣x+2＞0∵eq\o\ac(△,=1)eq\o\ac(△,)﹣4×2=﹣＜0，∴x

﹣x+0的解集为R．【点评】熟练掌握一元二次不等式的解法是解题的关键．19春•齐河县校级期中）解不等式：≥2【分析把不等式的右边移项到左边通分后把分子分母都分解因式得到的式子小于等于0，然后根据题意画出图形，在数轴上即可得到原不等式的解集．【解答】解：不等式移项得：

﹣20，变形得：≤0，即2（x﹣﹣6﹣3﹣5≤0且x≠3，x≠5，根据题意画出图形，如图所示：第17页（共24页）22222222222222根据图形得：≤x＜3或5＜x≤6，则原不等式的解集为[，3）∪（5，6]．【点评此题考查了一元二次不等式的解法考查了转化的思想及数形结合的思想．此类题先把分子分母分解因式，然后借助数轴达到求解集的目的．20春•涞水县校级期中）已知不等式+x+＞的解集为{|1＜＜}（1）求ac的值；（2）若不等式ax+2x+＞0的解集为，不等式3ax+cm＜的解集为B，且AB，求实数的取值范围．【分析由一元二次不等式和对应方程的关系利用根与系数的关系即可求出a、c的值；（2）由（1）中a、的值求解不等式ax+2x+4c＞0再根据真子集的定义求出m的取值范围．【解答】解∵不等式+x+c＞0的解集为{x|1＜x＜3}，∴1、3是方程ax+x+c=0的两根，且a0，（1分）所以；…（3分）解得a=﹣，c=﹣；…（5分）（2）由（1）得a=，c=﹣，所以不等式ax+2x+4c＞0化为﹣x+2x﹣30，解得2＜x＜6，∴A={x|2＜x＜6}，又3ax+＜0即为x+m＞0解得x＞﹣，第18页（共24页）22122212∴B={|＞﹣m}，…8分）∵A⊂，∴{x|x＜⊂{x|x﹣m}，∴﹣m≤2即m≥﹣2，∴m的取值范围是[2+∞（10分）【点评本题考查了一元二次不等式和对应方程的应用问题也考查了真子集的定义与应用问题，是中档题目．212017雨城区校级期中）1）已知实数；

xy均为正数，求证：（2）解关于x的不等式﹣2axa﹣10（∈R【分析化简不等式的左边，利用基本不等式求得最小值即可；（2）原不等式可化[x﹣a+1）•[x﹣（﹣1]＜0，求出不等式对应方程的根，再写出不等式的解集．【解答】解）证明：又因为x＞＞0，所以由基本不等式得，当且仅当时，取等号，

=，，…（4分）

，…（2分）即2y=3x时取等号，所以；…（5分）（2）原不等式可化为x﹣（+1]•[x﹣（a﹣1]＜0…（7分）令[x﹣（+1]•[x﹣（a﹣1）]=0，得x=a+1，=a﹣1，又因为a+1a﹣1…（分）所以原不等式的解集为（a﹣1，a+1（10分）【点评题考查了基本不等与一元二次不等式的解法和应用问题中档题．第19页（共24页）222322232222322232222017模已知ab，是等的实数求：＞3【分析】根据，b，c全不相等，推断出后利用基本不等式求得，，＞3原式得证．【解答】解：∵a，b，c全不相等，

全不相等，然，三式相加整理求得∴∴＞2，＞2三式相加得，∴即

全不相等＞2＞6＞3＞3【点评本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用使用基本不等式时一定要把握好“一定，二正，三相等的原则．23•泉州模拟）设、b为正实数，且+=2（1）求a+b的最小值；（2）若（ab）4（ab，求ab的值．

．【分析根据基本不等式得出

（a=b时等号成立利用a+b≥2ab=

（a=b时等号成立）求解即可．．（2）根据+=2，∴a代入得出（a+b）4ab≥4ab即（2求解即可得出ab=1【解答】解∵a、b为正实数，且+=2第20页（共24页）

）﹣≥ab）．

3222223222222222222223222222222∴a、b为正实数，且+=2即ab（a=b时等号成立）

≥2

（a=b时等号成立∵a+b≥2ab=

（a=b时等号成立∴a+b的最小值为1，（2）∵且+=2

．∴a∵（a﹣b）4ab），∴（a+b）4ab≥4（）

3即（2

）﹣≥ab）

3即（ab）2ab+1≤1）≤∵a、b为正实数，∴ab=1【点评本题考查了基本不等式考查了运用基本不等式求函数的最值运用基本不等式求函数最值时，要保证：“正、二定、三相等”此题是基础题24•唐山一模）已x，∈（0，+∞+y=x+y．（1）求

的最小值；（2）是否存在x，y，满足（x+1+1）=5？并说明理由．【分析）根据基本不等式的性质求出

的最小值即可）根据基本不等式的性质得到（x+1+1的最大值是4从而判断出结论即可．【解答】解当且仅当x=y=1时，等号成立．

，所以

的最小值为2．（2）不存在．因为x+y≥2xy，所以（x+）≤x+y）=2x+第21页（共24页）22∴（x+）﹣+y）≤，又x，∈（0+∞所以x+y≤从而有（x++1≤≤

=4因此不存在x，，满足（+1+1）=5．【点评本题考查了基本不等式的性质注意应用性质的条件本题是一道中档题．25天津一模）某车间计划生产甲、乙两种产品，甲种产品每吨消耗A原料6吨B原料4吨、原料4吨，乙种产品每吨消A原料3吨、原料12吨、C原料吨．已知每天原料的使用限额为原料240吨、B原料吨、C原料吨．生产甲种产品每吨可获利900元，生产乙种产品每吨可获利600元，分别用x，表示每天生产甲、乙两种产品的吨数（Ⅰ）用x，列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；（