八年级上册期中数学试卷含答案解析一

2021-2021学年江阴市青阳片八年级〔上〕期中数学试卷一、选择题〔本大题共8小题，每题3分，共24分．〕1．以下标志中，可以看作是轴对称图形的是()A． B． C． D．2．在以下各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF的是()A．AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F B．AC=DF，BC=EF，∠A=∠DC．AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E D．AB=DE，BC=EF，AC=DF3．以下四组线段中，可以构成直角三角形的是()A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，34．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E，假设AB=6cm，那么△DEB的周长是()A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm5．如图，如果把△ABC的顶点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A′点，连接A′B，那么线段A′B与线段AC的关系是()A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直6．如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，那么以下结论：①PM=PN；②△PMN为等边三角形；下面判断正确是()A．①正确 B．②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确7．一等腰三角形底边长为8cm，腰长为5cm，那么腰上的高为()A．3cm B．cm C．cm D．cm8．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DF⊥AC交AC的延长线于F，连接CD，给出四个结论：①∠ADC=45°；②BD=AE；③AC+CE=AB；④AB﹣BC=2FC；其中正确的结论有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个二、填空题〔本大题共11小题，每空2分，共22分．〕9．如图，在△ABC与△ADC中，AD=AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是__________．10．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，那么∠A的度数是__________．11．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．假设AD=6，DE=5，那么CD的长等于__________．12．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=3cm，BC=4cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，那么CD=__________．13．等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm，那么这个三角形的周长为__________cm．14．一个等腰三角形的一个角为80°，那么它的顶角的度数是__________．15．直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，那么它的面积是__________cm2．16．△ABC中，点O是△ABC内一点且到△ABC三边的距离相等，∠A=40°，那么∠BOC=__________．17．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，PN+PM+MN的最小值是5cm，那么∠AOB的度数是__________．18．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，那么该等腰三角形的底角的度数为__________．19．如图，在△ABC中AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，那么边BC的长为__________．三、简答题：〔本大题共7小题，共54分〕20．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．〔1〕在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；〔2〕在直线l上找一点P〔在答题纸上图中标出〕，使PB+PC的长最短，这个最短长度的平方值是__________．21．如图，△ABC，AC＜AB．〔1〕用直尺和圆规作出一条过点A的直线l，使得点C关于直线l的对称点落在边AB上〔不写作法，保存作图痕迹〕；〔2〕设直线l与边BC的交点为D，且∠C=2∠B，请你通过观察或测量，猜测线段AB、AC、CD之间的数量关系，并说明理由．22．如图，E，F在BC上，BE=CF，AB=CD，AB∥CD．求证：〔1〕△ABF≌△DCE．〔2〕AF∥DE．23．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，AD=8米，CD=6米，∠ADC=90°，AB=26米，BC=24米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？24．如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．〔1〕折叠后，DC的对应线段是__________，CF的对应线段是__________；〔2〕假设AB=8，DE=10，求CF的长度．25．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法〞给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法〞来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，那么DF=EC=b﹣a∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab．又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a〔b﹣a〕∴b2+ab=c2+a〔b﹣a〕∴a2+b2=c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2．26．如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，假设动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．〔1〕出发2秒后，求△ABP的周长．〔2〕问t为何值时，△BCP为等腰三角形？〔3〕另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，假设P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两局部？

2021-2021学年江苏省无锡市江阴市青阳片八年级〔上〕期中数学试卷一、选择题〔本大题共8小题，每题3分，共24分．〕1．以下标志中，可以看作是轴对称图形的是()A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，符合题意．应选：D．【点评】此题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，解答时要注意：判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部沿对称轴叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图重合．2．在以下各组条件中，不能说明△ABC≌△DEF的是()A．AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F B．AC=DF，BC=EF，∠A=∠DC．AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E D．AB=DE，BC=EF，AC=DF【考点】全等三角形的判定．【分析】根据题目所给的条件结合判定三角形全等的判定定理分别进行分析即可．【解答】解：A、AB=DE，∠B=∠E，∠C=∠F，可以利用AAS定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；B、AC=DF，BC=EF，∠A=∠D不能证明△ABC≌△DEF，故此选项符合题意；C、AB=DE，∠A=∠D，∠B=∠E，可以利用ASA定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；D、AB=DE，BC=EF，AC=DF可以利用SSS定理证明△ABC≌△DEF，故此选项不合题意；应选：B．【点评】此题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，假设有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．3．以下四组线段中，可以构成直角三角形的是()A．4，5，6 B．1.5，2，2.5 C．2，3，4 D．1，，3【考点】勾股定理的逆定理．【专题】计算题．【分析】由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【解答】解：A、42+52=41≠62，不可以构成直角三角形，故A选项错误；B、1.52+22=6.25=2.52，可以构成直角三角形，故B选项正确；C、22+32=13≠42，不可以构成直角三角形，故C选项错误；D、12+〔〕2=3≠32，不可以构成直角三角形，故D选项错误．应选：B．【点评】此题考查勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2=c2，那么这个三角形就是直角三角形．4．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB于点E，假设AB=6cm，那么△DEB的周长是()A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm【考点】角平分线的性质；等腰直角三角形．【分析】根据角平分线的性质得到DC=DE，AC=AE，根据三角形的周长公式计算即可．【解答】解：∵AD是∠CAB的角平分线，DE⊥AB，∠C=90°，∴DC=DE，AC=AE，∴△DEB的周长=DE+BE+BD=BE+DC+BD=BE+BC=BE+AE=AB=6cm．应选：B．【点评】此题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．5．如图，如果把△ABC的顶点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A′点，连接A′B，那么线段A′B与线段AC的关系是()A．垂直 B．相等 C．平分 D．平分且垂直【考点】平移的性质；勾股定理．【专题】网格型．【分析】先根据题意画出图形，再利用勾股定理结合网格结构即可判断线段A′B与线段AC的关系．【解答】解：如图，将点A先向下平移3格，再向左平移1格到达A′点，连接A′B，与线段AC交于点O．∵A′O=OB=，AO=OC=2，∴线段A′B与线段AC互相平分，又∵∠AOA′=45°+45°=90°，∴A′B⊥AC，∴线段A′B与线段AC互相垂直平分．应选：D．【点评】此题考查了平移的性质，勾股定理，正确利用网格求边长长度及角度是解题的关键．6．如图，在△ABC中∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，连接PM，PN，那么以下结论：①PM=PN；②△PMN为等边三角形；下面判断正确是()A．①正确 B．②正确 C．①②都正确 D．①②都不正确【考点】直角三角形斜边上的中线；等边三角形的判定．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可判断①正确；根据直角三角形两锐角互余的性质求出∠ABM=∠ACN=30°，再根据三角形的内角和定理求出∠BCN+∠CBM=60°，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠BPN+∠CPM=120°，从而得到∠MPN=60°，又由①得PM=PN，根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形可判断②正确．【解答】解：①∵BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，P为BC边的中点，∴PM=BC，PN=BC，∴PM=PN，正确；②∵∠A=60°，BM⊥AC于点M，CN⊥AB于点N，∴∠ABM=∠ACN=30°，在△ABC中，∠BCN+∠CBM═180°﹣60°﹣30°×2=60°，∵点P是BC的中点，BM⊥AC，CN⊥AB，∴PM=PN=PB=PC，∴∠BPN=2∠BCN，∠CPM=2∠CBM，∴∠BPN+∠CPM=2〔∠BCN+∠CBM〕=2×60°=120°，∴∠MPN=60°，∴△PMN是等边三角形，正确；所以①②都正确．应选：C．【点评】此题主要考查了直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，等边三角形的判定与性质，熟练掌握性质是解题的关键．7．一等腰三角形底边长为8cm，腰长为5cm，那么腰上的高为()A．3cm B．cm C．cm D．cm【考点】勾股定理；等腰三角形的性质．【分析】作AD⊥BC于D，作CE⊥AB于E，由等腰三角形的性质得出BD，由勾股定理求出AD，由三角形面积的计算方法即可求出腰上的高．【解答】解：如下图：作AD⊥BC于D，作CE⊥AB于E，那么∠ADB=90°，∵AB=AC，∴BD=BC=4cm，∴AD===3〔cm〕，∵△ABC的面积=AB•CE=BC•AD，∴AB•CE=BC•AD，即5×CE=8×3，解得：CE=，即腰上的高为；应选：C．【点评】此题考查了勾股定理、等腰三角形的性质三角形面积的计算；熟练掌握等腰三角形的性质，运用勾股定理求出AD是解决问题的关键．8．如图，在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于E，BD⊥AE于D，DF⊥AC交AC的延长线于F，连接CD，给出四个结论：①∠ADC=45°；②BD=AE；③AC+CE=AB；④AB﹣BC=2FC；其中正确的结论有()A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；等腰直角三角形．【分析】过E作EQ⊥AB于Q，作∠ACN=∠BCD，交AD于N，过D作DH⊥AB于H，根据角平分线性质求出CE=EQ，DF=DH，根据勾股定理求出AC=AQ，AF=AH，根据等腰三角形的性质和判定求出BQ=QE，即可求出③；根据三角形外角性质求出∠CND=45°，证△ACN≌△BCD，推出CD=CN，即可求出②①；证△DCF≌△DBH，得到CF=BH，AF=AH，即可求出④．【解答】解：如图，过E作EQ⊥AB于Q，∵∠ACB=90°，AE平分∠CAB，∴CE=EQ，∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CBA=∠CAB=45°，∵EQ⊥AB，∴∠EQA=∠EQB=90°，由勾股定理得：AC=AQ，∴∠QEB=45°=∠CBA，∴EQ=BQ，∴AB=AQ+BQ=AC+CE，∴③正确；作∠ACN=∠BCD，交AD于N，∵∠CAD=∠CAB=22.5°=∠BAD，∴∠ABD=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠DBC=67.5°﹣45°=22.5°=∠CAD，∴∠DBC=∠CAD，在△ACN和△BCD中，，∴△ACN≌△BCD，∴CN=CD，AN=BD，∵∠ACN+∠NCE=90°，∴∠NCB+∠BCD=90°，∴∠CND=∠CDA=45°，∴∠ACN=45°﹣22.5°=22.5°=∠CAN，∴AN=CN，∴∠NCE=∠AEC=67.5°，∴CN=NE，∴CD=AN=EN=AE，∵AN=BD，∴BD=AE，∴①正确，②正确；过D作DH⊥AB于H，∵∠FCD=∠CAD+∠CDA=67.5°，∠DBA=90°﹣∠DAB=67.5°，∴∠FCD=∠DBA，∵AE平分∠CAB，DF⊥AC，DH⊥AB，∴DF=DH，在△DCF和△DBH中，∴△DCF≌△DBH，∴BH=CF，由勾股定理得：AF=AH，∴====2，∴AC+AB=2AF，AC+AB=2AC+2CF，AB﹣AC=2CF，∵AC=CB，∴AB﹣CB=2CF，∴④正确．应选D【点评】此题主要考查了三角形的外角性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质和判定，直角三角形斜边上中线性质，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形性质等知识点的理解和掌握，能综合运用这些性质进行推理是解此题的关键．二、填空题〔本大题共11小题，每空2分，共22分．〕9．如图，在△ABC与△ADC中，AD=AB，在不添加任何辅助线的前提下，要使△ABC≌△ADC，只需再添加的一个条件可以是DC=BC或∠DAC=∠BAC．【考点】全等三角形的判定．【专题】开放型．【分析】添加DC=BC，利用SSS即可得到两三角形全等；添加∠DAC=∠BAC，利用SAS即可得到两三角形全等．【解答】解：添加条件为DC=BC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC〔SSS〕；假设添加条件为∠DAC=∠BAC，在△ABC和△ADC中，，∴△ABC≌△ADC〔SAS〕．故答案为：DC=BC或∠DAC=∠BAC【点评】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解此题的关键．10．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，那么∠A的度数是50°．【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．【分析】根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得AD=BD，根据等边对等角可得∠A=∠ABD，然后表示出∠ABC，再根据等腰三角形两底角相等可得∠C=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列出方程求解即可．【解答】解：∵MN是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠A=∠ABD，∵∠DBC=15°，∴∠ABC=∠A+15°，∵AB=AC，∴∠C=∠ABC=∠A+15°，∴∠A+∠A+15°+∠A+15°=180°，解得∠A=50°．故答案为：50°．【点评】此题考查了线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等的性质，等腰三角形的性质，熟记性质并用∠A表示出△ABC的另两个角，然后列出方程是解题的关键．11．如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．假设AD=6，DE=5，那么CD的长等于8．【考点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线．【专题】计算题．【分析】由“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半〞求得AC=2DE=10；然后在直角△ACD中，利用勾股定理来求线段CD的长度即可．【解答】解：如图，∵△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点，DE=5，∴DE=AC=5，∴AC=10．在直角△ACD中，∠ADC=90°，AD=6，AC=10，那么根据勾股定理，得CD===8．故答案是：8．【点评】此题考查了勾股定理，直角三角形斜边上的中线．利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得AC的长度是解题的难点．12．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=3cm，BC=4cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，那么CD=cm．【考点】翻折变换〔折叠问题〕．【分析】先利用勾股定理求得AB=5，然后由翻折的性质得到AE=AC=3，CD=DE，那么EB=2，设CD=EC=x，那么BD=4﹣x，然后在Rt△DEB中利用勾股定理列方程求解即可．【解答】解：在Rt△ACB中，AB==5，由翻折的性质可知：AE=AC=3，CD=DE，那么BE=2．设CD=DE=x，那么BD=4﹣x．Rt△DEB中，由勾股定理得：DB2=DE2+EB2，即〔4﹣x〕2=x2+22，解得：x=．∴CD=．故答案为：cm．【点评】此题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，利用翻折的性质和勾股定理列出关于x的方程是解题的关键．13．等腰三角形的两边长分别为2cm和4cm，那么这个三角形的周长为10cm．【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】题中没有指明哪边是底哪边是腰，那么应该分两种情况进行分析．【解答】解：〔1〕当三边是2cm，2cm，4cm时，2+2=4cm，不符合三角形的三边关系，应舍去；〔2〕当三边是2cm，4cm，4cm时，符合三角形的三边关系，此时周长是10cm；所以这个三角形的周长是10cm．故填10．【点评】此题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．14．一个等腰三角形的一个角为80°，那么它的顶角的度数是80°或20°．【考点】等腰三角形的性质．【分析】等腰三角形一内角为80°，没说明是顶角还是底角，所以有两种情况．【解答】解：〔1〕当80°角为顶角，顶角度数即为80°；〔2〕当80°为底角时，顶角=180°﹣2×80°=20°．故答案为：80°或20°．【点评】此题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，属于根底题，假设题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键．15．直角三角形斜边上的高与中线分别是5cm和6cm，那么它的面积是30cm2．【考点】直角三角形斜边上的中线．【分析】由于直角三角形斜边上的中线是6cm，因而斜边是12cm，而高线，因而可以根据面积公式求出三角形的面积．【解答】解：∵直角三角形斜边上的中线是6cm，∴斜边是12cm，∴S△=×5×12=30cm2∴它的面积是30cm2．故填：30cm2．【点评】此题主要考查了直角三角形的性质：斜边上的中线等于斜边的一半．16．△ABC中，点O是△ABC内一点且到△ABC三边的距离相等，∠A=40°，那么∠BOC=110°．【考点】角平分线的性质．【分析】根据O到三角形三边距离相等，得到O是内心，再利用三角形内角和定理和角平分线的概念即可求出∠BOC的度数．【解答】解：∵O到三角形三边距离相等，∴O是内心，∴AO，BO，CO都是角平分线，∴∠CBO=∠ABO=∠ABC，∠BCO=∠ACO=∠ACB，∠ABC+∠ACB=180°﹣40°=140°，∠OBC+∠OCB=70°，∠BOC=180°﹣70°=110°．故答案为：110°．【点评】此题考查的是角平分线的定义和三角形的内心的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．17．如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，PN+PM+MN的最小值是5cm，那么∠AOB的度数是30°．【考点】轴对称-最短路线问题．【分析】分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，由对称的性质得出PM=CM，OP=OC，∠COA=∠POA；PN=DN，OP=OD，∠DOB=∠POB，得出∠AOB=∠COD，证出△OCD是等边三角形，得出∠COD=60°，即可得出结果．【解答】解：分别作点P关于OA、OB的对称点C、D，连接CD，分别交OA、OB于点M、N，连接OC、OD、PM、PN、MN，如下图：∵点P关于OA的对称点为D，关于OB的对称点为C，∴PM=DM，OP=OD，∠DOA=∠POA；∵点P关于OB的对称点为C，∴PN=CN，OP=OC，∠COB=∠POB，∴OC=OP=OD，∠AOB=∠COD，∵PN+PM+MN的最小值是5cm，∴PM+PN+MN=5，∴DM+CN+MN=5，即CD=5=OP，∴OC=OD=CD，即△OCD是等边三角形，∴∠COD=60°，∴∠AOB=30°．故答案为：30°．【点评】此题考查了轴对称的性质、最短路线问题、等边三角形的判定与性质；熟练掌握轴对称的性质，证明三角形是等边三角形是解决问题的关键．18．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，那么该等腰三角形的底角的度数为63°或27°．【考点】等腰三角形的性质．【专题】分类讨论．【分析】分锐角三角形和钝角三角形两种情况，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求出它的底角的度数．【解答】解：在三角形ABC中，设AB=AC，BD⊥AC于D．①假设是锐角三角形，∠A=90°﹣36°=54°，底角=〔180°﹣54°〕÷2=63°；②假设三角形是钝角三角形，∠BAC=36°+90°=126°，此时底角=〔180°﹣126°〕÷2=27°．所以等腰三角形底角的度数是63°或27°．故答案为：63°或27°．【点评】此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和应用，此题的关键是熟练掌握三角形内角和定理．19．如图，在△ABC中AB=17，AC=10，BC边上的高AD=8，那么边BC的长为21．【考点】勾股定理．【专题】计算题．【分析】在直角三角形ACD中，利用勾股定理求出CD的长，在直角三角形ABD中，利用勾股定理求出BD的长，由CD+BD求出BC的长即可．【解答】解：在Rt△ACD中，AC=10，AD=8，根据勾股定理得：CD==6，在Rt△ABD中，AB=17，AD=8，根据勾股定理得：BD==15，那么BC=6+15=21，故答案为：21【点评】此题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解此题的关键．三、简答题：〔本大题共7小题，共54分〕20．如图，在长度为1个单位长度的小正方形组成的正方形网格中，点A、B、C在小正方形的顶点上．〔1〕在图中画出与△ABC关于直线l成轴对称的△A′B′C′；〔2〕在直线l上找一点P〔在答题纸上图中标出〕，使PB+PC的长最短，这个最短长度的平方值是13．【考点】作图-轴对称变换．【分析】〔1〕分别找到各点的对称点，顺次连接可得△A′B′C′．〔2〕连接B'C，那么B'C与l的交点即是点P的位置，求出PB+PC的值即可．【解答】解：〔1〕如下图：．〔2〕如下图：PB+PC=PB'+PC=B'C==．那么这个最短长度的平方值是13．【点评】此题考查了轴对称作图及最短路线问题，解答此题的关键是掌握轴对称的性质，难度一般．21．如图，△ABC，AC＜AB．〔1〕用直尺和圆规作出一条过点A的直线l，使得点C关于直线l的对称点落在边AB上〔不写作法，保存作图痕迹〕；〔2〕设直线l与边BC的交点为D，且∠C=2∠B，请你通过观察或测量，猜测线段AB、AC、CD之间的数量关系，并说明理由．【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【专题】作图题．【分析】〔1〕先作∠BAC的平分线l，再过点C作CF⊥l交AB于F，那么可得到点C和F点关于l对称，所以l为所作；〔2〕连结DF，如图，利用等腰三角形的判定方法得到AF=AC，那么AD垂直平分CF，所以DF=DC，那么∠DCF=∠DFC，再利用三角形外角性质得∠BDF=2∠DCF，接着证明∠B=2∠BCF，于是得到∠B=∠BDF，那么FB=FD=CD，那么易得AB=AF+FB=AC+CD．【解答】解：〔1〕如图，直线l为所作；〔2〕AB=AC+CD．理由如下：连结DF，如图，∵AD平分∠BAC，AD⊥CF，∴AF=AC，∴AD垂直平分CF，∴DF=DC，∴∠DCF=∠DFC，∴∠BDF=∠DCF+∠DFC=2∠DCF，∵∠AFC=∠ACF，∵∠AFC=∠B+∠BCF，∴∠ACF=∠B+∠BCF，∵∠ACB=2∠B，∴2∠B﹣∠BCF=∠B+∠BCF，∴∠B=2∠BCF，∴∠B=∠BDF，∴FB=FD，∴FB=CD，∴AB=AF+FB=AC+CD．【点评】此题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种根本作图的根底上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和根本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉根本几何图形的性质，结合几何图形的根本性质把复杂作图拆解成根本作图，逐步操作．也考查了角平分线的性质．22．如图，E，F在BC上，BE=CF，AB=CD，AB∥CD．求证：〔1〕△ABF≌△DCE．〔2〕AF∥DE．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】〔1〕由等式的性质就可以得出BF=CE，由平行线的性质就可以得出∠B=∠C，根据SAS就可以得出结论；〔2〕由△ABF≌△DCE就可以得出∠AFB=∠DEC就可以得出结论．【解答】证明：∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，∴BF=CE．∵AB∥CD，∴∠B=∠C．在△ABF和△DCE中，∴△ABF≌△DCE〔SAS〕；〔2〕∵△ABF≌△DCE，∴∠AFB=∠DEC，∴AF∥DE．【点评】此题考查了等式的性质的运用，平行线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键．23．如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地，AD=8米，CD=6米，∠ADC=90°，AB=26米，BC=24米，小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，草坪每平方米100元，试问用该草坪铺满这块空地共需花费多少元？【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．【分析】连接AC，根据勾股定理求出AC，根据勾股定理的逆定理求出∠ACB=90°，求出区域的面积，即可求出答案．【解答】解：连结AC，如下图：在Rt△ACD中，∠ADC=90°，AD=4米，CD=3米，由勾股定理得：AC==10〔米〕，∵AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676，∴AC2+BC2=AB2，∴∠ACB=90°，∴该区域面积S=S△ACB﹣S△ADC=×10×24﹣×6×8=96〔平方米〕，∴铺满这块空地共需花费=96×100=9600元．【点评】此题考查了勾股定理，三角形面积，勾股定理的逆定理的应用；解此题的关键是求出区域的面积．24．如图，把长方形纸片ABCD沿EF折叠后，使得点D与点B重合，点C落在点C′的位置上．〔1〕折叠后，DC的对应线段是BC′，CF的对应线段是FC′；〔2〕假设AB=8，DE=10，求CF的长度．【考点】翻折变换〔折叠问题〕．【分析】〔1〕根据翻折后的对应点确定出对应线段即可；〔2〕在Rt△ABE中由勾股定理可求得AE=6，从而得到AD=16，然后证明BE=BF=10，从而可求得FC=16﹣10=6．【解答】解：〔1〕∵点D与点B重合，点C落在点C′的位置上，∴DC的对应线段是BC′，CF的对应线段是FC′．故答案为：BC′；FC′．〔2〕由翻折的性质可知：DE=BE=10，∠2=∠BEF．∵AD∥BC，∴∠2=∠1．∴∠1=∠BEF．∴BE=BF=10．在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE===6，∴AD=AE+ED=6+10=16．∴CF=CB﹣BF=16﹣10=6．【点评】此题主要考查的是翻折的性质、勾股定理的应用，证得BE=BF=10是解题的关键．25．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法〞给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法〞来证明，下面是小聪利用图1证明勾股定理的过程：将两个全等的直角三角形按图1所示摆放，其中∠DAB=90°，求证：a2+b2=c2证明：连结DB，过点D作BC边上的高DF，那么DF=EC=b﹣a∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=b2+ab．又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=c2+a〔b﹣a〕∴b2+ab=c2+a〔b﹣a〕∴a2+b2=c2请参照上述证法，利用图2完成下面的证明．将两个全等的直角三角形按图2所示摆放，其中∠DAB=90°．求证：a2+b2=c2．【考点】勾股定理的证明．【分析】首先连结BD，过点B作DE边上的高BF，那么BF=b﹣a，表示出S五边形ACBED，两者相等，整理即可得证．【解答】证明：连结BD，过点B作DE边上的高BF，那么BF=b﹣a，∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABE+S△ADE=ab+b2+ab，又∵S五边形ACBED=S△ACB+S△ABD+S△BDE=ab+c2+a〔b﹣a〕，∴ab+b2+ab=ab+c2+a〔b﹣a〕，∴a2+b2=c2．【点评】此题考查了勾股定理的证明，用两种方法表示出五边形ACBED的面积是解此题的关键．26．如图，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，假设动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．〔1〕出发2秒后，求△ABP的周长．〔2〕问t为何值时，△BCP为等腰三角形？〔3〕另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，假设P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两局部？【考点】等腰三角形的判定与性质．【专题】计算题；动点型．【分析】〔1〕根据速度为每秒1cm，求出出发2秒后CP的长，然后就知AP的长，利用勾股定理求得PB的长，最后即可求得周长．〔2〕因为AB与CB，由勾股定理得AC=4因为AB为5cm，所以必须使AC=CB，或CB=AB，所以必须使AC或AB等于3，有两种情况，△BCP为等腰三角形．〔3〕分类讨论：当P点在AC上，Q在AB上，那么PC=t，BQ=2t﹣3，t+2t﹣3=6；当P点在AB上，Q在AC上，那么AC=t﹣4，AQ=2t﹣8，t﹣4+2t﹣8=6．【解答】解：〔1〕如图1，由∠C=90°，AB=5cm，BC=3cm，∴AC=4，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，∴出发2秒后，那么CP=2，∵∠C=90°，∴PB==，∴△ABP的周长为：AP+PB+AB=2+5+=7．〔2〕①如图2，假设P在边AC上时，BC=CP=3cm，此时用的时间为3s，△BCP为等腰三角形；②假设P在AB边上时，有三种情况：i〕如图3，假设使BP=CB=3cm，此时AP=2cm，P运动的路程为2+4=6cm，所以用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；ii〕如图4，假设CP=BC=3cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为2.4cm，作CD⊥AB于点D，在Rt△PCD中，PD===1.8，所以BP=2PD=3.6cm，所以P运动的路程为9﹣3.6=5.4cm，那么用的时间为5.4s，△BCP为等腰三角形；ⅲ〕如图5，假设BP=CP，此时P应该为斜边AB的中点，P运动的路程为4+2.5=6.5cm那么所用的时间为6.5s，△BCP为等腰三角形；综上所述，当t为3s、5.4s、6s、6.5s时，△BCP为等腰三角形〔3〕如图6，当P点在AC上，Q在AB上，那么PC=t，BQ=2t﹣3，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两局部，∴t+2t﹣3=3，∴t=2；如图7，当P点在AB上，Q在AC上，那么AP=t﹣4，AQ=2t﹣8，∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两局部，∴t﹣4+2t﹣8=6，∴t=6，∴当t为2或6秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两局部．【点评】此题考查学生对等腰三角形的判定与性质的理解和掌握，但是此题涉及到了动点，对于初二学生来说是个难点，尤其是第〔2〕由两种情况，△BCP为等腰三角形，因此给这道题又增加了难度，因此这是一道难题．2021-2021学年江苏省镇江市扬中市八年级〔上〕期中数学试卷一、选择题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕1．以下学习用具中，不是轴对称图形的是()A． B． C． D．2．以下各组数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是()A．6，8，10 B．5，12，13 C．9，40，41 D．7，9，123．如果等腰三角形两边长是6和3，那么它的周长是()A．9 B．12 C．15或12 D．154．如图，MB=ND，∠MBA=∠NDC，以下哪个条件不能判定△ABM≌△CDN()A．∠M=∠N B．AB=CD C．AM∥CN D．AM=CN5．电子钟镜子里的像如下图，实际时间是()A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：016．如图，DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，如果BC=9cm，AB=11cm，那么△EBC的周长为()A．9cm B．11cm C．20cm D．31cm7．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个局部，那么这个等腰三角形的底边长为()A．7 B．11 C．7或11 D．7或108．∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OA对称，点P2与点P关于OB对称，那么△P1OP2是()A．含30°角的直角三角形 B．顶角是30°的等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形二、填空题〔本大题共12小题，每题2分，共24分〕9．等腰三角形一个内角的大小为50°，那么其顶角的大小为__________．10．如图，B、E、F、C在同一直线上，BF=CE，AF=DE，那么添加条件__________，可以判断△ABF≌△DCE．11．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，那么图中等腰三角形有__________个．12．，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，假设AC=4，BC=3，那么CD=__________．13．如图，由四个直角边分别为5和4的全等直角三角形拼成“赵爽弦图〞，其中阴影局部面积为__________．14．假设直角三角形中，一斜边比一直角边大2，且另一直角边长为6，那么斜边为__________．15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，且CD=5，那么点D到AB的距离为__________．16．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、D分别落在点C′、D′处，假设∠AFE=65°，那么∠C′EF=__________度．17．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，那么阴影局部图形的周长为__________cm．18．如图，把Rt△ABC〔∠C=90°〕折叠，使A、B两点重合，得到折痕ED，再沿BE折叠，C点恰好与D点重合，那么∠A等于__________度．19．如图，∠ACB=90°，E、F为AB上的点，AE=AC，BC=BF，那么∠ECF=__________．20．如图，△ABC中，AB=17，BC=10，CA=21，AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB上的动点，那么BD+DE的最小值是__________．三、解答题〔本大题共有7小题，共52分．把解答过程写在相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明，作图时用铅笔〕21．如图，直线l及其同侧两点A、B．〔1〕在直线l上求一点P，使到A、B两点距离之和最短；〔2〕在直线l上求一点O，使OA=OB．〔请找出所有符合条件的点，并简要说明作法，保存作图痕迹〕22．如图，，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；求证：BC=DC．23．如下图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30cm2，DC=12cm，AB=3cm，BC=4cm，求△ABC的面积．24．等边△ABC和等边△ADE如图放置，且B、C、E三点在一条直线上，连接CD．求证：∠ACD=60°．25．如图，直线a、b相交于点A，C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a，DE⊥b，点M、N是EC、DB的中点．求证：MN⊥BD．26．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．〔1〕求证：△BCE≌△DCF；〔2〕假设AB=17，AD=9，求AE的长．27．如图，四边形ABCD，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，AB=4，BC=9．〔1〕求CD的长为__________．〔2〕点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BC向点C运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，那么当t为何值时，△PDC为等腰三角形？

2021-2021学年江苏省镇江市扬中市八年级〔上〕期中数学试卷一、选择题〔本大题共8小题，每题3分，共24分〕1．以下学习用具中，不是轴对称图形的是()A． B． C． D．【考点】轴对称图形．【分析】根据轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，两边能够重合的图形是轴对称图形，对各选项判断即可．【解答】解：A、是轴对称图形，不合题意，故本选项错误；B、是轴对称图形，不合题意，故本选项错误；C、不是轴对称图形，符合题意，故本选项正确；D、是轴对称图形，不合题意，故本选项错误；应选：C．【点评】此题考查了轴对称图形的知识，属于根底题，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴．2．以下各组数作为三角形的边长，其中不能构成直角三角形的是()A．6，8，10 B．5，12，13 C．9，40，41 D．7，9，12【考点】勾股数．【分析】根据勾股定理的逆定理对四个答案进行逐一判断即可．【解答】解：A、∵62+82=102=100，∴能构成直角三角形；B、52+122=132=169，∴能构成直角三角形；C、92+402=412=1681，∴能构成直角三角形；D、∵72+92≠122，∴不能构成直角三角形．应选D．【点评】此题考查的是用勾股定理的逆定理判断三角形的形状，即假设三角形的三边符合a2+b2=c2，那么此三角形是直角三角形．3．如果等腰三角形两边长是6和3，那么它的周长是()A．9 B．12 C．15或12 D．15【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为6和3，而没有明确腰、底分别是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．【解答】解：当腰为3时，3+3=6，不能构成三角形，因此这种情况不成立．当腰为6时，6﹣3＜6＜6+3，能构成三角形；此时等腰三角形的周长为6+6+3=15．应选D．【点评】此题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；题目从边的方面考查三角形，涉及分类讨论的思想方法．求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．4．如图，MB=ND，∠MBA=∠NDC，以下哪个条件不能判定△ABM≌△CDN()A．∠M=∠N B．AB=CD C．AM∥CN D．AM=CN【考点】全等三角形的判定．【分析】利用三角形全等的条件分别进行分析即可．【解答】解：A、加上∠M=∠N可利用ASA定理证明△ABM≌△CDN，故此选项不合题意；B、加上AB=CD可利用SAS定理证明△ABM≌△CDN，故此选项不合题意；C、加上AM∥CN可证明∠A=∠NCB，可利用ASA定理证明△ABM≌△CDN，故此选项不合题意；D、加上AM=CN不能证明△ABM≌△CDN，故此选项符合题意；应选：D．【点评】此题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，假设有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．5．电子钟镜子里的像如下图，实际时间是()A．21：10 B．10：21 C．10：51 D．12：01【考点】镜面对称．【分析】根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称．【解答】解：根据镜面对称的性质，分析可得题中所显示的图片与10：51成轴对称，所以此时实际时刻为10：51．应选C．【点评】此题考查镜面反射的原理与性质．解决此类题应认真观察，注意技巧．6．如图，DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，如果BC=9cm，AB=11cm，那么△EBC的周长为()A．9cm B．11cm C．20cm D．31cm【考点】线段垂直平分线的性质．【分析】先根据线段垂直平分线的性质得出AE=CE，故可得出AB=AE+BE=CE+BE，由此即可得出结论．【解答】解：∵DE是△ABC中AC边上的垂直平分线，BC=9cm，AB=11cm，∴AE=CE，∴AB=AE+BE=CE+BE=11cm，∴△EBC的周长=BC+〔CE+BE〕=BC+AB=9+11=20cm．应选C．【点评】此题考查的是线段2垂直平分线的性质，熟知垂直平分线上任意一点，到线段两端点的距离相等是解答此题的关键．7．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个局部，那么这个等腰三角形的底边长为()A．7 B．11 C．7或11 D．7或10【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系．【专题】分类讨论．【分析】题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．【解答】解：设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，那么根据题意，得①或②解方程组①得：，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形；解方程组②得：，根据三角形三边关系定理此时能组成三角形，即等腰三角形的底边长是11或7；应选C．【点评】此题考查等腰三角形的性质及相关计算．学生在解决此题时，有的同学会审题错误，以为15，12中包含着中线BD的长，从而无法解决问题，有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况；注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理．故解决此题最好先画出图形再作答．8．∠AOB=30°，点P在∠AOB内部，点P1与点P关于OA对称，点P2与点P关于OB对称，那么△P1OP2是()A．含30°角的直角三角形 B．顶角是30°的等腰三角形C．等边三角形 D．等腰直角三角形【考点】轴对称的性质．【专题】证明题．【分析】根据轴对称的性质，结合等边三角形的判定求解．【解答】解：∵P为∠AOB内部一点，点P关于OA、OB的对称点分别为P1、P2，∴OP=OP1=OP2且∠P1OP2=2∠AOB=60°，∴故△P1OP2是等边三角形．应选C．【点评】此题考查轴对称的性质，对应点的连线与对称轴的位置关系是互相垂直，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对称轴上的任何一点到两个对应点之间的距离相等，对应的角、线段都相等．二、填空题〔本大题共12小题，每题2分，共24分〕9．等腰三角形一个内角的大小为50°，那么其顶角的大小为50°或80°．【考点】等腰三角形的性质．【分析】可知有两种情况〔顶角是50°和底角是50°时〕，由等边对等角求出底角的度数，用三角形的内角和定理即可求出顶角的度数．【解答】解：如下图，△ABC中，AB=AC．有两种情况：①顶角∠A=50°；②当底角是50°时，∵AB=AC，∴∠B=∠C=50°，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴∠A=180°﹣50°﹣50°=80°，∴这个等腰三角形的顶角为50°和80°．故答案为：50°和80°．【点评】此题考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理的理解和掌握，能对有的问题正确地进行分类讨论是解答此题的关键．10．如图，B、E、F、C在同一直线上，BF=CE，AF=DE，那么添加条件AB=DC〔或∠AFB=∠DEC〕，可以判断△ABF≌△DCE．【考点】全等三角形的判定．【专题】开放型．【分析】两组边对应相等，可再加第三组边相等或两组边的夹角相等都可以．【解答】解：由条件可再添加AB=DC，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE〔SSS〕，也可添加∠AFB=∠DEC，在△ABF和△DCE中，，∴△ABF≌△DCE〔SAS〕，故答案为：AB=DC〔或∠AFB=∠DEC〕．【点评】此题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL是解题的关键．11．如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，那么图中等腰三角形有3个．【考点】等腰三角形的判定；三角形内角和定理；角平分线的性质．【分析】由条件，根据三角形内角和等于180、角的平分线的性质求得各个角的度数，然后利用等腰三角形的判定进行找寻，注意做到由易到难，不重不漏．【解答】解：∵∠C=72°，∠DBC=36°，∠A=36°，∴∠ABD=180°﹣72°﹣36°﹣36°=36°=∠A，∴AD=BD，△ADB是等腰三角形，∵根据三角形内角和定理知∠BDC=180°﹣72°﹣36°=72°=∠C，∴BD=BC，△BDC是等腰三角形，∵∠C=∠ABC=72°，∴AB=AC，△ABC是等腰三角形．故图中共3个等腰三角形．故答案为：3．【点评】此题考查了等腰三角形的性质和判定、角的平分线的性质及三角形内角和定理；由条件利用相关的性质求得各个角的度数是正确解答此题的关键．12．，如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D，假设AC=4，BC=3，那么CD=．【考点】勾股定理．【专题】计算题．【分析】根据勾股定理求得AB的长，再根据三角形的面积公式求得CD即可．【解答】解：∵AC=4，BC=3，∴AB=5，∵S△ABC=×3×4=×5×CD，∴CD=．故答案为：．【点评】此题考查了直角三角形面积的不同表示方法及勾股定理的综合应用．13．如图，由四个直角边分别为5和4的全等直角三角形拼成“赵爽弦图〞，其中阴影局部面积为1．【考点】正方形的性质．【分析】求出阴影局部的正方形的边长，即可得到面积．【解答】解：∵四个全等的直角三角形的直角边分别是5和4，∴阴影局部的正方形的边长为5﹣4=1，∴阴影局部面积为1×1=1．故答案为：1．【点评】此题考查了“赵爽弦图〞，正方形的面积，熟悉“赵爽弦图〞中小正方形的边长等于四个全等的直角三角形中两直角边的差是解题的关键．14．假设直角三角形中，一斜边比一直角边大2，且另一直角边长为6，那么斜边为10．【考点】勾股定理．【专题】探究型．【分析】设一条直角边为a，那么斜边为a+2，再根据勾股定理求出a的值即可．【解答】解：设一条直角边为a，那么斜边为a+2，∵另一直角边长为6，∴〔a+2〕2=a2+62，解得a=8，∴a+2=8+2=10．故答案为：10．【点评】此题考查的是勾股定理，根据题意设出直角三角形的斜边及直角边的长是解答此题的关键．15．如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC，且CD=5，那么点D到AB的距离为5．【考点】角平分线的性质．【分析】直接根据角平分线的性质定理即可得出结论．【解答】解：过D点作DE⊥AB于点E，那么DE即为所求，∵∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于点D，∴CD=DE〔角的平分线上的点到角的两边的距离相等〕，∵CD=5，∴DE=5．故答案为：5．【点评】此题主要考查了角平分线的性质，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解答此题的关键．16．如图，将矩形纸片ABCD沿EF折叠后，点C、D分别落在点C′、D′处，假设∠AFE=65°，那么∠C′EF=65度．【考点】翻折变换〔折叠问题〕．【专题】应用题；压轴题．【分析】利用矩形ABCD可知，AD∥BC，所以∠FEC=∠AFE=65°，又因为沿EF折叠，根据折叠的性质可知∠C的度数．【解答】解：∵AD∥BC∴∠FEC=∠AFE=65°又∵沿EF折叠∴∠C′EF=∠FEC=65°．【点评】此题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②平行线的性质求解．17．如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，那么阴影局部图形的周长为3cm．【考点】翻折变换〔折叠问题〕；轴对称的性质．【分析】由题意得AE=A′E，AD=A′D，故阴影局部的周长可以转化为三角形ABC的周长．【解答】解：将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，所以AD=A′D，AE=A′E．那么阴影局部图形的周长等于BC+BD+CE+A′D+A′E，=BC+BD+CE+AD+AE，=BC+AB+AC，=3cm．故答案为：3．【点评】折叠问题的实质是“轴对称〞，解题关键是找出经轴对称变换所得的等量关系．18．如图，把Rt△ABC〔∠C=90°〕折叠，使A、B两点重合，得到折痕ED，再沿BE折叠，C点恰好与D点重合，那么∠A等于30度．【考点】翻折变换〔折叠问题〕；锐角三角函数的定义．【分析】由折叠的性质知，AD=BD=BC，可求得sinA=，所以可得∠A=30°．【解答】解：根据折叠的性质得AD=BD=BC．∴sinA=BC：AB=，∴∠A=30°．【点评】此题利用了：①折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；②正弦的概念．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．19．如图，∠ACB=90°，E、F为AB上的点，AE=AC，BC=BF，那么∠ECF=45°．【考点】等腰三角形的性质．【分析】根据等腰三角形的性质得：∠AEC=∠ACE=，∠BFC=∠BCF=，从而利用F∠EC=∠BCF+∠ACE﹣∠ACB=+﹣90°=45°求解．【解答】解：∵AE=AC，BC=BF，∴∠AEC=∠ACE=，∠BFC=∠BCF=，∴∠ECF=∠BCF+∠ACE﹣∠ACB=+﹣90°=45°，故答案为：45°．【点评】此题考查了等腰三角形的性质中的等边对等角，难度较小，解题的关键是发现要求的角和直角之间的关系．20．如图，△ABC中，AB=17，BC=10，CA=21，AM平分∠BAC，点D、E分别为AM、AB上的动点，那么BD+DE的最小值是8．【考点】轴对称-最短路线问题．【分析】过B点作BF⊥AC于点F，BF与AM交于D点，根据三角形两边之和小于第三边，可知BD+DE的最小值是线段BF的长，根据勾股定理列出方程组即可求解．【解答】解：过B点作BF⊥AC于点F，BF与AM交于D点．设AF=x，那么CF=21﹣x，依题意有，解得，〔负值舍去〕．故BD+DE的最小值是8．故答案为：8．【点评】考查了轴对称﹣最短路线问题，勾股定理和解方程组，理解BD+DE的最小值是AC边的高的长是解题的难点．三、解答题〔本大题共有7小题，共52分．把解答过程写在相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明，作图时用铅笔〕21．如图，直线l及其同侧两点A、B．〔1〕在直线l上求一点P，使到A、B两点距离之和最短；〔2〕在直线l上求一点O，使OA=OB．〔请找出所有符合条件的点，并简要说明作法，保存作图痕迹〕【考点】轴对称-最短路线问题．【分析】〔1〕根据两点之间线段最短，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，那么P为所求点；〔2〕根据线段垂直平分线的性质连接AB，在作出线段AB的垂直平分线即可；【解答】解：〔1〕作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，点P即为所求的点；〔2〕连接AB，作AB的中垂线，交l于点O，点O即为所求的点．【点评】此题考查了轴对称﹣最短路线问题，线段的垂直平分线，主要考查学生的理解能力和动手操作能力，题目比拟典型，是一道比拟好的题目．22．如图，，EC=AC，∠BCE=∠DCA，∠A=∠E；求证：BC=DC．【考点】全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】先求出∠ACB=∠ECD，再利用“角边角〞证明△ABC和△EDC全等，然后根据全等三角形对应边相等证明即可．【解答】证明：∵∠BCE=∠DCA，∴∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE，即∠ACB=∠ECD，在△ABC和△EDC中，，∴△ABC≌△EDC〔ASA〕，∴BC=DC．【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，求出相等的角∠ACB=∠ECD是解题的关键，也是此题的难点．23．如下图，在四边形ABCD中，AC⊥DC，△ADC的面积为30cm2，DC=12cm，AB=3cm，BC=4cm，求△ABC的面积．【考点】勾股定理．【分析】利用三角形的面积求出AC的长度，在△ABC中根据勾股定理逆定理可以得出是直角三角形．面积等于两直角边乘积的一半．【解答】解：在Rt△ACD中，S△ACD=AC•CD=30，∵DC=12cm，∴AC=5cm，∵AB2+BC2=25，AC2=52=25，∴AB2+BC2=AC2，∴S△ABC=AB．BC=×3×4=6cm2．【点评】根据面积求出一直角边的长度，再利用勾股定理逆定理判断出直角三角形，面积就可以求出了．24．等边△ABC和等边△ADE如图放置，且B、C、E三点在一条直线上，连接CD．求证：∠ACD=60°．【考点】全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】证明题．【分析】易证△ABE≌△ACD，即可得出∠B=∠ACD．【解答】证明：∵等边△ABC和等边△ADE，∴AB=AC，AE=AD，∠BAC=∠EAD=60°，∴∠BAC+∠CAE=∠DAE+∠CAE，即∠BAE=∠CAD，∴△ABE≌△ACD，∴∠B=∠ACD，∵∠B=60°，∴∠ACD=60°．【点评】此题考查了全等三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，是根底题，但也要细心．25．如图，直线a、b相交于点A，C、E分别是直线b、a上两点且BC⊥a，DE⊥b，点M、N是EC、DB的中点．求证：MN⊥BD．【考点】直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得DM=EC，BM=EC，从而得到DM=BM，再根据等腰三角形三线合一的性质证明．【解答】证明：∵BC⊥a，DE⊥b，点M是EC的中点，∴DM=EC，BM=EC，∴DM=BM，∵点N是BD的中点，∴MN⊥BD．【点评】此题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，等腰三角形三线合一的性质，熟记性质并准确识图是解题的关键．26．如图，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．〔1〕求证：△BCE≌△DCF；〔2〕假设AB=17，AD=9，求AE的长．【考点】全等三角形的判定与性质；角平分线的性质．【分析】〔1〕求出CE=CF，∠F=∠CEB=90°，根据HL证出两三角形全等即可．〔2〕求出DF=BE，证Rt△AFC≌Rt△AEC，推出AF=AE，设DF=BE=x，得出方程17﹣x=9+x，求出x，即可求出答案．【解答】〔1〕证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，在Rt△BCE与Rt△DCF中，，∴Rt△BCE≌Rt△DCF〔HL〕；〔2〕解：∵Rt△BCE≌Rt△DCF，∴DF=BE，∵∠F=∠CEA=90°，∴在Rt△AFC和Rt△AEC中∴Rt△AFC≌Rt△AEC〔HL〕，∴AF=AE，设DF=BE=x∵AB=17，AD=9，∴17﹣x=9+x解得：x=4∴AE=17﹣4=13．【点评】此题考查了角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．直角三角形全等的判定定理是SAS，ASA，AAS，SSS，HL．27．如图，四边形ABCD，AD∥BC，∠B=90°，AD=6，AB=4，BC=9．〔1〕求CD的长为5．〔2〕点P从点B出发，以每秒1个单位的速度沿着边BC向点C运动，连接DP．设点P运动的时间为t秒，那么当t为何值时，△PDC为等腰三角形？【考点】勾股定理；等腰三角形的判定．【专题】动点型．【分析】〔1〕过点D作DE⊥BC，垂足为E，先判断出四边形ABED是矩形，在Rt△DCE中根据勾股定理即可得出CD的长；〔2〕过点D作DE⊥BC，垂足为E，由题意得PC=9﹣t，PE=6﹣t．再分CD=CP，CD=PD，PD=PC三种情况进行讨论．【解答】解：〔1〕过点D作DE⊥BC，垂足为E，∵AD∥BC，∠B=90°，∴四边形ABED是矩形，∴BE=AD=6，DE=AB=4，∴CE=BC﹣BE=9﹣6=3，在Rt△DCE中，CD===5．故答案为：5；〔2〕过点D作DE⊥BC，垂足为E，由题意得PC=9﹣t，PE=6﹣t．当CD=CP时，5=9﹣t，解得t=4；当CD=PD时，E为PC中点，∴6﹣t=3，∴t=3；当PD=PC时，PD2=PC2，∴〔6﹣t〕2+42=〔9﹣t〕2，解得t=．故t的值为t=3或4或．【点评】此题考查的是勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．2021-2021学年江苏省徐州市铜山区八年级〔上〕期中数学试卷一、精心选一选：本大题共10小题，每题3分，共30分．在每题给出的四个选项中，有且只有一项为哪一项正确的，把所选答案填入下表．1．以下是我国四大银行的商标，其中不是轴对称图形的是()A． B． C． D．2．以下实数中，、、﹣3.14、、、、0.020020002…，其中无理数的个数是()A．2个 B．3个 C．4个 D．5个3．等腰三角形的周长是16，一边长为4，那么这个等腰三角形腰长为()A．4 B．6 C．4或6 D．84．如果a、b、c是一个直角三角形的三边，那么a：b：c可以等于()A．2：2：4 B．3：4：5 C．3：5：7 D．1：3：95．a+2与2a﹣5都是m的平方根，那么m的值是()A．1 B．9 C．﹣3 D．36．如下图，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°，那么∠B的度数是()A．40° B．35° C．25° D．20°7．请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于角的示意图，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出∠A′O′B′=∠AOB的依据是()A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS8．如图，在△ABC中，DE垂直平分AC，假设BC=20cm，AB=12cm，那么△ABD的周长为()A．20cm B．22cm C．26cm D．32cm9．如图，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=9，BC=6，将△ABC折叠，使A点与BC的中点D重合，折痕为MN，那么线段AN的长等于()A．3 B．4 C．5 D．610．勾股定理被誉为“几何明珠〞，在数学的开展历程中占有举足轻重的地位．如图1是由边长相等的小正方形和直角三角形构成的，可以用其面积关系验证勾股定理．图2是由图1放入长方形内得到的，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，点D、E、F、G、H、I都在长方形KLMJ的边上，那么长方形KLMJ的面积为()A．90 B．100 C．110 D．121二、细心填一填：本大题共8小题，每题3分，共24分．把答案填在横线上．11．25的算术平方根是__________．12．写出一组你喜欢的勾股数：__________．13．用四舍五入法，把1890mL〔精确到1000mL〕取近似值万，用科学记数法可表示为__________mL．14．在直角三角形中，两条直角边的长度分别为5cm和12cm，那么斜边长为__________cm．15．等腰三角形的一个内角等于40°，那么它的顶角是__________°．16．如图，AC=AE，∠1=∠2，要使△ABC≌△ADE，还需添加的条件是〔只需填一个〕__________．17．在等边△ABC中，AB=2cm，点D是BC边上的任意一点，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，BN⊥AC于点N，那么DE+DF=__________cm．18．如图，在△ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，那么EC+ED的最小值是__________．三、用心做一做：本大题共2小题，每题8分，共16分．解容许写出文字说明、推理过程或演算步骤．19．求以下各式中x的值〔1〕〔x﹣1〕2﹣4=0〔2〕2x3+4=20．20．如图：A村和B村在公路l同侧，且AB=3千米，两村距离公路都是2千米．现决定在公路l上建立一个供水站P，要求使PA+PB最短．〔1〕用尺规作图，作出点P；〔作图要求：不写作法，保存作图痕迹〕〔2〕求出PA+PB的最小值．四、耐心做一做：本大题共2小题，每题7分，共14分．解容许写出文字说明、推理过程或演算步骤．21．如图：在△ABC中，AB=AC，求证：∠B=∠C．22．如图，在△ABC中，BD、CE是高，G、F分别是BC、DE的中点，连接GF，求证：GF⊥DE．五、耐心做一做：本大题共2小题，每题8分，共16分．解容许写出文字说明、推理过程或演算步骤．23．将长方形纸片ABCD按如下顺序进行折叠：对折、展平，得折痕EF〔如图①〕；沿GC折叠，使点B落在EF上的点B′处〔如图②〕；展平，得折痕GC〔如图③〕；请你求出图②中∠BCB′的度数．24．如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4cm，假设O是BC的中点，动点M在AB移动，动点N在AC上移动，且AN=BM．〔1〕证明：OM=ON；〔2〕四边形AMON面积是否发生变化，假设发生变化说明理由；假设不变，请你求出四边形AMON的面积．六、耐心做一做：本大题共2小题，每题10分，共20分．解容许写出文字说明、推理过程或演算步骤．25．〔1〕如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上且CE=CA，试求∠DAE的度数；〔2〕如果把第〔1〕题中“∠BAC=90°〞的条件改为“∠BAC＞90°〞，其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC有怎样的数量关系？26．材料阅读：在小学，我们了解到正方形的每个角都是90°，每条边都相等；本学期，我们通过折纸得到定理：直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半；同时探讨得知，在直角三角形中，30°的角所对的直角边是斜边的一半．〔1〕如图1，在等边三角形△ABC内有一点P，且PA=2，PB=，PC=1．求∠BPC的度数和等边△ABC的边长．聪聪同学的思路是：将△BPC绕点B逆时针旋转60°，画出旋转后的图形〔如图2〕．连接PP′．根据聪聪同学的思路，可以证明△B