数学基础知识及其在西方经济学中的应用

数学基础知识及其在西方经济学中的应用西方经济学是一门综合性较高的课程,有必定的难度，需要必定的数学知识基础．这里我们给大家整理了一些必要的数学基础知识,帮助大家学好西方经济学这门课程．一、经济模型中运用的图形经济模型是对经济或公司与家庭这种经济构成部分进行的简化的描绘。它包含能够用方程式或图形中曲线表示的经济行为的表述.经济学家利用模型来揭露不一样政策或其余要素对经济的影响，在方法上与采纳模型飞机测定风洞随和候模式有近似之处。在经济模型中你将碰到很多不一样的图形,一旦你学会认识这些种类，你就会很快认识图形的含义．在图形中看到的种类有以下四种状况:１、同方向改动的变量同方向改动的两种变量之间的关系称为正有关或许同方向有关。图1—１表示正有关图形的三种状况.图a表示一种两个变量同时增加的正有关，图形沿着愈来愈峻峭的曲线挪动;图ｂ表示一种正有关线性关系，图形是一条直线；图c表示一种两个变量同时增加的正有关，图形沿着愈来愈平展的曲线挪动。图1—２中的全部线-—不论它是直线仍是曲线——都称为曲线.yabcox图1—2:正有关图形的三种状况2、反方向改动的变量反方向改动的两种变量之间的关系称为反有关或许反方向有关。图１—3表示反有关图形的三种状况。图a表示一种一个变量增加、另一个变量减少的负有关，图形沿着愈来愈陡峭的曲线挪动；图ｂ表示一种负有关线性关系，图形是一条直线；图c表示一种图形沿着越来越平展的曲线挪动的负有关。yabcox图1—3:负有关图形的三种状况13、有最大值或最小值的变量yy产量最大成本A成本产产量递减量递加递加递减B成本最小oxox(a)(b)图1-４：有最大值与最小值的图形图(a）表示有一个最大值点A的曲线，点A的左侧产量递加,右侧产量递减,在点Ａ处达到产量最大;图（b)表示有一个最小值点Ｂ的曲线，点B的左侧成本递减,右侧成本递加,在点处成本最小。4、没关的变量yyoxox(ａ）(b）图1—5：没关变量的图形有很多状况是不论一个变量发生什么改动,另一个变量都不变。上图(a）表示不论ｘ如何改动，y的数值不变；图（ｂ)表示不论y怎样改动，x的数值不变。25、一种关系的斜率我们能够用关系的斜率来权衡一个变量对另一个变量的影响.一种关系的斜率是用y轴权衡的变量的值的改动量除以用x轴权衡的变量的值的改动量.我们用希腊字母代表“变动量”，x指ｘ轴权衡的变量的值的改动量,这样关系的斜率是:y/x。。(a)正斜率(b）负斜率图1—6:一条直线的斜率不论你计算直线上哪个地方,一条直线的斜率是同样的。可是一条曲线的斜率是多变的，取决于我们计算线上的哪个地点。有两种方法能够计算一条曲线的斜率:在曲线某一点上的斜率称为点斜率,而某一段弧的斜率称为弧斜率。如图１-7所示:（a)点斜率(b)弧斜率图1-７：一条曲线的斜率3二、导数的定义与几何意义１、导数的定义定义:设函数yfx在点x0及其邻域内存心义limyx,假如极限x0

存在,则称函数yfx在点x0处可导,并称此极限值为函数yfx在点x0处的导数，记作fx0yfx0xfx0limlimx（1。1）x0xx0导数还采纳以下符号：dyy

xx0dfxxx0,或dx所以曲线例１、求抛物线

yfx在点x0的切线的斜率能够表示为fx0。yx2在点x1处的切线的斜率。解:fxx2,由式（1）得f1lim1x212lim2x2x0xx0所以抛物线yx2在点x1处的切线的斜率为2。dy我们把计算导数的运算称为求导运算,或许微分运算.需要指出的是，导数记号dx不可以简单的视为除法运算,当前我们要把它看作一个整体记号。fxydydfx又记作：或dx或dx明显,函数yfx在点x0的导数正是该函数的导函数fx在点x0的值,即fx0fxxx01.2）在求导数时,若没指明求哪一点的导数,都是指求导函数。例2、设yx3,求y，y(1)，y(2)解：这里fxx3,由导数的定义式(1)得:y3x24y(1)yx13x2x13所以,y(2)yx23x2x212同理可得(x)1,(x4)4x3,并推行为对随意实数，成立(x)x111(x)x21x2比如:(x10)10x92fx1x,求f3。例３、设解:先求fx,有fx1x1x21xx2

12xf1139则x2x3对导数的定义,我们应注意以下三点：（1）△x是自变量x在x0处的增量(或改变量)；y(2）导数定义中还包含了可导或可微的观点,假如△x→0时，x有极限，那么函数y=f(x）在点x0处可导或可微，才能获得f(x)在点x0处的导数.(3)假如函数y=f(ｘ）在点x0处可导,那么函数y=f（x)在点x0处连续(由连续函数定义可知)。反之不必定成立。比如函数y=｜x|在点ｘ=０处连续,但不行导.2、导数的几何意义函数y=ｆ（x)在点x0处的导数，就是曲线y=(x）在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率。由此,能够利用导数求曲线的切线方程。详细求法分两步:（１）求出函数y=ｆ(x)在点x0处的导数,即曲线y＝f（ｘ)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率；（2)在已知切点坐标和切线斜率的条件下,求得切线方程为yy0f'(x0)(xx0)（１。３）5特别地,假如曲线y＝ｆ(x）在点P(x0,f(x0))处的切线平行于y轴，这时导数不存在,依据切线定义，可得切线方程为xx0.例４、求过曲线yx上的点x1处的切线方程。解：把x1代入yx得y1,得曲线yx在1,1处的切线方程为:y1f1x1fxx1f112x，所以2,则切线方程为：因为y11x12y1x122假如函数yfx在x0处可导,那么曲线yfx在此点处圆滑连结(不中断或没有尖角）,且曲线yfx在点x0,y0处有不垂直于x轴的切线.3、导数的运算(1)和、差的导数前面我们学习了常有函数的导数公式,那么对于函数f(x)x3x2的导数，又怎样求呢?我们不如先利用导数的定义来求.f'(x)limf(xx)f(x)lim(xx)3(xx)2(x3x2)x0xx0xlim3x2x3x(x)2(x)32xx(x)2x0xlim(3x22x3xx(x)2x)x03x22x我们不难发现(x3x2)'3x22x(x3)'(x2)'，即两函数和的导数等于这两函数的导数的和．同时能够推导出：两函数差的导数等于这两函数的导数的差。这就是两个函数的和(或差)的求导法例。（2)积的导数两个函数的积的求导法例,只需求记着并能运用就能够。（A）(uv)'u'v';uvuvuv（B）若c为常数，则(cu)′=ｃｕ′.（３)商的导数6两个函数的商的求导法例,只需求记着并能运用就能够。yf(x)u(x)v(x)设u(xx)u(x)v(x)u(x)v(xx)v(x)yxxxv(xx)v(x)因为v(ｘ)在点x处可导,所以它在点x处连续,于是△x→0时，v(ｘ+△x)→v(x)，进而limyu'(x)v(x)u(x)v'(x)即y'u'u'vuv'xv(x)2v2x0v。u'u'u'u'vuv'说明:（1）vv'；（2）vv2学习了函数的和、差、积、商的求导法例后,由常函数、幂函数及正、余弦函数经加、减、乘、除运算获得的简单的函数，均可利用求导法例与导数公式求导,而不需要回到导数的定义去求。例5、求以下函数的导数yx23解:yx36x212x8x36x212x83x212x12三、导数在经济剖析中的应用本节介绍导数在经济剖析中的应用,以展现导数应用的各个视角,供学习者在其余领域中应用导数解决实质问题供给借鉴.1、边沿剖析x的函数,分别记在生产和经营活动过程中,产品成本、销售收入以及产销收益都是产量为Cx,Rx和Lx。假如生产者按定单组织生产，那么销售量与产量同样,就有LxRxCx明显有:LxRxCx经济函数的导数称为它们各自的边沿函数,(1)边沿成本:成本函数Cx对产量x的变化率Cx称为边沿成本，记成MCx;（2）边沿收入：收入函数Rx对产量x的变化率Rx称为边沿收入，记成MRx;（3)边沿收益:收益函数Lx对产量x的变化率Lx称为边沿收益,记成MLx;以边沿成本为例，说明边沿函数的经济意义.7MCxCx

C因为x考虑到经济物件在多半状况下是不行切割的,即当x1时,成立CMCx因此边沿成本表示在x的水平上再多生产一个单位产品所需增加的成本；同理，边沿收入表示在x的水平上再多生产一个单位产品所增加的收入；边沿收益表示在x的水平上再多生产一个单位产品所增加的收益．若边沿成本Cx较大，则产量在x水平上增产所需要增加的成本也较大，表示增产潜力较小;若边沿成本Cx较小,则产量在x水平上增产所需要增加的成本也较小，表示增产潜力较大.x2x的函数Cx900例１、某产品总成本为产量100,求生产１00个产品的均匀成本及边际成本。CxCx900xxx100,于是生产解：均匀成本函数1０0个产品的均匀单位成本为C10010。CxxC1002。50,于是生产边沿成本函数1０0个产品时的边沿成本为这说明：生产前100个产品时，均派在每个产品上的成本为10元，在此基础上生产第1０1个产品，所需要增加的成本大概为2元。Cq1002qp例2、某商品均匀成本函数为(元/公斤）,每公斤售价元，需求函数为800100p,求边沿成本，边沿收入，边沿收益。CqCqq1002q1002q解:成本函数为q于是边沿成本Cq2pq从需求函数q800100p8解出：100，则收入函数Rqpq8qq2q8q1001008Rqq8于是边沿收入50LqqqRqCq826边沿收益为5050此题中的边沿成本恒等于2表示成本的变化率是常数，它说明，每增加生产单位产品成本将增加为２,而每增加生产单位产品的边沿收益却在变化。比如:L1004,L3000,而L5004,这意味着，盲目扩大生产规模，不一定增加经济效益。２、弹性剖析x在实质应用中，常把函数yfx的导数y乘上y称为函数y对自变量x的弹性,记为Eyx,即eyxxyyy所以eyxxlimylimyyx0xx0xxy从而eyxyyxxxy（１。4）xxyy相应因为x表示当自变量从x增加到xx时，x增加的百分数;y表示因变量增加的百分数。所以从（１．４)式知道，函数弹性的实质意义就是当自变量在x的水平上增加一个百分点时，因变量y大概增加的百分点。弹性在经济剖析中有重要的实质意义，第２章有更为详细的内容进行剖析.四、经济中的最值剖析怎样能够做到均匀成本最小,收益最大是公司追求的两个主要目标，以下我们将议论这一问题。求函数的最值问题需要用到以下对于极值和最值关系的定理。定理１：设函数fx在区间I上连续,在I内可导,而且在I内有独一驻点x0,假如x0是函数fx的极小(大)值点,则x0必是fx的最小（大）值点。经济函数最值的求解步骤以下：9１、依据实质问题的详细状况，成立目标函数关系式;2、求目标函数的驻点;3、假如只有独一的驻点,而且是极小(大)值点,那么该点就是所求的最小(大)值点。例3、已知固定成本为4万元,改动成本为x3（万元),问年产量为多少时才能使均匀成本C最低？（产量单位为百吨）解：依据题意,总成本函数Cx4x3，于是,均匀成本函数为CxCx4xxx对均匀成本函数求导得Cx418xxx22x2x2令Cx0,有xx8,获得独一驻点x4,简单考证x4为极小值点。所以年产量为4百吨时均匀成本最低.例4、某商品的需求函数为q80008p,问销售量为多少时才能使总收入R最多？解：目标函数为总收入函数,由Rpq,得Rqq1000qq2q81000qRq100084令Rq0，获得独一驻点q4000，