高一数学期末复习同步专题-解三角形与数列中的最值问题练习含解析

直线的一般式方程选择题1．在中，已知，如果有两组解，则的取值范围是()A． B． C． D．【答案】A【解析】由已知可得，则，解得.故选A.2．在中，角所对的边分别为，已知，为使此三角形有两个，则满足的条件是（）A． B． C． D．或【答案】C【解析】C到AB的距离d=bsinA=3，∴当3＜a＜2时，符合条件的三角形有两个，故选C．3．在中，角，，所对应的边分别为，若，，则面积的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】由正弦定理得：由余弦定理得：，即当且仅当，，时取等号，,则，所以面积的最大值1.故选:.4．如图，已知是半径为1，圆心角为的扇形，点分别是半径及扇形弧上的三个动点（不同于三点）,则周长的最小值是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】作点C关于线段OQ，OP的对称点C1，C2．连接CC1，CC2．则C△ABC=C1B+BA+AC2≥C1C2．

又∵C1C2=而∠C1OC2=∠C1OQ+∠QOC+∠COP+∠POC2=2（∠QOC+∠POC）=2∠QOP=150°∴==．∴△ABC的周长的最小值为．故选：B．5．已知锐角中，角所对的边分别为，若，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，因为为锐角三角形，所以，，，故,选B.6．在各项均为正数的等比数列中，公比，若，，，数列的前项和为，则取最大值时，的值为()A．8 B．8或9 C．9 D．17【答案】B【解析】是等比数列且，公比,

，解得，，

,

则，

，则，

由.

数列是以4为首项,以为公差的等差数列.

则数列的前项和，

令，

时,，

当或9时,取最大值.故选B.7．设，若是与的等比中项，则的最小值为()．A．9 B．3 C．7 D．【答案】A【解析】是与的等比中项，（当且仅当，即时取等号），即本题正确选项：8．已知等数差数列中，是它的前项和，若且,则当最大时的值为（）A．9 B．10 C．11 D．18【答案】A【解析】因为为等差数列，且，所以，因此，所以所以等差数列的前9项均为正数，因此，最大时的值为9.故选A9．已知数列中，，且，则数列的最大项的值是()A． B． C． D．76【答案】B【解析】，，数列是公差为的等差数列，，，，，又数列是单调递减数列，数列的前项和最大，即最大，数列的最大项是第16项，又，，数列的最大项的值是，故选B．10．已知数列满足：，，若，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】，，，即，数列为等比数列，其首项为：，公比为2，，，又，数列是单调递增数列，解得：,此时为增函数，满足题意。故答案选B。11．已知数列满足，，记，则数列的最大项是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据题意，当时，当时，由和，两式相除得，即，所以数列是首项为，公差为的等差数列，所以;当时，；当时，，所以为数列的最大项.12．在中，内角，，所对应的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为（）A．4 B．5 C． D．【答案】D【解析】根据题意，因为的平分线交于点，且所以而所以，化简得即则当且仅当时取等号，即最小值为所以选D二、填空题13．在锐角中，内角所对的边分别为，若，且满足，则周长的取值范围是__________．【答案】.【解析】由及正弦定理知，，，，又，，，根据正弦定理得，，又是锐角三角形，，的取值范围是，周长的取值范围是.14．记等差数列的前n项和为，且，.若数列满足，则满足的k的最小值为_______.【答案】11【解析】设等差数列的公差为，则，解得，故，，则.当时，，两式相减可得，故（*）；当时，符合（*）式，故，则，即.因为，，所以k的最小值为11.15．已知数列满足，，若，且数列是递增数列，则实数的取值范围是_________．【答案】【解析】由且，得，，，∴，因为数列是递增数列，且，所以.当n为奇数时，，当n为偶数时，，综上，实数的取值范围是．故答案为：16．在中，角，，的对边分别为，，，若，且，则的取值范围为________________．【答案】.【解析】因为所以由正弦定理可得，又因为，所以由正弦定理可得，即，所以，因为，所以，因为，当且仅当时取等号，所以，所以，即，所以，故的取值范围为．三、解答题17．如图所示，某公路AB一侧有一块空地△OAB，其中OA=3km，OB=3

km，∠AOB=90°．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上（M，N不与A，B重合，M在A，N之间），且∠MON=30°．（1）若M在距离A点2km处，求点M，N之间的距离；（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小．试确定M的位置，使△OMN的面积最小，并求出最小面积．【答案】（1）；（2）【解析】（1）在△OAB中，因为OA=3，OB=3，∠AOB=90°，所以∠OAB=60°．在△OAM中，由余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AO•AM•cosA=7，所以OM=，所以cos∠AOM==，在△OAN中，sin∠ONA=sin（∠A+∠AON）=sin（∠AOM+90°）=cos∠AOM=．在△OMN中，由=，得MN=×=．（2）解法1：设AM=x，0＜x＜3．在△OAM中，由余弦定理得OM2=AO2+AM2-2AO•AM•cosA=x2-3x+9，所以OM=，所以=，在△OAN中，sin∠ONA=sin（∠A+∠AON）=sin（∠AOM+90°）=cos∠AOM=．由=，得．所以S△OMN=OM•ON•sin∠MON=•••=，（0＜x＜3）．令6-x=t，则x=6-t，3＜t＜6，则S△OMN==（t-9+）≥•（2-9）=．当且仅当t=，即t=3，x=6-3时等号成立，S△OMN的最小值为．所以M的位置为距离A点6-3

km处，可使△OMN的面积最小，最小面积是

km2．解法2：设∠AOM=θ，0＜θ＜在△OAM中，由=，得OM=．在△OAN中，由=，得ON==．所以S△OMN=OM•ON•sin∠MON=•••=====，（0＜θ＜）．当2θ+=，即θ=时，S△OMN的最小值为．所以应设计∠AOM=，可使△OMN的面积最小，最小面积是

km2．18．在中，、、分别是角、、的对边，且.（1）求角的值；（2）若，且为锐角三角形，求的取值范围.【答案】(1).(2).【解析】（1）由题意知，∴，由余弦定理可知，，又∵，∴.（2）由正弦定理可知，，即∴，又∵为锐角三角形，∴，即，则，所以，综上的取值范围为.19．已知数列满足，且.（1）求数列的通项公式；（2）设，记的前项和为，证明：.【答案】(1).(2)见解析.【解析】（1）是等差数列，公差为..（2）,,,，.20．已知数列满足，，.（1）求证数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）设，数列的前项和，求证：【答案】（1）证明见解析，；（2）见解析.【解析】（1）由得：即，且数列是以