2建筑形体的投影解析课件

单元2建筑形体的投影

?2.1投影的基本知识

?2.2点线面的投影

?2.3体的投影

?2.4剖面图和断面图

单元2建筑形体的投影

1了解投影的基本知识，掌握三面投影图；

2掌握点的投影、直线的投影和平面的投影；3掌握形体上点线的投影；

4掌握剖面图断面图的画法。

§2.1

投影的基本知识

?

投影原理是绘制投影的基础。建筑

工程中所用的图样，都是用投影的

方法绘制出来的。

1、投影概念

投影(Projecting)就如我们日常生活中常见的一个现象:『利用光线将物体的影子投射到墙壁上』。

这时把光源当成人的眼睛（投影中心）,把球当成被投影的物体（形体）;把光线当成视线（投影线）;把平的墙壁当成投影面;最后墙壁上的影子就是球的投影。

投射中心

投射线

投影

投影面

2、投影法分类

中心投影

投影法

斜投影

平行投影

正投影

中心投影法

投射线都从投影中心出发，在投影面上作出物体投影的方法叫做中心投影法。

特点：投影的大小与形体离投影中心的距离有关。

平行投影法

用相互平行的投射线，在投影面上作出物体投影的方法叫做平行投影法。

斜投影

投射线倾斜于投影面的投影方法叫斜投影。

（a)斜投影

正投影

投射线垂直于投影面的投影方法叫正投影。

（b)正投影

小结：投影法分类

中心投影

投影影线集中一点S投影法

平行投影

投影方向倾斜投影面时斜投影

所作出形体的平行投影

投影方向垂直于投影面正投影

时所作出形体的平行投影

3、工程常用的投影

透视投影

?

轴测投影

?

正投影

?

标高投影

?透视投影图

按中心投影法画出的单面投影面。

优点：图形逼真，直观性强。

缺点：作图复杂，形体

的尺寸不能直接在图中

度量，故不能作为施工

依据，仅用于建筑设计

方案的比较及工艺美术和宣传广告画等。

轴测投影图

用平行投影法画出的投影图（立体图），

画图时只需一个投影面。

优点：立体感强，非常直观

缺点：作图较繁，表面形状在

图中往往失真，度量性差，只

能作为工程上的辅助图样。

正投影图

采用相互垂直的两个或两个以上的投影面，按正投

影方法在每个投影面上分别获得同一物体的正投

影，然后按规则展开在一个

平面上，便得到物体的多面

正投影图。

优点:是作图较其他图示法

简便，便于度量，工程上

应用最广，但缺乏立体感。

标高投影图

标高投影

是一种带有数字标记的单面正投影。在建筑工程上，

常用它来表示地面的形状，作图时，用一组等距离的水平面切

割地面，其交线为等高线。将不同高程的等高线投影在水平的

投影面上，并注出各等高线的高程，即为等高线图，也称标高

投影图。

4、平行投影的特性

1.同素性：直线的投影一般情况下还是直线。

2.从属性：若点在直线上，则点的投影必在直线的

投影上。

B

A

C

A

B

abacd同素性

从属性

3.显实性：若直线、平面平行于投影面，则投影反映

其实形。

4.类似性：若直线、平面倾斜于投影面，则投影与其

相仿。

显实性

类似性

5.积聚性：当直线或平面

与投影面垂直时，其投影分

别积聚为一点或一直线。

6.平行性：若两直线平行，则其投影必相互平行。

ABabSABCbcDad积聚性

平行性

7.定比性：

①

点分线段成某一比例，则点的投影分线段的投影

成相同的比例。

②

两平行直线段长度之比，等于它们投影长度之比。

定比性

ABCDC

A

B

AAB:CD=ab:cdBCbcdDac

d

a☆

正投影规律

?真实性

直线（平面）平行于投影面时，

投影反映实长（实形）

?积聚性

直线（平面）垂直于投影面时，

投影积聚为一点（线）

?类似性

直线（平面）倾斜于投影面时，

投影小于实长（实形）

4、

正投影图的形成及特性

１、物体的一个投影不能完全确定物体的形状。

?

三面投影的必要性

举例：将下列不同物体向同一投影面投射，得到

同样的视图。

?２、有时物体的二个投影也不能完全确定物体的形状。

结论：一个视图不能反映空间物体的真实形状，需用

多个视图，常用三视图。

?

三视图的形成

1.建立三投影体系

用三个互相垂直的平面组成三个投影面，即正立面（V表示）、水平面（H表示）、侧立面（W表示）。三面的交线称为投影轴，OX轴是V和H面交线，OY轴是H和W面交线，OZ轴是V和W面交线，三轴交于O点。

2、三视图的形成

正立面（V）投影

水平面（H）投影

侧立面（W）投影

三面投影图需要展平在同一平面上

（H面下转90°，W面右转90°）。

将空间物体放在三维体系当中，向三面投影，得到三面投影图。

1、位置关系

?以正立面图为准，水平投影图在它的正下方，侧面投影在它的正右侧，位置固定，不必标注。

空间三向度

一般形体都具有长、宽、高三个方向的尺度。

?长度：形体最左至最右两点之间平行于OX轴方向的距离。

（即左右距离）

?宽度：形体最前至最后两点之间平行于OY轴方向的距离。

（即前后距离）

?高度：形体上最上至最下两点之间平行OZ轴方向的距离。

（即上下距离）

3、三视图与物体的方位对应关系

2、三面投影图的投影规律

投影规律：

?

长对正

?

高平齐

?

宽相等

正立面投影图

反映物体的

上、下和

左、右方位。

水平投影图

反映物体的

前、后

和

左、右方位。

侧立面投影图

反映物体的

前、后和

上、下方位

点线面的符号

规定空间形体上的点用大写字母A、B、C…表

示，其H面投影用相应的a、b、c…表示，V面

投影用相应的a′、b′、c′表示，W面投影

用a〞、b〞

、c〞。

投影图中直线段的标注，用直线段两段的字母

表示。

空间的面通常用P、Q、R…表示。

§2.2点、线、面的投影

任一形体都可视为由点、线、面所组成，

其中点是最基本的几何元素。

一、点的三面投影

1、点的三面投影及其规律

空间点A放置在三面投影体V

Z

a?

ax

H

A

aaz

O

a?'W

ay

Y

系中，过点A作垂直于H面、V面、W面的投影线

X

投影线与H面的交点（即垂足点）

a称为A点的水平投影（H投影）；

投影线与V面的交点a′称为A点的正面投影（V投影）；投影线与W面的交点a″称为A点的侧面投影（W投影）。

空间点A的三面投影分别用a、a′、a″表示。

一般只画出投影轴，

不画投影面的边框

点的三面投影

ZV

通常我们用大写字母表示空间的点，相应的小写字母表示其水a?'W

a?

ax

A

az

平投影，小写字母加一撇表示其正面投影，小写字母加两撇表示其侧面投影。

X

Oa

Hay

Y点的三面投影图

Z

V

a?

Xax

A

OaHaz

a?'Way

Yaay

Xax

Oa?

Zaz

a?'ay

YWYH点的投影规律

Z

a?

az

a?'ay

Xax

OYW水平投影和正面投影的连线垂直于OX轴

（长对正）；

正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴

（高平齐）；

水平投影到OX轴的距离等于侧面投影到OZ轴的距离（宽相等）。

aay

YH可得出点的投影特性如下：

（1）点的投影的连线垂直于相应的投影轴。

（2）点的投影到投影轴的距离，反映该点到相应的投影面的距离。【例3-1】

已知点A的水平投影a和正面投影a′，求其侧面投影a″

解:作图步骤如下:2、点的坐标

1．投影与坐标

引入直角坐标的概念，将三面投影体系中的三个投影面看作是直角坐标系中的三个坐标面，则三条投影轴相当于坐标轴，原点相当于坐标原点。

点A的空间位置可用其直角坐标表示为A(x,y,z),x坐标反映空间点A到W面的距离；y坐标反映空间点A到V面的距离；z坐标反映空间点A到H面的距离。

点的一个投影能反映两个坐标，反之点的两个坐标可确定一个投影。

点的投影与直角坐标的关系

Z

V

a?

az

y

Xax

A点的x坐标＝aay=a'azA点的y坐标＝aax=a''azA点的z坐标＝a'ay=a''ay

a?'WA

x

Oz

aHay

Y【例3-2】

已知点A(14,10，20)，作其三面投影图。

解:作图步骤如下:（1）方法一

（2）方法二

2．特殊位置点的投影

（1）投影面上的点

（2）投影轴上的点

?三、两点的相对位置

空间两点的相对位置，是以其中一个点为基准，来判断另一个点在该点的前或后、左或右、上或下。

在投影面的重影点

H面的重影点

V面的重影点

W面的重影点

重影点

Ａ点和Ｃ点相对于Ｈ面是重影点。

二、直线的投影

直线在空间座标面上的投影，会因直线与投影面之相对位置的不同，而有三种情況：

直线与投影面垂直

直线与投影面平行

直线与投影面傾斜

由于直线的投影一般情况下仍为直线，且两点决定一直线，故要获得直线的投影，只需作出已知直线上的两个点的投影，再将它们相连即可。

Vb'

B

a'

XOb

a

HA直线的分类

投影面垂直线

直

线

特殊位置直线

投影面平行线

一般位置直线

二、特殊位置直线

1.投影面垂直线

垂直于一个投影面，同时平行于其它两个投影面的直线。铅垂线——垂直于H面，同时平行于V、W面的直线。

正垂线——垂直于V面，同时平行于H、W面的直线。侧垂线——垂直于W面，同时平行于H、V面的直线。

铅垂线（垂直于H面，同时平行于V、W面的直线）

VZ

a?

a?

Z

a?

b?

YW

Ab?

X

O

BHa(b)

W

a?

b?

X

O

b?

a(b)

Y

YH

水平投影积聚为一点；正面投影及侧面投影平行于OZ轴，且反映实长。

正垂线（垂直于V面，同时平行于H、W面的直线）

VZ

a?b?

ABO

a

b

Ha?

W

b?

X

a

O

YW

(a?)b?

Z

a?

b?

X

b

YH

Y

正面投影积聚为一点；水平投影及侧面投影平行于OY轴，且反映实长。

侧垂线（垂直于W面，同时平行于H、V面的直线）

VZ

a?

b?

a?b?

BW

O

X

O

b

YH

Ha

YW

a?

b?

Z

a?(b?)AX

a

b

侧面投影积聚为一点；水平投Y

影及正面投影平行于OX轴，且反映实长。

投影面垂直线的投影特性:

投影面垂直线的投影特性可概括如下：

（1）直线在它所垂直的投影面上的投影积聚成一点；

（2）该直线在其他两个投影面上的投影分别垂直于相应的投影轴，且都等于该直线的实长。

事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影平行于同一投影轴，则另一投影必积聚为一点；只要空间直线的三面投影中有一面投影积聚为一点，则该直线必垂直于积聚投影所在的投影面。

特殊位置直线

2.投影面平行线

平行于一个投影面，同时倾斜于其它两个投影面的直线。

水平线——平行于H面，同时倾斜于V、W面的直线。

正平线——平行于V面，同时倾斜于H、W面的直线。

侧平线——平行于W面，同时倾斜于H、V面的直线。

水平线（平行H面，同时倾斜于V、W面的直线）

Va?

AZ

b?

?

Z

a?

a?

b?

a?

b?

?

B

X

a

O

W

b?

X

a

O

YW

?

?

Hb

Y

b

YH

水平投影反映实长及倾角，正面投影及侧面投影垂直于OZ轴

正平线（平行V面，同时倾斜于H、W面的直线）

Va?

Z

b?

b?

Z

b?

?

BA

b?

a?

?

a?

?

?

a?

W

X

O

YW

X

a

b

O

a

b

HY

YH

正面投影反映实长及倾角，水平投影及侧面投影垂直于OY轴

侧平线（平行W面，同时倾斜于H、V面的直线）

Va?

A

b?

Z

a?

a?

Z

a?

?

W

?

?

a

b?

?

b?

X

O

Bb?

X

a

O

YW

Y

侧面投影反映实长及倾角，水平投影及正面投影垂直于OX轴

Hb

b

YH

投影面平行线的投影特性

投影面平行线的投影特性可概括如下：

（1）直线在它所平行的投影面上的投影反映实长，且反映对其他两个投影面倾角的实形；

（2）该直线在其他两个投影面上的投影分别平行于相应的投影轴，且小于实长。

事实上，在直线的三面投影中，若有两面投影垂直于同一投影轴，而另一投影处于倾斜状态，则该直线必平行于倾斜投影所在的投影面，且反映与其他两投影面夹角的实形。

一般位置直线

对三个投影面都倾斜的直线称为一般位置直线。

VZ

b?

B

a?

X

Aa

Hb?

a?

X

O

a?

YW

b?

Z

b?

?

?

O

?

b

W

b

a?

Y

a

YH

一般位置直线的投影特性

一般位置直线的投影特性：

1）三面投影均不反映直线的实长（均小于实长）；

2）直线与投影面之间的倾角在投影图中均不反映实

形。

事实上，只要空间直线的任意两个投影都呈倾斜状态，则该直线一定是一条一般位置直线。

直线与点的相对位置

判别方法：

?

若点在直线上,则点的投影必在直线的同面投影上。即具有从属性。

V

c?

a?

C

d?

b?

B

?若点在直线上，则点将线段的同面投影分割成与空间直线相同的比例。即具有定比性：

AC/CB=ac/cb=ac/cb

DA

?若点的投影有一个不在直线的同名投影上，

则该点必不在此直线上。

在

C点

直线AB上

不在

直线AB上

D点

a

c

b

dH

例2：判断点K是否在线段AB上。

a?

k?

●

b?

a●

kba?

●

k?

b?

因k?不在a?b?上，

故点K不在AB上。

另一判断法是

应用定比定理

因a?k?:k?b'≠ak:kb

故点K不在AB上。

两直线的相对位置

空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。

⒈

两直线平行

a′c′Obacdb′d′X投影特性：

空间两直线平行，则其各同面投影必相互平行，反之亦然。

例：判断图中两条直线是否平行。

①

a?

Xb?

d?

c?

a

c

b

对于一般位置直线，只要有两个同名投影互相平行，空间两直线就平行。

d

结论：AB//CD例：判断图中两条直线是否平行。

②

c?

c?

a?

d?

a?

d?

b?

对于投影面平行线，只有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。若用两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。

b?

bcda如何判断

求出侧面投影

结论:AB与CD不平行

2.两直线相交

Vc?

k?

a?

XCb?

d?

KDdkcBa?

交点是两直线的共有点

c?

b?

k?

d?

AabHackdb判别方法：若空间两直线相交，则其同名投影必相交，

且交点的投影必符合空间一点的投影规律。

例：过C点作水平线CD与AB相交。

b?

●c?

k?

d?

a?

a●

cdkb先作正面投影

3.两直线交叉

AB与CD两直线相交吗

d?

●

a?

1?(2?)3?

4?

c?

●

●

投影特性：

b?

bca●

2●

?

同名投影可能相交，但

“交点”不符合空间一个点的投影规律。

?

“交点”是两直线上的一

对重影点的投影，用其可帮助判断两直线的空间位置。

3(4)1●

dⅠ、Ⅱ是Ｖ面的重影点，Ⅲ、Ⅳ是H面的重影点。

结论：AB与CD两直线不相交

两直线垂直相交（或垂直交叉）

直角的投影特性：

证明：

Cba设直角边BC//H面

因BC⊥AB,同时BC⊥Bb所以BC⊥ABba平面

若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。BAcHb?

c?

又因BC∥bc故bc⊥ABba平面

因此bc⊥ab即∠abc为直角

a?

.bca结论:直线在H面上的投影互相垂直

例：过C点作直线与AB垂直相交。

a?

.d?

c?

ca

●

b?

AB为正平线,正面

投影反映直角。

●

db

三、

平面的投影

1、平面的表示方法

2、各类平面的投影特性

1、平面的表示方法

Z

下列五种方式可表达一平面：

V（1）不在同一直线上的三个点；

（2）一直线和直线外一点；

B

W

（3）两相交直线；

（4）两平行直线；

（5）任意平面图形。

X

A

C

H

Y

用几何元素表示平面

b?

a?

XOXb?

c?

a?

OXb?

c?

ca?

OXc?

cOabca?

abad?

b?

bXc?

cOabd2、各类平面的投影特性

投影面平行面

特殊位置平面

空间平面

一般位置平面

投影面垂直面

面的投影

平面之投影：平面与投影面之相对位置的不同，而有下列三种情形：

平面与投影面垂直

平面与投影面平行

平面与投影面傾斜

投影面平行面

对一个投影面平行，同时垂直于其它两个投影面的平面。

水平面——平行于H面，同时垂直于V、W的平面

正平面——平行于V面，同时垂直于H、W的平面

侧平面——平行于W面，同时垂直于H、V的平面

水平面的投影特性

Z

V

p'

p

P

X

p

H

Y

O

水平投影反映实形；正面投影和侧面投影积聚为一条直线并平行于相应的投影轴。

Z

p'

p

O

YW

W

X

p

YH

正平面的投影特性

Z

V

p'

p

P

p

H

W

O

X

正面投影反映实形；水平投影和侧面投影积聚为一条直线并平行于相应的投影轴。

Z

p'

O

p

YW

X

p

Y

YH

侧平面的投影特性

Z

V

p'

p

p'

P

p

H

Y

侧面投影反映实形；水平投影和正面投影积聚为一条直线并平行于相应的投影轴。

Z

p

W

X

p

O

YW

X

O

YH

总结

投影面平行面的投影特性可概括如下：

（1）平面在它所平行的投影面上的投影反映实形；

（2）平面在另外两个投影面上的投影积聚成直线，

且分别平行于相应的投影轴。

事实上，在平面的两面投影中，若有一面投影积聚为平行于某投影轴的直线，则此平面必为该投影轴相邻的投影面的平行面。

投影面垂直面

垂直于一个投影面，同时倾斜于其它两个投影面的平面。

铅垂面——垂直于H面，同时倾斜于V、W的平面

正垂面——垂直于V面，同时倾斜于H、W的平面

侧垂面——垂直于W面，同时倾斜于H、V的平面

铅垂面的投影特性

Z

V

水平投影积聚为直线，并反映倾角β、γ的实形；正面投影和侧面投影均不反映实形且变小。

Z

β

γ

W

O

X

O

YW

X

β

γ

H

Y

β

γ

YH

正垂面的投影特性

Z

正面投影积聚为直线，并反映倾角α、γ的实形；水平投影和侧面投影均不反映实形且变小。

Z

V

α

X

γ

W

γ

α

X

O

YW

α

H

γ

O

Y

YH

侧垂面的投影特性

Z

侧面投影积聚为直线，并反映倾角α、β的实形；水平投影和正面投影均不反映实形且变小。

Z

V

X

β

α

O

β

α

W

β

α

X

O

YW

H

Y

YH

总结

投影面垂直面的投影特性可概括如下：

（1）平面在它所垂直的投影面上的投影积聚为

一条斜线，该斜线与投影轴的夹角反映该

平面与相应投影面的夹角；

（2）平面在另外两个投影面上的投影不反映实

形，且变小。

事实上，在平面的投影中，若某一投影面上的投影积聚为一条斜线，则该平面必为该投影面的垂直面。

一般位置平面

Z

三个投影均为类似形，不反映实形和倾角，也不积聚。

对三个投影面都倾斜的平面。

V

Z

W

X

O

X

O

YW

H

Y

YH

【例3-4】

如图3-14a所示，已知正方形平面ABCD垂直于V面

以及AB的两面投影，求作此正方形的三面投影图。

解：(1)作图分析

(2)作图步骤

一般位置平面

投影特性：三个投影均为小于实形的类似形。

平面上的直线和点

平面上取任意直线

判断直线在平面内的方法

定

理

一

若一直线过平面上的两点，则此直线必在该平面内。

定

理

二

若一直线过平面上的一点，且平行于该平面上的另一直线，则此直线在该平面内。

例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在平

面内任作一条直线。

解法一：

根据定理一

b?

m?

a?

mbncn?

c?

解法二：

根据定理二

b?

c?

a?

bd?

aacd有多少解

有无数解。例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到

H面的距

离为10mm。

a?

m?

10

b?

bn?

c?

cna有多少解

唯一解！

m平面上取点

面上取点的方法：

首先面上取线

先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。

例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。

b?

b?

②

d?

①

k?

●

k?●

c?

c?

a?

a?

bad●

k●

bakcc利用平面的积聚性求解

通过在面内作辅助线求解

例3：已知AC为正平线，补全平行四边形

ABCD的水平投影。

解法一

b?

k?

解法二

b?

a?

c?

a?

c?

d?

dakbcad?

dcb直线与平面、平面与平面

之间的相对位置

一、

直线与平面、平面与平面平行

1、

直线与平面平行

定理：直线平行于平面上的某一条直线。

即：如果直线平行于平面，则直线的各面投影必与平面上一直线的同面投影平行。

例1、过点M作直线MN平行于平面△ABC。

解：

b'有多少解？

a'bac'n'ncm'无数解

m例2、过点M作直线MN平行于V面和△ABC。

解：

a'b'c'n'm'正平线

ba有多少解？

ncm∵

△ABC为正垂面，∴直线MN的正面投影m'n'必定平行于a'b'c'。又∵MN为正平线，∴mn平行于OX轴。

有唯一解

当直线与垂直于投影面的平面平行时，在平面垂直的投影面上，直线的投影平行于平面有积聚性的同面投影。

2、平面与平面平行

几何条件：

1）若一个平面上的两相交直线分别平行于另一平面上的两相交直线，则两平面相互平行。

2）若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。

c'd'a'b'df'g'e'gcafeb例3、过点K作平面平行于△ABC解：

a'l'?

k'c'h'分析：按几何条件，只要过点K作两相交直线KL、KH对应地平行于已知平面的一对相交直线，此平面即为所求。

b'a?

kclhb作图：KL∥AB，

KH∥BC。

例4、判别如图所示的两平面是否平行。

解：

1'3'a'2'1(2)b'4'bc'ac(4)3因两平面均为铅垂面，在H面的投影互相平行，所以两平面平行。

二、直线与平面、平面与平面相交

1、直线与平面相交

交点是直线与平面的共有点。

讨论：（1）求直线与平面的交点；

（2）判别两者之间的相互遮挡关系，即

判别可见性。

只讨论平面与直线中至少有一个处于特殊位置的情况。

1）一般位置直线与特殊位置平面相交

例1、求直线AB与铅垂面△DEF的交点K，

并判别可见性。

e'a'(2')分析：因△DEF的水1'平投影def有积聚性，d'k'f'fa21b'bked交点K是△DEF内的点，它必在def上，又因K是AB上的点，它的水平投影k必在ab上，因此k就是K的水平投影。由k可求得k'。

例2、求直线AB与水平面的交点K，并

判别可见性。

a'k'b'k

?

b由图知：圆平面是水平面，其正面投影有积聚性，可先求出V面的投影k'，再求出H面