高数下二课-8二课堂-9多元微分学

第九多元微分学复合函数微分设函数

(

y)和

(

y)x,y)具有对x及y的偏导数

z

(u,v)对应(u,v)处可微，则复合函zf[(

y),(

x,y)处可导，且zz

zuuzuu

z z 注1º复合关系图(结构图x

z

x

u

v

x y

zu

z

v口诀:“““单路全导叉路偏2º其他情函数关求导公zf(u,v)u(x)v(x) dzzduz dx u zf(u,v) zz uzzuzdy vd函数关 关系 求导公z

(u)

dz

z

dzu(x,y)

x,y,

du

duz

(u,v,w)

z

z

zuu(x,y)vv(x,y)

变量

v

wxww(x,y)x

w w

zv

zwz

(

y,w)

z

ff ww(x,y)

fw例 设z

f(xy,x2

y2)

y(x)

和均可微

dz解：dz

f1(y

f2(2x

2f1[(x)

x(x)]

f2[2x例2设函数

(x,

y)可微,且

(x,

x2)

2x,

x2)

x2,则

x2

分析

?yx2 f(xx2)

2x

xyf(xx2f(xx22xxyyx2y

f(x,x2)

f

x2)2例3设z

f1

C

,

2解：

yf1yf22z

f1

y(f11x

f12y2

1(

x

xy2 y2f f y2 y3 例4设z

f[x

g(x

,g

2

2y2

g(1)f22z

(g

)2

g

f1g

f21

g

f22例5习十二/一

u

f(

xxx

f

则

(D)1分析 1

xfz

f2

2u

yf12

f2x2

或u2u

yf22u2

f2

yf21x2

例6

y

z

z(x,x)

2x

z(

y)解法一:分离变

z

y积分

z

lny

z

(x)zx

(x)y

z(x,x)

x(x)2x2

2x,得(x)

x2,

z(x,y)xy解法二:利用线性方z

1dy

[c(x) xy

1dy

1[xyc(x)]

x

c(x)

以下同解法解法三

(

(xy)yz

xy

zx

(x)y

以下同解法隐函数微分

②F(x0

0;

Fy(x0

y0)yf(x

dy

z

Fx

z

在点

②F(x0

y0,u0,v0)0,

G(x0

y0,u0,v0)③ P

(F,G)(u,v)

Gv

F(

y,u,v)0,

G(

y,u,v)在点x0

y0,u0,v0

u0

y0),

v(x0

y0

uu(

y),

v(

u1(F,G)

(x,v

Gx

u1(F,G)

Fy

(y,v

Gy

v1(F,G)

(u,x

Gu

v1(F,G)

(u,y

Gy

例7设u

f

yy(x)和z

z(x)exy

y

xz

解 du

fx

f

fz

y2由 y0,

dxxexy11xy由ezxz

0

dz du

ezy2

xz fx

1xy

fy

xzxfz例8

v2

y

v3,

uv求

,z解

v

uxu2

2vyy

0

u3v2 u

v

u)

z

1(v2

利用类似的方

zv

u而u 1

v

u) 因此

1(

1) 3 例9设u

f

y,z),(x2,ey,

0,

sin

,均具有一阶连续偏导数,且

0

解 du

fx

f

fz

ey

x

2 du

fx

fycos

xfz

esin

x2例10练习十/二设u

f(z),z

xy(z其中

,可导,则u 隐分析u显y

u

duz du

f(z)

z

(z) uf(z)(z)

1y(z) 1y(z)例11练习十

(x,

g(x,

y,

y,z,u)

y(x),z

z(x),

u(x

x求导ffff

dy

gxgy

gzdx

h

dyhdzhdu

由(1dyfx f由(2dzgx gz

gygz

dygx gz

gyfgzf由(3

hyfxhuf

hzgxgz

hzgyfxhugzf例12练习十/z

zx,u)由方程x

f(u,v)yg(u,v),

h(u,

所确定

zf

g,

有一阶连续偏导数

fv0zz

v(x,u)y(x,u)z(x,u)

z 隐z

zv

z

h

h 在x

1

v

fv在x

f(u,v等号两边对

求偏导数0fu

fv

vfu z

1

z

hfuv v

vv vv例13习十

y

2zzz(xy)x

所确定

xy

F(x,

y,z)

zey

xz 1 ey

zey

x(1z)z

zey

ey

zey

12

(1z)

1zzz zz

z)2

z)2

1

z)3例14练习十二/十求常数使方程

x

uuuyuu

(

(

令

6

2

6

12 由此解得

与 例

设变vv

x2x

可把方2z6

2

2y2

0简化

2z

0求常a

z

2

a2z

2z

2z2

2z2z 2z

2z

2z 2

a2z

2z4

2z

2z代入原方程，整理2z

22z

(6a

) 令6

0且

5a

a备例

uf

y,z y3

,其中

具有三阶连续偏导数f

求xyz 解： x2

2u

x2

f1yx3

f11

x2y

3u

x2

f12x3

f112

x2

f12

x2

x3

f112

x2

备例

x

y