北师大版九年级上册数学全册课件

北师大版九年级上册数学全册课件2022/12/4第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定第1课时菱形及其性质2022/12/41课堂讲解2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升菱形的定义菱形边的性质菱形对角线的性质2022/12/4下面几幅图片中都含有一些平行四边形.观察这些平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？2022/12/41知识点菱形的定义菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．要点精析：

(1)菱形必须满足两个条件：一是平行四边形；二是一组邻边相等．二者必须同时具备，缺一不可．

(2)菱形的定义既是菱形的基本性质，也是菱形的基本判定方法．知1－讲2022/12/4如图，若要使平行四边形ABCD成为菱形，则需要添加的条件是(

)A．AB＝CDB．AD＝BCC．AB＝BCD．AC＝BD知1－练

C2022/12/4如图，在△ABC中，AB≠AC，D是BC上一点，

DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F，要使四边形AEDF是菱形，只需添加的条件是

(

)A．AD⊥BCB．∠BAD＝∠CADC．BD＝DCD．AD＝BD知1－练

B2022/12/42知识点菱形边的性质知2－导菱形具有平行四边形的所有性质．此外，菱形还具有哪些特殊性质呢?根据菱形的轴对称性，你发现菱形的四条边具有什么大小关系?问题菱形的四条边都相等.2022/12/4知2－讲例1如图所示，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，

E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、

AF，则△AEF的周长为()A．B．

C．D．3在菱形ABCD中，因为∠B＝60°，连接AC，则△ABC是等边三角形，又因为E分别是BC的中点，所以AE垂直于BC，因此AE＝，所以△AEF的周长为，故选B.B分析：2022/12/4总结知2－讲在菱形中作辅助线经常连接对角线，构造三角形来做题，能够迎刃而解.2022/12/41边长为3cm的菱形的周长是(

)A．6cmB．9cmC．12cmD．15cm知2－练

C2022/12/4知2－练如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，

AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，连接

EF，则△AEF的面积是(

)A．4B．3C．2D.

B2022/12/43知识点菱形对角线的性质知3－导因为菱形是平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质.由于它的一组邻边相等，它是否具有一般平行四边形不具有的一些特殊性质呢？思考菱形的两条对角线AC与BD之间具有什么位置关系?2022/12/4归纳知3－导定理菱形的对角线互相垂直．2022/12/4问题菱形的面积如何计算呢？菱形的面积有两种计算方法：一种是底乘以高的积；另一种是对角线乘积的一半.所以在求菱形的面积时，要灵活运用使计算简单.2022/12/4由于菱形的四条边都相等，所以要求其周长就要先求出其边长．由菱形的性质可知，其对角线互相垂直平分，因此可以在直角三角形中利用勾股定理来进行计算．知3－讲例2如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，BD＝12cm，AC＝6cm.求菱形的周长．

导引：2022/12/4∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC，BO＝BD.∵AC＝6cm，BD＝12cm，∴AO＝3cm，BO＝6cm.

在Rt△ABO中，由勾股定理，得AB＝∴菱形的周长＝4AB

解：2022/12/4总结知3－讲菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，我们通常将菱形问题中求相关线段的长转化为求直角三角形中相关线段的长，再利用勾股定理来计算．

2022/12/41如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD，BF⊥CD，垂足分别为E，F.(1)求证：BE＝BF；

(2)当菱形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6时，求BE的长．知3－练

2022/12/4知3－练(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝CB，∠BAD＝∠BCD.∵BE⊥AD,BF⊥CD，∴∠AEB＝∠CFB＝90°.2022/12/4知3－练(2)解：∵对角线AC＝8，BD＝8，∴AO＝4，OD＝3.易求得AD＝5.又∵菱形ABCD的面积＝AD·BE＝AC·BD，∴5BE＝2022/12/4如图，四边形ABCD是菱形，AC＝8，DB＝6，

DH⊥AB于H，则DH等于(

)A.B.C．5D．4知3－练

A2022/12/4第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定第2课时菱形的判定2022/12/41课堂讲解由对角线的位置关系判定菱形由边的数量关系判定菱形2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升2022/12/41.菱形的定义?2.如图,已知四边形ABCD是一个平行四边形,

则只需补充就可以判定它是一个菱形.3.如图,已知菱形ABCD的对角线AC、BD

相交于点O,并且AC=6cm,BD=8cm,

则菱形ABCD的周长为cm.2022/12/4

根据菱形的定义，有一组邻边相等的平行四边形是菱形．除此之外，你认为还有什么条件可以判断一个平行四边形是菱形？先想一想，再与同伴交流．

2022/12/41知识点由对角线的位置关系判定菱形可以发现，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．下面我们证明这个结论．知1－导

2022/12/4已知：如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AC⊥BD.求证：ABCD是菱形．∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC.又∵AC⊥BD，∴BD是线段AC的垂直平分线．∴BA＝BC.∴四边形ABCD是菱形(菱形的定义)．知1－讲

证明：2022/12/4知1－讲总结1.判定定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.2.规律导引：若用对角线进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明对角线互相垂直，或直接证明四边形的对角线互相垂直平分.

2022/12/4如图，▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件________________________使其成为菱形(只填一个即可)．知1－练

AC⊥BD（答案不唯一）2022/12/42下列命题中正确的是(

)A．对角线相等的四边形是菱形

B．对角线互相垂直的四边形是菱形

C．对角线相等的平行四边形是菱形

D．对角线互相垂直平分的四边形是菱形知1－练

D2022/12/42知识点由边的数量关系判定菱形知2－导议一议已知线段AC，你能用尺规作图的方法作一个菱形ABCD，使AC为菱形的一条对角线吗？如图，分别以A，C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两条弧分别相交于点B，D，依次连接A，B，C，D，四边形ABCD看上去是菱形．你是怎么做的？你认为小刚的做法正确吗？与同伴交流．定理：四边相等的四边形是菱形.请你完成这个定理的证明.

2022/12/4知2－讲例1已知：如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB＝，OA＝2，OB＝1.求证：ABCD

是菱形．在△AOB中，∵AB＝，OA＝2，OB＝1，∴AB2＝AO2＋OB2.∴△AOB是直角三角形，∠AOB是直角．∴AC⊥BD.∴ABCD是菱形(对角线垂直的平行四边形是菱形)．

证明：2022/12/4总结知2－讲

1.判定定理2：四边相等的四边形是菱形.2.规律导引：若用边进行判定：先证明四边形是平行四边形，再证明一组邻边相等，或直接证明四边形的四条边都相等．2022/12/41做一做你能用折纸等办法得到一个菱形吗？动手试一试！先将一张长方形的纸对折、再对折，然后沿图中的虚线剪下，将纸展开，就得到了一个菱形．

你能说说小颖这样做的道理吗？知2－练

2022/12/4如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD交于点O，若增加一个条件，使▱ABCD成为菱形，下列给出的条件不正确的是(

)A．AB＝ADB．AC⊥BDC．AC＝BDD．∠BAC＝∠DAC知2－练

C2022/12/41.菱形的判定方法：

(1)(定义法)：一组邻边相等的平行四边形是菱形；

(2)(对角线)：对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

(3)(边)：四边相等的四边形是菱形．

2022/12/4平行四边形四边形菱形2、判定菱形的常见思路：

四条边都相等判定条件对角线互相垂直一组邻边相等2022/12/4第一章特殊平行四边形1.1菱形的性质与判定第3课时菱形性质与判定的综合应用2022/12/4名师点金菱形具有一般平行四边形的所有性质，同时又具有一些特性，可以归纳为三个方面：(1)从边看：对边平行，四边相等；(2)从角看：对角相等，邻角互补；(3)从对角线看：对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．判定一个四边形是菱形，可先判定这个四边形是平行四边形，再判定一组邻边相等或对角线互相垂直，也可直接判定四边相等．2022/12/41训练角度利用菱形的性质与判定判断图形的形状如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E.(1)求证：四边形AECD是菱形；

(2)若点E是AB的中点，试判断△ABC的形状，并说明理由．2022/12/4(1)∵AB∥CD，CE∥AD，∴四边形AECD是平行四边形，∠DAC＝∠ACE.∵AC平分∠BAD，∴∠EAC＝∠DAC.∴∠EAC＝∠ACE.∴AE＝CE.∴四边形AECD是菱形．证明：2022/12/4(2)△ABC是直角三角形，理由如下：∵点E是AB的中点，∴AE＝BE.∵AE＝CE，∴CE＝BE.∴∠EBC＝∠ECB.∵∠EBC＋∠BCA＋∠BAC＝180°，∠EAC＝∠ACE，∴∠BCE＋∠ECA＝90°，即∠BCA＝90°.∴△ABC是直角三角形．解：2022/12/42训练角度利用菱形的性质与判定证明线段的关系2．如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB≠CD，

BD＝AC.(1)求证：AD＝BC；

(2)若E，F，G，H分别是

AB，CD，AC，BD的中点，求证：线段EF

与线段GH互相垂直平分．2022/12/4如图，连接EH，HF，FG，GE，∵E，F，G，H分别是AB，CD，AC，BD的中点，∴HE∥AD，且HE＝AD，FG∥AD，且FG＝AD，EG＝BC.∴HE∥FG，HE＝FG.∴四边形HFGE为平行四边形．由(1)知，AD＝BC，∴HE＝EG.∴▱HFGE为菱形．∴线段EF与线段GH互相垂直平分．2022/12/43训练角度利用菱形的性质与判定求线段长3．如图，在四边形ABCF中，∠ACB＝90°，点E

是AB的中点，点F恰是点E关于AC所在直线的对称点．

(1)证明：四边形AECF为菱形；

(2)设EF交AC于点O，若BC＝10，求线段OF的长．2022/12/4(1)因为点F恰是点E关于AC所在直线的对称点，所以AC应是EF的中垂线．所以CE＝CF，AE＝AF.

又点E是直角三角形ABC斜边上的中点，所以AE＝CE.

所以AE＝AF＝CE＝CF.

所以四边形AECF是菱形．证明：2022/12/4(2)因为四边形AECF是菱形，所以OA＝OC，OE＝OF.

因为点E是AB的中点，所以EO是△ACB的中位线．所以EO＝BC＝5.

所以OF＝5.解：2022/12/44训练角度利用菱形的性质与判定解决面积问题4．如图，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，交BC于点D，在线段AD上任取一点P(点A除外)，过点P作EF∥AB，分别交AC，BC于点E，F，作PM∥AC，交AB于点M，连接ME.(1)求证：四边形AEPM为菱形．

(2)当点P在何处时，菱形AEPM

的面积为四边形EFBM面积的一半？请说明理由．2022/12/4(1)∵EF∥AB，PM∥AC，∴四边形AEPM为平行四边形．∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAD.∵EP∥AB，∴∠BAD＝∠EPA.∴∠CAD＝∠EPA.∴EA＝EP.∴四边形AEPM为菱形．证明：2022/12/4解：(2)当点P为EF的中点时，S菱形AEPM＝S四边形EFBM.

理由如下：∵四边形AEPM为菱形，∴AP⊥EM.∵AB＝AC，∠CAD＝∠BAD，∴AD⊥BC.∴EM∥BC.又∵EF∥AB，∴四边形EFBM为平行四边形．过点E作EN⊥AB于点N，如图，∵EP＝EF，∴S菱形AEPM＝AM·EN＝EP·EN＝EF·EN

＝S四边形EFBM.2022/12/4第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定第1课时矩形及其性质2022/12/41课堂讲解2课时流程矩形的定义矩形的边角性质矩形的对角线性质直角三角形斜边上中线的性质逐点导讲练课堂小结作业提升2022/12/4下面图片中都含有一些特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？

2022/12/41知识点矩形的定义矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.注意：(1)由矩形的定义知，矩形一定是平行四边形，但平行四边形不一定是矩形．(2)矩形必须具备两个条件：①它是一个平行四边形；②它有一个角是直角．这两个条件缺一不可．知1－讲

2022/12/4例1如图所示，l1∥l2，A、B是l1上的两点，过A、B分别作l2的垂线，垂足分别为D、C．四边形ABCD是矩形吗?简述你的理由．知1－讲很容易发现ABCD为平行四边形只需有一个角为直角即可，因为AD⊥l2有直角，问题得证．四边形ABCD是矩形，理由：∵AD⊥l2，BC⊥l2，∴AD∥BC．∵l1∥l2，∴四边形ABCD是平行四边形．又∵∠ADC=90°，∴平行四边形ABCD为矩形．分析：解：2022/12/4总结知1－讲利用定义识别一个四边形是矩形，首先要证明四边形是平行四边形，然后证明平行四边形有一个角是直角.2022/12/41下列说法正确的是(

)A．平行四边形是矩形B．矩形不一定是平行四边形C．有一个角是直角的四边形是矩形D．平行四边形具有的性质矩形都具有

知1－练

B2022/12/42知识点矩形的边角性质知2－导想一想(1)矩形是特殊的平行四边形，它具有一般平行四边形的所有性质．你能列举一些这样的性质吗？(2)矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？(3)你认为矩形还具有哪些特殊的性质？与同伴交流．

矩形是轴对称图形.2022/12/4知2－导已知：如图，四边形ABCD是矩形，∠ABC＝90°，对角线AC与DB相交于点O.

求证：∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°；证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠CDA，∠BCD＝∠DAB(矩形的对角相等)，AB∥DC(矩形的对边平行)．∴∠ABC＋∠BCD＝180°.

又∵∠ABC＝90°，∴∠BCD＝90°.∴∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°.2022/12/4归纳知2－导

矩形的性质：(1)矩形的四个角都是直角．(2)矩形具有平行四边形的所有性质．(3)矩形是轴对称图形，如图所示，邻边不相等的矩形有两条对称轴．2022/12/4如图，点E是矩形ABCD的边AD延长线上的一点，且AD＝DE，连接BE交CD于点O，连接AO，下列结论中不正确的是(

)A．△AOB≌△BOCB．△BOC≌△EODC．△AOD≌△EODD．△AOD≌△BOC知2－练

12022/12/43知识点矩形的对角线性质知3－导任意画一个矩形，作出它的两条对角线，并比较它们的长．你有什么发现?

已知：如图所示，四边形ABCD是矩形．求证：AC=DB．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC=∠DCB=90°(矩形的性质定理1)．∵AB=CD(平行四边形的对边相等)，BC=CB．∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=DB．于是，就得到矩形的性质：矩形的对角线相等.证明：2022/12/4矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是(

)A．对角相等B．对角线相等C．对边相等D．对角线互相平分知3－练

1B2022/12/4知4－导4知识点直角三角形斜边上中线的性质议一议如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点E，那么BE是Rt△ABC中一条怎样的特殊线段？它与AC有什么大小关系？由此你能得到怎样的结论？2022/12/41、结论：定理：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.2、请你完成这个定理的证明.3、总结：

(1)此性质与“含30°角的直角三角形性质”及“三角形中位线性质”是解决线段倍分问题的重要依据；

(2)“三角形中位线性质”适用于任何三角形；“直角三角形斜边上的中线性质”适用于任何直角三角形；“含30°角的直角三角形性质”仅适用于含30°角的特殊直角三角形；

(3)直角三角形还具有以下性质：①两锐角互余；②两直角边的平方和等于斜边平方．知4－讲2022/12/4例2如图，在矩形ABCD中，两条对角线相交于点O，∠AOD＝120°，AB＝2.5，求这个矩形对角线的长．

解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC＝BD(矩形的对角线相等)，

OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD(矩形的对角线互相平分)．∴OA＝OD.∵∠AOD＝120°，∴∠ODA＝∠OAD＝(180°－120°)＝30°.

又∵∠DAB＝90°(矩形的四个角都是直角)，∴BD＝2AB＝2×2.5＝5.知4－讲

你还有其他解法吗？2022/12/41如图，P是矩形ABCD的对角线AC的中点，E是AD的中点．若AB＝6，AD＝8，则四边形ABPE的周长为(

)A．14B．16C．17D．18知4－练

D2022/12/42如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，AF⊥BC，垂足为点F，∠ADE＝30°，DF＝4，则BF的长为(

)A．4B．8C．2D．4知4－练

D2022/12/41．矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，因此，矩形是平行四边形的特例，具有平行四边形所有性质．2．性质归纳：

(1)边的性质：对边平行且相等．

(2)对角线性质：对角线互相平分且相等．

(3)对称性：矩形是轴对称图形．2022/12/4第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定第2课时矩形的判定2022/12/41课堂讲解由对角线关系判定矩形由直角的个数判定矩形2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升2022/12/4做一做如图是一个平行四边形活动框架，拉动一对不相邻的顶点时，平行四边形的形状会发生变化．(1)随着∠α的变化，两条对角线的长度将发生怎样的变化？(2)当两条对角线的长度相等时，平行四边形有什么特征？由此你能得到一个怎样的猜想？2022/12/41知识点由对角线关系判定矩形判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形.请完成该定理的证明：知1－讲2022/12/4知识点知1－讲例1如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，△ABO是等边三角形，AB＝4，求ABCD是矩形.

2022/12/4知识点知1－讲∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD.又∵△ABO是等边三角形，∴OA＝OB＝AB＝4，∠BAC＝60°.∴OA＝OB＝OC＝OD＝4.∴AC＝BD＝2OA＝2×4＝8.∴ABCD是矩形(对角线相等的平行四边形是矩形)．

解：2022/12/41如图，在▱ABCD中，延长AD到点E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，请你添加一个条件________，使四边形DBCE是矩形．知1－练

EB＝DC2022/12/42下列关于矩形的说法中正确的是(

)

A．对角线相等的四边形是矩形B．矩形的对角线相等且互相平分C．对角线互相平分的四边形是矩形D．矩形的对角线互相垂直且平分知1－练

B2022/12/43已知四边形ABCD是平行四边形，对角线AC与BD相交于点O，下列结论中不正确的是(

)A．当AB＝BC时，四边形ABCD是菱形B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形C．当OA＝OB时，四边形ABCD是矩形D．当∠ABD＝∠CBD时，四边形ABCD是矩形知1－练

D2022/12/42知识点由直角的个数判定矩形知2－导想一想我们知道，矩形的四个角都是直角．反过来，一个四边形至少有几个角是直角时，这个四边形就是矩形呢？请证明你的结论，并与同伴交流．

2022/12/4

知2－讲例2已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC

的一条角平分线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E.求证：四边形ADCE是矩形．证明：∵AD平分∠BAC，AN平分∠CAM，∴∠CAD=∠BAC，∠CAN＝∠CAM.∴∠DAE＝∠CAD＋∠CAN＝(∠BAC＋∠CAM)

＝×180°＝90°

在△ABC中，∵AB＝AC，AD为∠BAC的平分线，∴AD⊥BC.∴∠ADC＝90°.

又∵CE⊥AN，∴∠CEA＝90°.∴四边形ADCE是矩形(有三个角是直角的四边形是矩形)．2022/12/41数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组的4位同学拟订的方案，其中正确的是(

)A．测量对角线是否互相平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角D．测量三个角是否都为直角知2－练

D2022/12/43议一议你有什么方法检查你家(或教室)刚安装的门框是不是矩形？如果仅有一根较长的绳子，你怎样检查？请说明检查方法的合理性，并与同伴交流．知2－练

2022/12/41.矩形的判定方法：（1）矩形的判定与性质是互逆定理；（2）判定矩形的常见思路如下：平行四边形四边形矩形对角线互相平分有三个角是直角有一个角是直角对角线相等2022/12/4第一章特殊平行四边形1.2矩形的性质与判定第3课时矩形的性质与判定的综合应用2022/12/41题型利用矩形的判定和性质解和差问题如图①，在△ABC中，AB＝AC，点P是BC上任意一点，PE⊥AB，PF⊥AC，BD⊥AC，垂足分别为E，F，D.(1)求证：BD＝PE＋PF.(2)当点P在BC的延长线上时，其他条件不变．如图②，BD，PE，PF之间的上述关系还成立吗？若不成立，请说明理由．2022/12/4(1)如图，作BH⊥FP交FP的延长线于点H.∵BD⊥AC，PF⊥AC，BH⊥PF，∴四边形BDFH是矩形．∴BD＝HF.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C.∵PE⊥AB，PF⊥AC，∴∠PEB＝∠PFC＝90°.∴∠EPB＝∠FPC.证明：2022/12/4又∵∠HPB＝∠FPC，∴∠EPB＝∠HPB.∵PE⊥AB，PH⊥BH，∴∠PEB＝∠PHB＝90°.又∵PB＝PB，∴△PEB≌△PHB.则PE＝PH.∴BD＝HF＝PF＋PH＝PF＋PE.

即BD＝PE＋PF.2022/12/4(2)不成立，PE＝BD＋PF.

理由：作BH⊥PF交PF的延长线于点H.

与(1)同理可得PE＝PH，BD＝HF.∴PE＝FH＋FP＝BD＋PF.解：2022/12/42．如图，已知点E是▱ABCD中BC边的中点，连接

AE并延长交DC的延长线于点F.(1)连接AC，BF，若∠AEC＝2∠ABC，求证：四边形ABFC为矩形；

(2)在(1)的条件下，若△AFD

是等边三角形，且边长为4，求四边形ABFC的面积．2题型利用矩形的判定和性质解面积问题2022/12/4(1)∵四边形ABCD为平行四边形，∴AB∥DC.∴∠ABE＝∠ECF.

又∵点E为BC的中点，∴BE＝CE.

又∵∠AEB＝∠FEC，∴△ABE≌△FCE.∴AB＝CF.证明：2022/12/4又AB∥CF，∴四边形ABFC为平行四边形．∴AE＝EF.∵∠AEC为△ABE的外角，∴∠AEC＝∠ABC＋∠EAB.又∵∠AEC＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠EAB.∴AE＝BE.∴AE＋EF＝BE＋CE，即AF＝BC.∴四边形ABFC为矩形．2022/12/4(2)∵四边形ABFC是矩形，∴AC⊥DF.

又∵△AFD是等边三角形，且边长为4，∴CF＝CD＝＝2.∴AC＝∴S矩形ABFC＝解：2022/12/43．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点

O，且DE∥AC，AE∥BD.

求证：四边形AODE是矩形．3题型利用矩形的定义判定与菱形有关的矩形2022/12/4∵DE∥AC，AE∥BD，∴四边形AODE是平行四边形．∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD.∴∠AOD＝90°.∴四边形AODE是矩形．证明：2022/12/44．如图，已知∠ACB＝∠ADB＝90°，N，M分别是AB，CD的中点，判断MN与CD的位置关系，并说明理由．4题型利用直角三角形斜边上中线性质判断直线位置关系2022/12/4MN⊥CD.理由如下：如图，连接ND，NC.在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，N是AB的中点，∴ND＝AB.同理可证NC＝AB.∴ND＝NC.∴△NDC是等腰三角形．在等腰三角形NDC中，∵M是CD的中点，∴MN⊥CD.解：2022/12/45．阅读下面材料：在数学课上，老师请同学思考如下问题：如图①，我们把一个四边形ABCD的四边中点E，F，G，

H依次连接起来得到的四边形EFGH是平行四边形吗？5题型利用矩形、菱形的判定探究条件2022/12/4小敏在思考问题时，有如下思路：连接AC.点E，F分别是AB，BC的中点EF∥GHEF＝AC点G，H分别是CD，AD的中点GH∥ACGH＝ACEF∥GHEF＝GH四边形EFGH是平行四边形2022/12/4参考小敏思考问题的方法，解决以下问题：(1)若只改变图①中四边形ABCD的形状(如图②)，则四边形EFGH还是平行四边形吗？请说明理由．(2)如图②，在(1)的条件下，若连接AC，BD.①当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是菱形？写出结论并说明理由．②当AC与BD满足什么条件时，四边形EFGH是矩形．直接写出结论．2022/12/4(1)四边形EFGH还是平行四边形．理由如下：连接AC.∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC，EF＝AC.∵G，H分别是CD，AD的中点，∴GH∥AC,GH＝AC.∴EF∥GH，EF＝GH.∴四边形EFGH是平行四边形．解：2022/12/4(2)①当AC＝BD时，四边形EFGH是菱形．理由如下：由(1)可知四边形EFGH是平行四边形，当AC＝BD时，FG＝BD，EF＝AC，∴FG＝EF.∴四边形EFGH是菱形．②当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．：(2)②中由(1)可知四边形EFGH是平行四边形，2022/12/4∵E，F分别是AB，BC的中点，∴EF∥AC.∵AC⊥BD，∴EF⊥BD.∵G，F分别是CD，BC的中点，∴FG∥BD.∵EF⊥BD，∴EF⊥FG.即∠EFG＝90°.∴四边形EFGH是矩形．2022/12/46．已知点E是矩形ABCD的对角线BD上的一点，且

BE＝BC，AB＝3，BC＝4，点P是EC上的一动点，且PQ⊥BC于点Q，PR⊥BD于点R.6题型利用矩形的性质探究动点问题2022/12/4(1)如图①，当点P为线段EC的中点时，求证：PR＋PQ＝(2)如图②，当点P为线段EC上任意一点(不与点E，点

C重合)时，其他条件不变，则(1)中的结论是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．(3)如图③，当点P为线段EC延长线上任意一点时，其他条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．2022/12/4(1)连接BP，作CH⊥BD于点H.∵BE＝BC，点P为CE的中点，∴BP是∠EBC的平分线．∵PR⊥BE，PQ⊥BC，∴PR＝PQ.

在矩形ABCD中，∠BCD＝90°，

BC＝4，CD＝AB＝3，∴证明：2022/12/4由S△BCD＝BC·CD＝BD·CH，得CH＝∵S△PBE＋S△PBC＝S△BCE，∴又∵BE＝BC，∴PR＋PQ＝2022/12/4(2)(1)中结论PR＋PQ＝仍成立．证明：连接BP，作CH⊥BD于H.∵S△PBE＋S△PBC＝S△BCE，∴又∵BE＝BC，∴PR＋PQ＝CH.而CH＝∴PR＋PQ＝∴(1)中结论成立．(3)猜想：PR－PQ＝解：解：2022/12/4第一章特殊平行四边形1.3正方形的性质与判定第1课时正方形及其性质2022/12/41课堂讲解正方形的定义正方形的性质2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升2022/12/4图中的四边形都是特殊的平行四边形．观察这些特殊的平行四边形，你能发现它们有什么样的共同特征？2022/12/41知识点正方形的定义正方形的定义：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形.知1－讲2022/12/41下面四个定义中不正确的是(

)A．有一个角是直角的平行四边形叫做矩形B．有一组邻边相等的四边形叫做菱形C．有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形D．有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形知1－练

B2022/12/42知识点正方形的性质知2－导议一议(1)正方形是矩形吗？是菱形吗？(2)你认为正方形的边具有哪些性质？与同伴交流．正方形既是矩形，又是菱形，它具有矩形与菱形的所有性质．

（正方形边的性质）2022/12/4知识点知2－讲正方形的性质：具有矩形、菱形、平行四边形的一切性质，即四条边相等，邻边垂直，对边平行；2022/12/4知识点知2－讲例1如图，在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为BC延长线上一点，且CE＝CF.BE与DF之间有怎样的关系？请说明理由．解：BE＝DF，且BE⊥DF.理由如下：

(1)∵四边形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝90°(正方形的四条边相等，四个角都是直角)．∴∠DCF＝180°－∠BCE＝180°－90°＝90°.∴∠BCE＝∠DCF.

又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF.∴BE＝DF.2022/12/4知识点知2－讲(2)延长BE交DF于点M(如图)．∵△BCE≌△DCF，∴∠CBE＝∠CDF.∵∠DCF＝90°，∴∠CDF＋∠F＝90°.∴∠CBE＋∠F＝90°.∴∠BMF＝90°.∴BE⊥DF.

2022/12/4知2－讲例2已知：如图，在正方形ABCD中，对角线的交点为O，E是OB上的一点，DG⊥AE于G，DG

交AO于F，求证：EF∥AB.要证EF∥AB，由于∠OBA＝45°，∠EOF＝90°，即需证∠OEF＝45°，即要证明OE＝OF，而OE＝OF可通过证明△AEO≌△DFO获得．

导引：2022/12/4知2－讲∵四边形ABCD是正方形，∴∠AOE＝∠DOF＝90°，AO＝DO，∠OBA＝45°.又∵DG⊥AE，∴∠EAO＋∠AEO＝∠EDG＋∠GED＝90°.∵∠AEO＝∠GED，∴∠EAO＝∠EDG＝∠FDO.∴△AEO≌△DFO(ASA)．∴OE＝OF.∴∠OEF＝45°.∴∠OEF＝∠OBA.∴EF∥AB.

证明：2022/12/4总结知2－讲通过证明三角形全等得到边和角相等，再进一步得到平行或垂直，是有关正方形中证边或角相等的最常用的方法，而正方形的四条边相等，四个角都是直角为证明三角形全等提供了条件．

2022/12/4知识点知2－讲议一议平行四边形、菱形、矩形、正方形之间有什么关系？你能用一个图直观地表示它们之间的关系吗？与同伴交流．

平行四边形矩形菱形正方形解：2022/12/41正方形具有而矩形不一定具有的性质是(

)A．四个角都相等

B．四条边相等

C．对角线相等

D．对角线互相平分知2－练

B2022/12/42如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH.若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是(

)A．3

B．4

C．5

D．6知2－练

B2022/12/4知2－讲例3如图，正方形ABCD的边长为1cm，AC为对角线，

AE平分∠BAC，EF⊥AC，求BE的长．线段BE是Rt△ABE的一边，但由于AE未知，不能直接用勾股定理求BE，由条件可证△ABE≌△AFE，问题转化为求EF的长，结合已知条件易获解．导引：（正方形角的性质）2022/12/4∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝90°，∠ACB＝45°，AB＝BC＝1cm.∵EF⊥AC，∴∠EFA＝∠EFC＝90°.

又∵∠ECF＝45°，∴△EFC是等腰直角三角形，∴EF＝FC.∵∠BAE＝∠FAE，∠B＝∠EFA＝90°，AE＝AE，∴△ABE≌△AFE.∴AB＝AF＝1cm，BE＝EF，∴FC＝BE.

在Rt△ABC中，AC∴FC＝AC－AF＝(－1)(cm)，∴BE＝(－1)cm.

解：知2－讲2022/12/4总结解有关正方形的问题，要充分利用正方形的四边相等、四角相等、对角线垂直平分且相等等性质，正方形的性质、等腰直角三角形的特点、勾股定理是解决正方形的相关证明与计算问题的三把钥匙．

知2－讲2022/12/41如图，在正方形ABCD中，连接BD，点O是BD

的中点，若M，N是AD上的两点，连接MO，

NO，并分别延长交边BC于M′，N′两点，则图中的全等三角形共有(

)A．2对

B．3对

C．4对

D．5对

知2－讲C2022/12/4正方形同时具备平行四边形，矩形，菱形的所有性质，因此，正方形的四个角都是直角，四条边都相等，对角线互相垂直平分且相等，每一条对角线平分一组对角，正方形是轴对称图形，有四条对称轴．这些性质为证明线段相等、垂直，角相等提供了重要的依据．

2022/12/4第一章特殊平行四边形1.3正方形的性质与判定第2课时正方形的判定2022/12/41课堂讲解正方形的对称性正方形的判定2课时流程逐点导讲练课堂小结作业提升2022/12/4如图，将一张长方形纸对折两次，然后剪下一个角，打开．怎样剪才能剪出一个正方形？2022/12/41知识点正方形的对称性正方形：既是中心对称图形，又是轴对称图形.它的中心是对称中心，有4条对称轴，分别是两条对角线和每组对边中点连线所在直线.知1－讲2022/12/4知识点知1－讲例1如图,正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，

BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为_______.找到点F关于直线AC的对称点M，连接EM,计算EM的长即可.如图,在AD上取一点M，使AM=2,点M即为点F关于直线AC的对称点.连接EM，过M点作MN⊥BC于N，由题意可知EN=BN－BE=AM－BE=2－1，易得MN＝4，∴EM＝

导引:2022/12/4总结知1－讲正方形是特殊的平行四边形，正方形关于它的对角线所在直线对称.求两线段和的最小值，往往要通过轴对称的方式将同侧两点转化为异侧两点，通过两点间线段最短求得两线段和的最小值.

2022/12/42知识点正方形的判定议一议满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的菱形是正方形？请证明你的结论，并与同伴交流．知2－导2022/12/4知识点知2－讲1.正方形的判定定理：（1）定理1：对角线相等的菱形是正方形.（2）定理2：对角线垂直的矩形是正方形.（3）定理3：有一个角是直角的菱形是正方形.（4）定理4：有一组邻边相等的矩形是正方形.

请你证明以上定理.

2022/12/4知2－讲2.判定方法：

(1)从四边形出发：①有四条边相等，四个角都是直角的四边形是正方形；②对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形．

(2)从平行四边形出发：①有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形；②对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形．

(3)从矩形出发：①有一组邻边相等的矩形是正方形；②对角线互相垂直的矩形是正方形．

(4)从菱形出发：①有一个角是直角的菱形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形．

2022/12/4知2－讲

例2已知：如图，在矩形ABCD中，BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形．

∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∠DCB＝90°.

又∵BE平分∠ABC，CE平分∠DCB，∴∠EBC＝∠ABC＝45°，∠ECB＝∠DCB＝45°.∴∠EBC＝∠ECB.∴EB＝EC.证明：2022/12/4知2－讲

∴BECF是菱形(菱形的定义)．在△EBC中，∵∠EBC＝45°，∠ECB＝45°，∴∠BEC＝90°.∴菱形BECF是正方形(有一个角是直角的菱形是正方形)．2022/12/41如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，不添加任何辅助线，请添加一个条件__________________________，使四边形ABCD是正方形．(填一个即可)知2－练

∠BAD＝90°（答案不唯一）2022/12/42在△ABC中，点D，E，F分别在BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥BA，连接EF，则下列三种说法：①如果EF＝AD，那么四边形AEDF是矩形；②如果EF⊥AD，那么四边形AEDF是菱形；③如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是正方形，其中正确的有(

)A．3个B．2个C．1个D．0个知2－练

B2022/12/4正方形的判定：

平行四边形矩形菱形正方形一组邻边相等一个内角是直角一组邻边相等对角线垂直对角线相等一个内角为直角2022/12/4第二章一元二次方程2.1认识一元二次方程第1课时一元二次方程2022/12/41课堂讲解一元二次方程的定义一元二次方程的一般形式建立一元二次方程的模型2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业2022/12/4幼儿园某教室矩形地面的长为8m，宽为5m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？如果设所求的宽度为xm，那么你能列出怎样的方程？观察下面等式：

102＋112＋122＝132＋142.2022/12/4你还能找到五个连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和吗？如果将这五个连续整数中的第一个数设为x，那么怎样用含x的代数式表示其余四个数？根据题意，你能列出怎样的方程？2022/12/4如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米？

你能计算出滑动前梯子底端距墙的距离吗？如果设梯子底端滑动xm，那么你能列出怎样的方程？2022/12/41知识点一元二次方程的定义议一议由上面三个问题，我们可以得到三个方程：

(8－2x)(5－2x)＝18，

x2＋(x＋1)2＋(x＋2)2＝(x＋3)2＋(x＋4)2，

(x＋6)2＋72＝102.这三个方程有什么共同特点？知1－导2022/12/4知1－讲

1.定义：只含有一个未知数x的整式方程，并且都可以化成ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a≠0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程．2．一元二次方程的识别方法：整理前是整式方程，且只含一个未知数；整理后未知数的最高次数是2.2022/12/4例1下列方程：①x2＋y－6＝0；②x2＋＝2；③x2－x－2＝0；④x2－2＋5x3－6x＝0；⑤2x2－3x＝2(x2－2)，是一元二次方程的有(

)A．1个B.2个C．3个D．4个

知1－讲

A导引：要判断一个方程是否是一元二次方程，要从原方程及整理后的方程两方面进行判断，看其是否符合一元二次方程的条件．①中有两个未知数；②不是整式方程；④未知数的最高次数是3；⑤整理后二次项系数为零．

2022/12/4总结知1－讲

一元二次方程的识别方法：整理前：①整式方程，②只含一个未知数；整理后：未知数的最高次数是2.2022/12/4下列关于x的方程一定是一元二次方程的是(

)A．ax2＋bx＋c＝0B．x2＋1－x2＝0C．x2＋＝2D．x2－x－2＝0若方程(m－1)x|m|+1－2x＝3是关于x一元二次方程，则(

)A．m＝1

B．m＝－1

C．m＝±1

D．m≠±1知1－练

12DB2022/12/42知识点一元二次方程的一般形式知2－讲一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式：ax²+bx+c=0(a≠0)这种形式叫做一元二次方程的一般形式.2022/12/4知2－讲一元二次方程的项和各项系数ax²+bx+c=0二次项系数一次项系数a≠0二次项一次项常数项2022/12/4知2－讲例2将方程3x(x－1)＝5(x＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数和常数项．去括号，得3x2－3x＝5x＋10.移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式3x2－8x－10＝0.其中二次项系数为3，一次项系数为－8，常数项为－10.解：2022/12/4总结知2－讲

(1)ax2＋bx＋c＝0，当a≠0时，方程才是一元二次方程，但b，c可以是0.(2)将一个一元二次方程化成一般形式，可以通过去分母、去括号、移项、合并同类项等步骤．(3)指出一元二次方程的某项时，应连同未知数一起；指出某项系数时应连同它前面的符号一起.2022/12/4把方程x(x＋2)＝5(x－2)化成一般形式，则a，b，

c的值分别是(

)A．1，－3，10B．1，7，－10C．1，－5，12D．1，3，2知2－练

A2022/12/4关于x的一元二次方程(m－1)x2＋5x＋|m|－1＝0

的常数项为0，则m等于(

)A．1B．－1C．1或－1D．0知2－练

B2022/12/4知3－讲3知识点建立一元二次方程的模型一元二次方程模型：一元二次方程是刻画现实世界的一个有效数学模型，它是把实际问题中语言叙述的数量关系通过设未知数用一元二次方程来表达．常用一元二次方程来建模的问题有：图形的面积、增长(利润)率、行程问题、工程问题等．

2022/12/4例3小雨在一幅长90cm，宽40cm的油画四周外围镶上一条宽度相同的边框，制成一幅挂图并使油画画面的面积是整个挂图面积的54%，设边框的宽度为xcm，根据题意，列出方程．

知3－讲本题涉及两个基本量：油画的面积与整个挂图的面积．在油画四周外围镶上宽度为xcm的边框，则整个挂图的长与宽各增加了多少？利用长方形的面积公式和油画面积与整个挂图面积之间的关系列方程x904040+2x90+2x解：(90＋2x)(40＋2x)×54%＝90×40.2022/12/4总结知3－讲

建立一元二次方程模型解决实际问题时，既要根据题目条件中给出的等量关系，又要抓住题目中隐含的一些常用关系式(如面积公式、体积公式、利润公式等)进行列方程．2022/12/4随州市尚市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是()A．20(1＋2x)＝28.8B．28.8(1＋x)2＝20C．20(1＋x2)＝28.8D．20＋(1＋2x)＋20(1＋x)2＝28.8知3－练

C2022/12/4第二章一元二次方程2.1认识一元二次方程第2课时一元二次方程的解及其估算2022/12/41课堂讲解一元二次方程的解一元二次方程解的估算2课时流程逐点导讲练课堂小结课后作业2022/12/4复习提问1.一元二次方程的定义是什么？2.一元二次方程的形式有哪些？2022/12/41知识点一元二次方程的解一元二次方程的解：能使一元二次方程两边的值相等的未知数的值，叫做一元二次方程的解，也叫一元二次方程的根．验证一个未知数的值是否是一元二次方程的根，只需将这个未知数的值分别代入方程两边，若所得的值相等，则这个未知数的值就是方程的根，否则就不是方程的根．知1－讲2022/12/4例1下面哪些数是方程x2－x－2＝0的根？－3，－2，－1，0，1，2，3

知1－讲导引：根据一元二次方程的根的定义，将这些数作为未知数的值分别代入方程中，能够使方程左右两边相等的数就是方程的根．解：－1，2.2022/12/4总结知1－讲

判断一个数值是不是一元二次方程的根的方法：将这个值代入一元二次方程，看方程的左右两边是否相等，若相等，则是方程的根；若不相等，就不是方程的根．2022/12/4例2如果2是一元二次方程x2＋bx＋2＝0的一个根，那么字母b的值为(

)A.3

B.－3

C.4

D．－4

根据根的意义，将x＝2直接代入方程的左右两边，就可得到以b为未知数的一元一次方程，求解即可．