第四章 §4.1 第2课时　数列的递推公式

第2课时数列的递推公式第四章§4.1数列的概念1.理解递推公式的含义，能根据递推公式求出数列的前几项.2.了解用累加法、累乘法求通项公式.3.会由数列的前n项和Sn求数列的通项公式.学习目标同学们，上节课我们学习了数列的概念以及数列的通项公式，我们知道了数列与现代生活密不可分，其实，当人类祖先需要用一组数据有序地表达一类事物、记录某个变化过程时，数列就应运而生了，因此，数列应用广泛，大家先看本课时上的例1.导语随堂演练课时对点练一、数列通项公式的简单应用二、数列的递推公式三、由递推公式求通项公式内容索引四、an与Sn的关系一、数列通项公式的简单应用例1

(教材P5例3改编)已知数列{an}的通项公式是an＝2n2－n，n∈N*.(1)写出数列的前3项；解在通项公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3项分别为1,6,15.(2)判断45是否为数列{an}中的项，3是否为数列{an}中的项.故45是数列{an}中的第5项.令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，故3不是数列{an}中的项.解令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，反思感悟(1)利用数列的通项公式求某项的方法数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项.(2)判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程的解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项.跟踪训练1

已知数列{an}的通项公式为an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72.(1)求实数q的值；解由题意知q4－q2＝72，则q2＝9或q2＝－8(舍去)，∴q＝±3.(2)判断－81是否为此数列中的项.解当q＝3时，an＝3n.显然－81不是此数列中的项；当q＝－3时，an＝(－3)n.令(－3)n＝－81，无解，∴－81不是此数列中的项.二、数列的递推公式问题1

如图所示，有三根针和套在一根针上的n个金属片，按下列规则，把金属片从一根针上全部移到另一根针上.(1)每次只能移动一个金属片；(2)在每次移动过程中，每根针上较大的金属片不能放在较小的金属片上面.将n个金属片从1号针移到3号针最少需要移动的次数记为an，你能发现an与an＋1之间的关系吗？提示其实把n＋1个金属片从1号针移到3号针，只需3步即可完成，第一步：把最大金属片上面的n个金属片移到2号位，需要an步；第二步：把最大的金属片移到3号位，需要1步；第三步：把2号位上的n个金属片移到3号位，需要an步，故an＋1＝2an＋1.知识梳理如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用

来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.注意点：(1)通项公式反映的是an与n之间的关系；(2)递推关系是数列任意两个或多个相邻项之间的推导关系，需要知道首项，即可求数列中的每一项.一个式子例2

若数列{an}满足a1＝2，an＋1＝

，n∈N*，求a2021.…∴{an}是周期为4的数列，∴a2021＝a4×505＋1＝a1＝2.反思感悟递推公式反映的是相邻两项(或n项)之间的关系.对于通项公式，已知n的值即可得到相应的项，而递推公式则要已知首项(或前几项)，才可依次求得其他的项.若项数很大，则应考虑数列是否具有规律性.√三、由递推公式求通项公式√解析方法一

(归纳法)数列的前5项分别为又a1＝1，由此可得数列的一个通项公式为a1＝1，…以上各项相加得√反思感悟由递推公式求通项公式的常用方法(1)归纳法：根据数列的某项和递推公式，求出数列的前几项，归纳出通项公式.(2)迭代法、累加法或累乘法，递推公式对应的有以下几类：①an＋1－an＝常数，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法；②an＋1＝pan(p为非零常数)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求积的)，使用累乘法或迭代法；③an＋1＝pan＋q(p，q为非零常数)，适当变形后转化为第②类解决.跟踪训练3

(1)已知数列{an}满足a1＝1，an＝an－1＋

(n≥2)，求an.所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1又a1＝1也符合上式，(2)已知数列{an}满足a1＝1，lnan－lnan－1＝1(n≥2)，求an.解因为lnan－lnan－1＝1，＝e·e·…·e·1(n－1)个＝en－1(n≥2)，又a1＝1也符合上式，所以an＝en－1，n∈N*.四、an与Sn的关系问题2

如果已知某数列的前n项和Sn＝n2＋n，如何求a4?提示a4＝S4－S3＝(42＋4)－(32＋3)＝8.知识梳理1.把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝

.a1＋a2＋…＋an2.an＝

注意点：(1)注意等式成立的条件；(2)一定要检验n＝1时，S1是否满足首项.例4

设Sn为数列{an}的前n项和，Sn＝2n2－30n.求a1及an.解因为Sn＝2n2－30n，所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.验证当n＝1时上式成立，所以an＝4n－32，n∈N*.延伸探究将本例的条件“Sn＝2n2－30n”改为“Sn＝2n2－30n＋1”，其他条件不变，求an.解因为Sn＝2n2－30n＋1，所以当n＝1时，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]＝4n－32.当n＝1时不符合上式.反思感悟由Sn求通项公式an的步骤(1)当n＝1时，a1＝S1.(2)当n≥2时，根据Sn写出Sn－1，化简an＝Sn－Sn－1.(3)如果a1也满足当n≥2时，an＝Sn－Sn－1的通项公式，那么数列{an}的通项公式为an＝Sn－Sn－1；否则数列{an}的通项公式要分段表示为跟踪训练4

已知Sn是数列{an}的前n项和，根据条件求an.(1)Sn＝2n2＋3n＋2；解当n＝1时，a1＝S1＝7，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋3n＋2)－[2(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝4n＋1，又a1＝7不适合上式，(2)Sn＝3n－1.解当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－1)－(3n－1－1)＝2×3n－1，显然a1＝2适合上式，所以an＝2×3n－1(n∈N*).1.知识清单：(1)数列的递推公式.(2)数列的前n项和Sn与an的关系.2.方法归纳：归纳法、迭代法、累加法、累乘法.3.常见误区：累加法、累乘法中不注意验证首项是否符合通项公式；由Sn求an时忽略验证n＝1时的情况.课堂小结随堂演练12341.已知在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4的值为A.5 B.6 C.7 D.8√解析因为a1＝2，an＋1＝an＋n，所以a2＝a1＋1＝2＋1＝3，a3＝a2＋2＝3＋2＝5，a4＝a3＋3＝5＋3＝8.12342.已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－2n，则a2＋a18等于A.36 B.35 C.34 D.33解析a2＝S2－S1＝22－2×2－(12－2×1)＝1，a18＝S18－S17＝182－2×18－(172－2×17)＝33.∴a2＋a18＝34.√12343.已知数列{an}中，a1＝1，a2＝2，且an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，则a2021的值为√1234解析an·an＋2＝an＋1(n∈N*)，由a1＝1，a2＝2，得a3＝2，由a2＝2，a3＝2，得a4＝1，由此推理可得数列{an}是一个周期为6的周期数列，12344.323是数列{n(n＋2)}的第_____项.17解析由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17(负值舍去).∴323是数列{n(n＋2)}的第17项.课时对点练基础巩固123456789101112131415161.已知数列{an}满足an＝4an－1＋3(n≥2，n∈N*)，且a1＝0，则此数列的第5项是A.15 B.255 C.16 D.63√解析由递推公式，得a2＝3，a3＝15，a4＝63，a5＝255.12345678910111213141516√12345678910111213141516√12345678910111213141516…所以数列{an}是一个周期为3的周期数列，故a2021＝a3×673＋2＝a2＝－1.123456789101112131415164.已知数列{an}满足a1＝2，an＋1－an＋1＝0(n∈N*)，则此数列的通项公式an等于A.n2＋1 B.n＋1C.1－n

D.3－n√12345678910111213141516解析∵an＋1－an＝－1.∴当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)

共(n－1)个＝2＋(－1)×(n－1)＝3－n.当n＝1时，a1＝2也符合上式.故数列的通项公式an＝3－n(n∈N*).123456789101112131415165.下列给出的图形中，星星的个数构成一个数列，则该数列的一个递推公式可以是A.an＋1＝an＋n，n∈N*B.an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2C.an＋1＝an＋(n＋1)，n∈N*，n≥2D.an＝an－1＋(n－1)，n∈N*，n≥2√解析结合图象易知，a1＝1，a2＝3＝a1＋2，a3＝6＝a2＋3，a4＝10＝a3＋4，∴an＝an－1＋n，n∈N*，n≥2.12345678910111213141516解析Sn＝2n＋1－1，当n＝1时，a1＝S1＝21＋1－1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋1－1)－(2n－1)＝2n.6.(多选)已知数列{an}的前n项和满足Sn＝2n＋1－1，则下列说法正确的是A.a1＝3 B.an＝2n(n≥2)C.an＝2n

D.an＝2n(n≥2)√√123456789101112131415167.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋n(n∈N*)，则a4＝_____.7解析当n＝1时，a2＝a1＋1＝2，当n＝2时，a3＝a2＋2＝2＋2＝4，当n＝3时，a4＝a3＋3＝4＋3＝7.123456789101112131415168.已知在数列{an}中，a1a2…an＝n2(n∈N*)，则a9＝____.解析a1a2…a8＝82，

①a1a2…a9＝92，

②123456789101112131415169.在数列{an}中，a1＝1，an＋1＝

(n∈N*).(1)求a2，a3，a4；12345678910111213141516(2)猜想an(不用证明).1234567891011121314151610.已知各项均不为0的数列{an}满足a1＝

，anan－1＝an－1－an(n≥2，n∈N*)，求数列{an}的通项公式.12345678910111213141516解∵anan－1＝an－1－an，且各项均不为0，∴当n≥2时，＝2＋1＋1＋…＋1＝n＋1.

(n－1)个1123456789101112131415综合运用1611.已知数列{an}满足a1>0，且an＋1＝

an，则数列{an}的最大项是A.a1

B.a9C.a10

D.不存在√12345678910111213141516所以an＋1<an，所以此数列为递减数列，故最大项为a1.所以an>0，12345678910111213141516解析由于an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，则1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2020＝a1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2020＝a3＋a4＋a6＋…＋a2020＝a5＋a6＋…＋a2020＝a2019＋a2020＝a2021.12.公元13世纪意大利数学家斐波那契在自己的著作《算盘书》中记载着这样一个数列：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，满足an＋2＝an＋1＋an(n≥1)，那么1＋a2＋a4＋a6＋…＋a2020等于A.a2021

B.a2022

C.a2023

D.a2024√13.已知an＝

，则数列{an}中相等的连续两项是A.第9项，第10项

B.第10项，第11项C.第11项，第12项

D.第12项，第13项12345678910111213141516√解析假设an＝an＋1，所以相等的连续两项是第10项和第11项.1234567891011121314151612345678910111213141516解析方法一

(累乘法)得[(n＋1)an＋1－nan](an＋1＋an)＝0.∵an>0，∴an＋1＋an>0，∴(n＋1)