第八章平面解析几何章末大盘点课件

第八章平面解析几何章末大盘点课件1第八章平面解析几何章末大盘点课件2一、函数与方程思想1．方程思想：解析几何的题目大部分都以方程形式给定直

线或圆锥曲线．因此可以用方程思想讨论直线和圆锥

曲线的位置关系问题．可以把直线与圆锥曲线相交的

弦长问题利用根与系数的关系进行整体处理．从而减

少解题过程的运算量．2．函数思想：对于圆锥曲线上一动点，在变化过程中，会

引入一些相互联系、相互制约的量，从而使有些线段

长度及a、b、c、k、e之间构成函数关系，函数思想在

处理这类问题时非常有效．一、函数与方程思想3【示例1】已知直线y＝－＋2和椭圆

(a＞b＞0)相交于A，B两点，M为线段AB的中点，若|AB|＝2，直线OM的斜率为，求椭圆的方程．【示例1】已知直线y＝－＋2和椭圆4[解]

由消去y整理得(a2＋4b2)x2－8a2x＋16a2－4a2b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝又设M(xM，yM)，则xM=[解]由5因为kOM=即a2＝4b2.从而x1＋x2＝又|AB|＝2所以即解得b2＝4.所以a2＝4b2＝16，故所求椭圆方程为因为kOM=6[领悟]待定系数法是求直线或曲线方程的常用方法，而用待定系数法解题时，在题目中寻找等量关系，建立方程是关键．[领悟]待定系数法是求直线或曲线方程的常用方法，而用待定系7二、数形结合思想圆锥曲线的相关问题中，许多表达式都具有一定的几何意义．挖掘题目中隐含的几何意义，然后采用数形结合的思想方法进行推理，可以直观地解决一些最值问

题．另外，在解题中还要善于将数形结合的思想运用于

对圆锥曲线的性质和关系的研究中．二、数形结合思想8【示例2】当函数y＝1＋与函数y＝k(x－2)＋4的图象有两个相异交点时，实数k的取值范围是(

)【示例2】当函数y＝1＋与9[解析]

曲线y=1+是以(0,1)为圆心、2为半径的半圆(如图)，直线y=k(x-2)+4是过定点(2,4)的直线．设切线PC的斜率为k0，切线PC的方程为y=k0(x-2)+4.圆心(0,1)到直线PC的距离等于半径2，即设直线PA的斜率为k1，则所以实数k的范围是[答案]

C[解析]曲线y=1+是以(10[领悟]

平面解析几何本身就是“以数解形”的一门学科，是数形结合思想的直接体现．本例借助于数的几何意义，利用形的直观进行解题，又体现了“以形助数”的思想．[领悟]平面解析几何本身就是“以数解形”的一门学科，是数形11三、化归与转化思想解决有关直线与圆锥曲线相交的问题，若要证明线数相等或求弦长，或求某些与曲线上的点有关的题目时，直接求交点坐标往往理论上可行，而实际运算却繁琐复杂．很难得出结果，若合理转化，可使运算简化，事半功倍．三、化归与转化思想12【示例3】从圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0外一点P(x1，y1)向圆引切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的P点坐标．【示例3】从圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0外一点P13[解]

将方程x2＋y2－4x－6y＋12＝0配方后，得(x－2)2＋(y－3)2＝12，∴圆心为C(2,3)，半径r＝1.∵切线PM与半径CM垂直(如图所示)，由|PM|=|PO|，得[解]将方程x2＋y2－4x－6y＋12＝0配方后，14化简整理，得2x1+3y1=6，故满足|PM|=|PO|的P点轨迹是方程2x+3y-6=0表示的直线．∴|OP|的最小值为O点到此直线的距离，即从而解方程组即满足题设条件的P点为化简整理，得2x1+3y1=6，15[领悟]解析几何是将“形”的问题转化为“数”的问题解决的学科，如在解题中常将交点问题转化为方程根的问题，将最值问题转化为函数问题解决．[领悟]解析几何是将“形”的问题转化为“数”的问题解决的学16四、分类讨论思想分类讨论思想在解析几何中应用广泛，主要表现的方面有：(1)过定点的直线的斜率是否存在问题．(2)与截距有关的直线问题要分零截距与非零截距情形讨论．(3)直线与圆锥曲线的交点问题．(4)含参数的方程表示的曲线的讨论问题．(5)圆与圆的位置关系判断问题．(6)椭圆、双曲线、抛物线焦点位置与标准方程间关系的问题等等．四、分类讨论思想17【示例4】已知向量动点M到定直线y＝1的距离等于d，并且满足

d2)，其中O为坐标原点，k为参数．(1)求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；(2)如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足≤e≤，求实数k的取值范围．=(2,0),=(0,1),【示例4】已知向量18[解]

(1)设M(x，y)，则由且O为原点，知A(2,0)，B(2,1)，C(0,1)．从而

2，y－1)，d＝|y－1|.代入得(1－k)x2＋2(k－1)x＋y2＝0为所求的轨迹方程．当k＝1时，得y＝0，轨迹为一条直线；当k≠1时，得(x－1)2＋若k＝0，则轨迹为圆；若k＞1，则轨迹为双曲线；若0＜k＜1或k＜0，则轨迹为椭圆．=(2,0),=(0,1),[解](1)设M(x，y)，则由19(2)因为所以方程表示椭圆．对于方程(x－1)2＋①当0＜k＜1时，a2＝1，b2＝1－k，c2＝a2－b2＝1－(1－k)＝k，此时②当k＜0时，a2＝1－k，b2＝1，c2＝－k，所以所以(2)因为20[领悟]在圆锥曲线的定义中，都是有一定的限制条件的，满足不同的条件就得到不同的曲线(如本例(1))，另外在进行有关量的运算时，参数的符号往往决定着运算结果，在符号不明确时也要进行分类讨论．[领悟]在圆锥曲线的定义中，都是有一定的限制条件的，满足不21第八章平面解析几何章末大盘点课件221．(2009·全国卷Ⅰ)设双曲线(a>0，b>0)的渐

近线与拋物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于

(

)B.21．(2009·全国卷Ⅰ)设双曲线23解析：双曲线的渐近线方程为y＝

与拋物线方程联立得x2±＋1＝0，Δ＝(±)2－4＝0⇒b2＝4a2，∴c2－a2＝4a2，∴c2＝5a2，e＝答案：C解析：双曲线的渐近线方程为y＝242．(2008·山东高考)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且

与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是

(

)A．(x－3)2＋＝1

B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D.

＋(y－1)2＝12．(2008·山东高考)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，25解析：法一：由题意知圆心坐标为(x0,1)，∴排除A、C.选项B中圆心(2,1)到直线4x－3y＝0的距离即d＝r成立．法二：由题意设圆心为(x0,1)，∵d＝r，

＝1⇒x0＝2或x0＝－(舍去)．答案：B解析：法一：由题意知圆心坐标为(x0,1)，答案：B263．(2007·山东高考)设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p>0)

的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，

则为(

)3．(2007·山东高考)设O是坐标原点，F是抛物线y2＝227解析：设则A又∵A在y2＝2px上，∴＝p2＋pt，解得t＝2p，t＝－

(舍)，∴A答案：B解析：设284．(2010·汕头模拟)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实

轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双

曲线方程为(

)A．x2－y2＝2B．x2－y2＝

C．x2－y2＝1D．x2－y2＝4．(2010·汕头模拟)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的29解析：设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ>0)，渐近线方程为y＝±x，焦点到直线的距离∴c＝2，∵2λ＝c2＝4，∴λ＝2.答案：A解析：设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ>0)，渐近线方程为y305．(2010·日照模拟)过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线

x＋y－2＝0上的圆的方程是(

)A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝45．(2010·日照模拟)过点A(1，－1)，B(－1,1)31解析：设圆心C(a,2－a)，则|AC|＝|BC|.∴(a－1)2＋(3－a)2＝(a＋1)2＋(1－a)2，∴a＝1，∴r＝2，C(1,1)．∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.答案：C解析：设圆心C(a,2－a)，则|AC|＝|BC|.326．(2009·广东高考)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x

轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离

之和为12，则椭圆G的方程为________________．6．(2009·广东高考)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在33解析：由题意得2a＝12，所以a＝6，c＝3，b＝3，故椭圆G的方程为=1.答案：解析：由题意得2a＝12，所347．(2010·珠海模拟)已知双曲线=1的离心率

为则n＝________.解析：①若焦点在x轴上：a2＝n，b2＝12－n，∴c2＝a2＋b2＝12，∴e＝∴n＝4.②若焦点在y轴上，a2＝n－12，b2＝－n，∴c2＝a2＋b2＝－12不合题意．故n＝4.答案：47．(2010·珠海模拟)已知双曲线358．(2009·安徽高考)已知椭圆=1(a＞b＞0)的离心

率为，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线

y＝x＋2相切．

(1)求a与b；

(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，直线l1过F2且

与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P.求线段PF1

的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线

类型．8．(2009·安徽高考)已知椭圆36解：(1)由得又由原点到直线y＝x＋2的距离等于圆的半径，得(2)法一：由c＝得F1(－1,0)，F2(1,0)．设M(x，y)，则P(1，y)．由|MF1|＝|MP|，得(x＋1)2＋y2＝(x－1)2，y2＝－4x.此轨迹是抛物线．解：(1)由37法二：因为点M在线段PF1的垂直平分线上，所以|MF1|＝|MP|，即M到F1的距离等于M到l1的距离．此轨迹是以F1(－1,0)为焦点，l1：x＝1为准线的抛物线，轨迹方程为y2＝－4x.法二：因为点M在线段PF1的垂直平分线上，所以|MF1|＝|389．(2008·北京高考)已知△ABC的顶点A，B在椭圆x2＋3y2＝

4上，C在直线l：y＝x＋2上，且AB∥l.(1)当AB边通过坐标原点O时，求AB的长及△ABC的面积；

(2)当∠ABC＝90°，且斜边AC的长最大时，求AB所在直

线的方程．9．(2008·北京高考)已知△ABC的顶点A，B在椭圆x239解：(1)因为AB∥l，且AB边通过点(0,0)，所以AB所在直线的方程为y＝x.设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．由得x＝±1，所以|AB|＝又因为AB边上的高h等于原点到直线l的距离，所以解：(1)因为AB∥l，且AB边通过点(0,0)，所以AB所40(2)设AB所在直线的方程为y＝x＋m.由得4x2＋6mx＋3m2－4＝0.因为A，B在椭圆上，所以Δ＝－12m2＋64>0.设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．则x1＋x2＝(2)设AB所在直线的方程为y＝x＋m.41所以|AB|＝|x1－x2|＝又因为BC的长等于点(0，m)到直线l的距离，即|BC|＝所以|AC|2＝|AB|2＋|BC|2＝－m2－2m＋10＝－(m＋1)2＋11.所以当m＝－1时，AC边最长(这时Δ＝－12＋64>0)，此时AB所在直线的方程为y＝x－1.所以|AB|＝|x1－x2|＝4210．(2010·南通模拟)已知椭圆x2＋＝1(0＜b＜1)的左焦

点为F，左、右顶点分别为A、C，上顶点为B，过B、F、

C作圆P，其中圆心P的坐标为(m，n)．

(1)当m＋n＜0时，求椭圆离心率的取值范围；

(2)求证：直线AB与圆P不相切．10．(2010·南通模拟)已知椭圆x2＋＝143解：(1)设F、B、C的坐标分别为F(-c,0)，B(0，b)，C(1,0)则FC、BC的中垂线分别为联立解之解：(1)设F、B、C的坐标分别为F(-c,0)，B(0，b44得：b-bc+b2-c＜0.即(1+b)(b-c)＜0.∴b＜c.∴b2＜c2，∴解之e的取值范围为得：b-bc+b2-c＜0.即(1+b)(b-c)＜0.45(2)证明：假设相切，则B为切点，而kAB=b，kPB=由kAB·kBP=-1，则c2-2c=0.∴c=0或c=2与0＜c＜1矛盾．∴直线AB与圆P不能相切．(2)证明：假设相切，则B为切点，而kAB=b，46第八章平面解析几何章末大盘点课件47第八章平面解析几何章末大盘点课件48一、函数与方程思想1．方程思想：解析几何的题目大部分都以方程形式给定直

线或圆锥曲线．因此可以用方程思想讨论直线和圆锥

曲线的位置关系问题．可以把直线与圆锥曲线相交的

弦长问题利用根与系数的关系进行整体处理．从而减

少解题过程的运算量．2．函数思想：对于圆锥曲线上一动点，在变化过程中，会

引入一些相互联系、相互制约的量，从而使有些线段

长度及a、b、c、k、e之间构成函数关系，函数思想在

处理这类问题时非常有效．一、函数与方程思想49【示例1】已知直线y＝－＋2和椭圆

(a＞b＞0)相交于A，B两点，M为线段AB的中点，若|AB|＝2，直线OM的斜率为，求椭圆的方程．【示例1】已知直线y＝－＋2和椭圆50[解]

由消去y整理得(a2＋4b2)x2－8a2x＋16a2－4a2b2＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由根与系数的关系得x1＋x2＝又设M(xM，yM)，则xM=[解]由51因为kOM=即a2＝4b2.从而x1＋x2＝又|AB|＝2所以即解得b2＝4.所以a2＝4b2＝16，故所求椭圆方程为因为kOM=52[领悟]待定系数法是求直线或曲线方程的常用方法，而用待定系数法解题时，在题目中寻找等量关系，建立方程是关键．[领悟]待定系数法是求直线或曲线方程的常用方法，而用待定系53二、数形结合思想圆锥曲线的相关问题中，许多表达式都具有一定的几何意义．挖掘题目中隐含的几何意义，然后采用数形结合的思想方法进行推理，可以直观地解决一些最值问

题．另外，在解题中还要善于将数形结合的思想运用于

对圆锥曲线的性质和关系的研究中．二、数形结合思想54【示例2】当函数y＝1＋与函数y＝k(x－2)＋4的图象有两个相异交点时，实数k的取值范围是(

)【示例2】当函数y＝1＋与55[解析]

曲线y=1+是以(0,1)为圆心、2为半径的半圆(如图)，直线y=k(x-2)+4是过定点(2,4)的直线．设切线PC的斜率为k0，切线PC的方程为y=k0(x-2)+4.圆心(0,1)到直线PC的距离等于半径2，即设直线PA的斜率为k1，则所以实数k的范围是[答案]

C[解析]曲线y=1+是以(56[领悟]

平面解析几何本身就是“以数解形”的一门学科，是数形结合思想的直接体现．本例借助于数的几何意义，利用形的直观进行解题，又体现了“以形助数”的思想．[领悟]平面解析几何本身就是“以数解形”的一门学科，是数形57三、化归与转化思想解决有关直线与圆锥曲线相交的问题，若要证明线数相等或求弦长，或求某些与曲线上的点有关的题目时，直接求交点坐标往往理论上可行，而实际运算却繁琐复杂．很难得出结果，若合理转化，可使运算简化，事半功倍．三、化归与转化思想58【示例3】从圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0外一点P(x1，y1)向圆引切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使|PM|最小的P点坐标．【示例3】从圆C：x2＋y2－4x－6y＋12＝0外一点P59[解]

将方程x2＋y2－4x－6y＋12＝0配方后，得(x－2)2＋(y－3)2＝12，∴圆心为C(2,3)，半径r＝1.∵切线PM与半径CM垂直(如图所示)，由|PM|=|PO|，得[解]将方程x2＋y2－4x－6y＋12＝0配方后，60化简整理，得2x1+3y1=6，故满足|PM|=|PO|的P点轨迹是方程2x+3y-6=0表示的直线．∴|OP|的最小值为O点到此直线的距离，即从而解方程组即满足题设条件的P点为化简整理，得2x1+3y1=6，61[领悟]解析几何是将“形”的问题转化为“数”的问题解决的学科，如在解题中常将交点问题转化为方程根的问题，将最值问题转化为函数问题解决．[领悟]解析几何是将“形”的问题转化为“数”的问题解决的学62四、分类讨论思想分类讨论思想在解析几何中应用广泛，主要表现的方面有：(1)过定点的直线的斜率是否存在问题．(2)与截距有关的直线问题要分零截距与非零截距情形讨论．(3)直线与圆锥曲线的交点问题．(4)含参数的方程表示的曲线的讨论问题．(5)圆与圆的位置关系判断问题．(6)椭圆、双曲线、抛物线焦点位置与标准方程间关系的问题等等．四、分类讨论思想63【示例4】已知向量动点M到定直线y＝1的距离等于d，并且满足

d2)，其中O为坐标原点，k为参数．(1)求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；(2)如果动点M的轨迹是一条圆锥曲线，其离心率e满足≤e≤，求实数k的取值范围．=(2,0),=(0,1),【示例4】已知向量64[解]

(1)设M(x，y)，则由且O为原点，知A(2,0)，B(2,1)，C(0,1)．从而

2，y－1)，d＝|y－1|.代入得(1－k)x2＋2(k－1)x＋y2＝0为所求的轨迹方程．当k＝1时，得y＝0，轨迹为一条直线；当k≠1时，得(x－1)2＋若k＝0，则轨迹为圆；若k＞1，则轨迹为双曲线；若0＜k＜1或k＜0，则轨迹为椭圆．=(2,0),=(0,1),[解](1)设M(x，y)，则由65(2)因为所以方程表示椭圆．对于方程(x－1)2＋①当0＜k＜1时，a2＝1，b2＝1－k，c2＝a2－b2＝1－(1－k)＝k，此时②当k＜0时，a2＝1－k，b2＝1，c2＝－k，所以所以(2)因为66[领悟]在圆锥曲线的定义中，都是有一定的限制条件的，满足不同的条件就得到不同的曲线(如本例(1))，另外在进行有关量的运算时，参数的符号往往决定着运算结果，在符号不明确时也要进行分类讨论．[领悟]在圆锥曲线的定义中，都是有一定的限制条件的，满足不67第八章平面解析几何章末大盘点课件681．(2009·全国卷Ⅰ)设双曲线(a>0，b>0)的渐

近线与拋物线y＝x2＋1相切，则该双曲线的离心率等于

(

)B.21．(2009·全国卷Ⅰ)设双曲线69解析：双曲线的渐近线方程为y＝

与拋物线方程联立得x2±＋1＝0，Δ＝(±)2－4＝0⇒b2＝4a2，∴c2－a2＝4a2，∴c2＝5a2，e＝答案：C解析：双曲线的渐近线方程为y＝702．(2008·山东高考)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，且

与直线4x－3y＝0和x轴都相切，则该圆的标准方程是

(

)A．(x－3)2＋＝1

B．(x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1D.

＋(y－1)2＝12．(2008·山东高考)若圆C的半径为1，圆心在第一象限，71解析：法一：由题意知圆心坐标为(x0,1)，∴排除A、C.选项B中圆心(2,1)到直线4x－3y＝0的距离即d＝r成立．法二：由题意设圆心为(x0,1)，∵d＝r，

＝1⇒x0＝2或x0＝－(舍去)．答案：B解析：法一：由题意知圆心坐标为(x0,1)，答案：B723．(2007·山东高考)设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p>0)

的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，

则为(

)3．(2007·山东高考)设O是坐标原点，F是抛物线y2＝273解析：设则A又∵A在y2＝2px上，∴＝p2＋pt，解得t＝2p，t＝－

(舍)，∴A答案：B解析：设744．(2010·汕头模拟)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的实

轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为，则双

曲线方程为(

)A．x2－y2＝2B．x2－y2＝

C．x2－y2＝1D．x2－y2＝4．(2010·汕头模拟)中心在原点，焦点在x轴上的双曲线的75解析：设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ>0)，渐近线方程为y＝±x，焦点到直线的距离∴c＝2，∵2λ＝c2＝4，∴λ＝2.答案：A解析：设双曲线方程为x2－y2＝λ(λ>0)，渐近线方程为y765．(2010·日照模拟)过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线

x＋y－2＝0上的圆的方程是(

)A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝45．(2010·日照模拟)过点A(1，－1)，B(－1,1)77解析：设圆心C(a,2－a)，则|AC|＝|BC|.∴(a－1)2＋(3－a)2＝(a＋1)2＋(1－a)2，∴a＝1，∴r＝2，C(1,1)．∴圆的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.答案：C解析：设圆心C(a,2－a)，则|AC|＝|BC|.786．(2009·广东高考)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在x

轴上，离心率为，且G上一点到G的两个焦点的距离

之和为12，则椭圆G的方程为________________．6．(2009·广东高考)已知椭圆G的中心在坐标原点，长轴在79解析：由题意得2a＝12，所以a＝6，c＝3，b＝3，故椭圆G的方程为=1.答案：解析：由题意得2a＝12，所807．(2010·珠海模拟)已知双曲线=1的离心率

为则n＝________.解析：①若焦点在x轴上：a2＝n，b2＝12－n，∴c2＝a2＋b2＝12，∴e＝∴n＝4.②若焦点在y轴上，a2＝n－12，b2＝－n，∴c2＝a2＋b2＝－12不合题意．故n＝4.答案：47．(2010·珠海模拟)已知双曲线818．(2009·安徽高考)已知椭圆=1(a＞b＞0)的离心

率为，以原点为圆心、椭圆短半轴长为半径的圆与直线

y＝x＋2相切．

(1)求a与b；

(2)设该椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，直线l1过F2且

与x轴垂直，动直线l2与y轴垂直，l2交l1于点P.求线段PF1

的垂直平分线与l2的交点M的轨迹方程，并指明曲线

类型．8．(2009·安徽高考)已知椭圆82解：(1)由得又由原点到直线y＝x＋2的距离等于圆的半径，得(2)法一：由c＝得F1(－1,0)，F2(1,0)．设M(x，y)，