数字图像处理-线代基础-第三章

提投影2向量与矩问题:

b1

b 2N

2 2

M M

MN N

M3矩

a1NA

a2N M M MN单位矩阵

0 0 I 0 1 矩对称矩阵和对角aaaaa1N2NaN1aNaNN

A

A

aMN

a1N

A

a2N

A

MN

M M

MN矩矩阵行数和列数都相同

=

+

= 矩矩阵

cpq

=APNN=apnbnqN交换性AB=矩矩阵CPQ

APNBNQ

a11β1a11β1a12β2

βa

2N

2

2 N

β

β P

PN

N

P

N T

bαb

α,α

,α

N

α α N1 N

NQ

2

N矩矩阵的若A的逆存在，称其是非奇异的，否则是奇异矩阵

(AT)T(AT

矩矩阵的性质rank(AB)

min(rank(Α),

B)

rank(A)

rank(C

A是可逆

A满向列

u1uu2 行向量的

u Nu,vNv ,vN,uNuTu ,uN 向uvu向量的uvuu,

vTu

NN

unvn

vuuuvTu vTuvu

vvTvv

vvTuT向量的范uTu,u u,

=

22n n零空间与像空问题:

+h1NxNhx+

x

2 1x1+hM2x2 +hMNxN

线性组

+xNhN =零空间与像空

=+xNhN若仅当x1x2 =xN=0时，等+xNhN101,1T线性无则称h1,101,1T线性无

x1+x0

x11 2

= 2 0 12

x2仅当x

0时，等式成立→10T01,

和0,1T的所有线性组合的集合零空间与像空向量空间

1 0n:所有 向量的集

+x21对加法、数乘运算是封闭基线性无空间中任意向量可以用一组基线性表

1101

01T

2的一组空间空间一组基包含的向量的个2是2维向量空零空间与像空n对向量加法和数乘是闭合任何子空间都包含零向3的子空间：3、零空间与像空

h1h2

2,2,1,1, =b2h23一组基：2,2,0Tb2h23

,1,1,零空间与像空R(H)

{Hx;xX}N

X;Hx

0D}零空间与像空 2 3

2 3

x1

bH=

Hx

x2 4

4 2 b3 x 3 5

5 3

b4R(H)

4中的2N(H：

3中的1RR(H)的维数+N(H)的维数=X零空间与像空

(H)

R(H

(H)

XXHDNα120H零空间与像空

(H)

若s>0,则

的基含有s个向量，设为α1,α2

,αsαs+1,αs+2 ,αn扩充成X的基,αs,Hαn,Hαn

0,

,Hαs 所 R(H

0,

span{Hα1,Hα2,Hαnspan{Hαs1,Hαsspan{Hα1,Hα2,Hαnspan{Hαs1,Hαs2 ,Hαn}ks+1ks+2 kn使

knHαn零空间与像空证明（续

k

)

s2

knαnN

ksαs由于α1,α2 ,αn是X的一组基，所k1

kn因此Hαs1,Hαs2, ,Hαn线性无关得证

n

dim

I-P的方bbI-P的方bbR(INP的方N(IR(P)Pa(IP)aaN(Ieebb^bb^R(H)vvuvTvvvvT投影算子R(P)N(I-R(I-P)

投影、正交投影和空间分ABX且AxX,能唯一表示为x=ab,aA,bA和B是X的直和分解，记作X=A

I-P的方

b

NX=A A

R(IbA和B是X的正交分解，记作X=A

P的方aA,b

，则A

N(I正交补

投影、正交投影和空间分I-P的方bI-P的方bbR(INP的方N(IXR(P)

XR(P)N

投影、正交投影和空间分hh2^h2h^h4^4投影、正交投影和空间分H和H*诱导的空间分H：X→DX

(H)N

XR(H)R(H)N

R

R(H)

投影