2012年陕西专升本高数真题+解答

2012年陕西省普通高等教育专升本招生考试(样题)

高等数学注意事项：全卷共10页，满分150分。考试时间150分钟。其中试题3页，用钢笔或圆珠笔直接答在答题纸上，答在试卷上的答案无效。一、选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将选好的答案填在答题纸上题号所在的位置上。TOC\o"1-5"\h\zx=0是函数f⑴=—^的【B】1+2xA.可去间断点B.跳跃间断点C.振荡间断点D.连续点设函数f(x)=fx(t-1d,则f(x)有【D】0A.极大值1B.极大值-1C.极小值1D.极小值--222设函数f(x)的导函数为sinx,则f(x)有一个原函数为【A】A.1—sinxB.1+A.1—sinxB.1+sinxC.1-cosxD.1+cosxeexexA.——+CB.-二+C1+x1+x5.无穷级数£土1n5p

n=1A.当p>5时，为条件收敛C.当0vp<5时，为绝对收敛4-不定积分』""C.ex+CD.-—^+C

(1+x)2(1+x)2【B】B.当p>5时，为绝对收敛D.当0vp<5时，为发散的二、填空题：本大题共5个小题，每小题5分，共25分。将答案填在答题纸上题号所在的位置。

设函数f⑴=]必：'+2'X<3,则f(f⑴)=-3.[1一尤,x>3.•1x5sin—极限lim睥：=0.已知a>0，当xT0时,eax一ax-1与1-cosx是等价无穷小，则常数a-1.d_jx3-2f(t)dt-3x2f(x3—2).微分方程y〃+y-0的通解为y-y-Ccosx+Csinx.三、计算题：本大题共10个小题，每小题8分，共80分.计算题要有计算过程.11.求极限limln(1+眼x).xt。ex2—1解：TOC\o"1-5"\h\z「ln(1+sin2x)「sin2x.解：limlim1xtoex2—1xtox212.设参数方程jx-血t)确定了函数y-y(x)，求竺.Iy-a(1—cost)dx2dy解：(4分)(8分)dydtasintsint因为——解：(4分)(8分)dxdxa(1—cost)1—costdt所以d2yddy1cost(1—cost)—sin211—1—()•—-——,—dx2dtdxdx(1—cost)2a(1—cost)a(1—cost)2dt所以13.求函数f(x)-(x+10)3(x—5)2的单调区间和极值.TOC\o"1-5"\h\z解：f'(x)-3(x—5)2+(x+10)-2(x—5)-3-^iiH(3分)33x一5当x<—1时，f(x)>0;当—1<x<5时，f(x)<0;当x>5时，f(x)>0.所以f(x)的单调增区间为(-8,—1],[5,+8);单调减区间为[-1,5];(6分)

2f(X)在X=-1处取得极大值f(-1)=9X63,在X=5处取得极小值f(5)=0(8分)14.求不定积分f(x3lnx+*2)dx.1+X2解：f(x3lnX+"2)dx1+X2=上flnxdx4+f(1-—-—)dx1+X2=!x4lnx-上fx3dx+x一arctanxTOC\o"1-5"\h\z4411=一x4lnx一一x4+x一arctanx+C416(2分)(6分)(8分)15.设函数z=f（cp（xy）,xy）,其中f具有二阶连续偏导数(2分)(6分)(8分)dxdxdy解：多=fw'(xy)-y+f-ydx12d2z亍厂=(f・P(xy)x+f-x)p(xy)y+f-(p(xy)xy+p(xy)dxdy111212116.求空间曲线］Z=X2在点(1,1,1)处的切线方程和法平面方程.〔xyz=1解：曲线方程x=t，y=-，z=12，t=1对应点为(1,1,1)13TOC\o"1-5"\h\zdxdy-3dz因为=1；—=一；—=2tdtdt14dt竺I=1空I=-3d|=2^所以dtt=1；dtt=1；dtt=1所求切线方程为m=三1=涅1-32(4分)（8分）（2分）（4分）（6分）法平面方程为(x-1)-3(y-1)+2(z-1)=0即x-(4分)（8分）（2分）（4分）（6分）17.计算二重积分I=ff3X2+y2dxdy,其中积分区域D:X2+y2<9.D解：法一I=ff3x2+y2dxdy=f2Kdof3r2rdr00D(4分)=2兀』3r3dr=2k--r313=270804(8分)法二：I=ff3x2+y2dxdy=4ffx2+y2dxdy=4f2dof3r3rdr00DD]=2兀.3r：|3=四兀398o418.计算对坐标的曲线积分』(x2-xy3)dx+(y2-2xy)dy,其中L是四个顶点L分别为(0,0),(2,0),(2,2)和(0,2)的正方形区域的正向边界.O解：设P(x,y)=x2-xy3，Q(x,y)=y2-2xy，L所围区域为D，且D:0<x<2,0<y<2由格林公式，得

8Q6P,(x2-xy3)dx+(y2-2xy)dy=(-^--—)dxdyLD=f2dxf2(-2y+3xy2)dy00(4分)(6分)=f2(-y2+xy3)12dx=f2(-4+8x)dx=8(8分)00019.将函数f(x)=2+x展开为麦克劳林级数・4+x解：f(x)=片=1-54+x4+x(2分)111=121+x4(6分)Xn2-4nn=1(8分)20.求微分方程y"-5y'+6y=xe2x的通解.解：原微分方程所对应齐次方程为(3分)(5分)(6分)(8分)它的特征方程为r2一5r+6=0特征根为二=2,r=3.于是所给方程对应的齐次方程的通解为Y(x)=Ce2x+C2e3x设非齐次方程的特解为y*=x(ax+b)e(3分)(5分)(6分)(8分)特征根为解得a=——，b=—12所求特解为•，1vy*=x(—亏x—1)e2x从而所求非齐次方程的通解为y(x)=Ce2x+Ce3x—2(x2+2x)e2x四、证明题和应用题：本大题共2个小题，每小题10分，共20分。计算题要有计算过程，证明题要有证明过程。21.设函数f(x)在［a,b］上的连续函数，且f(x)>0F(x)=fxf(t)dt+Jx二dt,

abf(t)求证：①F，(x)>2;②方程F(x)=0在(a,b)内仅有一个实根.1.1(5分)证明：①F'(x)=f(x)+-—=(、:f(x)-「=)2+2>2f(x)、：f(5分)②因为F(x)在［a,b］上是单调增加函数，所以方程F(x)=0在(a,b)内最多只有一个根.又F(a)=1a^-dt<0,F(b)=fbf(t)dt>0(8分)bf(t)a

根据零点定理，方程F(x)=0在(a,b)内至少有一个根.综合以上可知，方程F(x)=0在(a,b)内仅有一个实根.(10分)22.求抛物线y=一x2+4x一3及其在点(0,-3)和(3,0)处的切线所围成的图形的面积.解：因为yf解：因为yf=-2x+4(2分)所以曲线在(0,-3)处切线方程为y+3=4(x-0)曲线在(3,0)处切线方程为y-0=-2(x-3)y=-2xy=-2x+6因为两切线交点为(3,3)所以，所求面积为S=j2[(