数值分析试题A卷101

中国石油大学（北京）2009--2010学年第一学期研究生期末考试一试题A(闭卷考试)课程名称：数值剖析全部试题答案写在答题纸上，答案写在试卷上无效题号一二三四五六总分得分注：计算题取小数点后四位一、填空题（共30分，每空3分）1、已知x=是由正确数a经四舍五入获得的近似值，则x的绝对偏差界为_______________。2、数值微分公式f'(xi)f(xih)f(xi)的截断偏差为。h3、已知向量x(1,3)T，求Householder变换阵H，使Hx(2,0)T。H。4、利用三点高斯求积公式1f(x)dx0.5556f(0.7746)0.8889f(0)0.5556f(0.7746)14导出求积分f(x)dx的三点高斯求积公式。05、若f(x)5x42x23,则f[0.1,0.2,0.3,0.4,0.5]_____.6、以n+1个互异节点xk(k=0,1,,n),（n>1）为插值节点的Lagrange插值基函数n为lk(x)(k=0,1,,n)，则lk(0)(xk1)__________.k07、已知P3(x)是用极小化插值法获得的cosx在[0,4]上的三次插值多项式，则P3(x)的截断偏差上界为R(x)cosxP3(x)_________.8、已知向量x(3,2,5)T，求Gauss变换阵L，使Lx(3,0,0)T。L_________.9、设f(x)(x37)2,给出求方程f(x)0根的二阶收敛的迭代格式_________。10、下边M文件是用来求解什么数学识题的________________________.function[x,k]=dd（x0）fork=1:1000x=cos(x0);ifabs(x-x0)<,breakendx0=x;end111二、（15分）已知矛盾方程组Ax=b，此中A20,b12111）用施密特正交化方法求矩阵A的正交分解，即A=QR。2）用此正交分解求矛盾方程组Ax=b的最小二乘解。三、（10分）已知求解线性方程组Ax=b的重量迭代格式（i1n(k1)biaij(k1)(k)）,xixjaijxj/aiij1ji+1

，i1，2，n1,n,（1）试导出其矩阵迭代格式及迭代矩阵；（2）若A1a，推导上述迭代格式收敛的充分必需条件。a1四、（15分）（1）证明对任何初值x0R，由迭代公式xk111sinxk,k0,1,2,...2所产生的序列xkk0都收敛于方程x11sinx的根。2（2）迭代公式xk12xk11k0,1,2,...能否收敛。sinxk,2五、（15分）用最小二乘法确立一条经过原点(0,0)的二次曲线，使之拟合以下数据xi-2-112yi30.813.4并求平方偏差22。六、（15分）（1）写出以0，1，2为插值节点的二次Lagrange插值多项式P2(x)；（2）以0，1，2为求积节点，成立求积分I3f(x)dx的一个插值型求积公式，0并推导此求积公式的截断偏差。中国石油大学（北京）2009--2010学年第一学期研究生期末考试一试题标准答案A(闭卷考试)课程名称：数值剖析题号一二三四五六总分得分一、（30分）1、1106；2、O(h)；1133、H3；22144、f(x)dx1.1112f(0.4508)1.7778f(2)0、1；815、5；6、1；7、L2123539、xk1xk2(xk37)26(xk57xk2)

1.1112f(3.5492)；00；0110、用简单迭代法xk1cos(xk)求方程xcos(x)的根。二、（15分）（1）u1(1,2,2)T,u2(1,0,1)Tv1u1(1,2,2)T,11(1,2,2)T，3v2u2(u2,1)1u211(2,-2,1)T,2v2=1(2,-2,1)T33u131u2121131AQR200121（10分）5/3T(2)RxQTb,x4,1（5分）1/393三、（10分）i1n(1)aiixi(k1)biaijx(jk)aijx(jk+1),in,nL,2,1j1ji+11,Dx(k1)bLx(k1)Ux(k))(DL)x(k1)Ux(k)bx(k1)(DL)1Ux(k)(DL)1b迭代法的矩阵形式x(k1)Bx(k)g迭代矩阵B(DL)1U右端向量g(DL)1ba110LL0此中Da22,La210MOMOM0a12La1nannan1Lann10UMOMM0an(6分)1,n0LL01(2)迭代矩阵B(DL)1U100aa100100a0aa1000a2(B)a2,迭代格式收敛的充分必需条件是(B)1,(4分)即a210a1四、（15分）（1）记(x)11sinx，则'(x)1cosx。22先考虑区间[，]，当x[0.5,1.5]时，(x)11sinx[0.5,1.5]，2'(x)1cosx11。故对随意初值x[0.5,1.5]，由迭代公式221sinxk,k0,1,2,...产生的序列xk都收敛于方程x11xk11ksinx202的根。(9分)对随意初值x0R，有x111sinx0[0.5,1.5]，将此x1当作新的迭代初值，则2由（1）可知，由迭代公式xk111sinxk,k0,1,2,...产生的序列xkk0都收2敛于方程x11(3分)sinx的根。2（2）记(x)2x11sinx，则'(x)21cosx，对随意xR，有'(x)1.522因此迭代公式xk12xk11sinxk,k0,1,2,...不收敛。(3分)2五、（15分）1(x)x,2(x)x2-243-1,10.8112,Y,11243.4（10分）100a1a0.10.127.4=034b27.4,0.8059b34s(x)0.1x+0.8059x22(Y,Y)a(1,Y)b(2,Y)2（5分）22.20.10.805927.40.01882六、（15分）（1）P(x)(x1)(x2)f(0)(x0)(x2)f(1)(x1)(x0)f(2)（5分）2(01)(02)(10)(12)(21)(20)3339（2）I0f(x)dxP2(x)dxf(0)f(2)=I1（5分）044取f(x)x3，代入求积公式，左侧=134923右侧44代数精度为2.结构一个二次插值多项式p2(x)知足以下条件p2(0)f(0),p2(2)f(2),p'2(2)f'(2)f(x)p(x)f(3)( )x(x2)2,ab23!33p(x)dx3f