【班海精品课件】冀教版（新）九下-30.5 二次函数与一元二次方程的关系 第一课时

30.5二次函数与一元二次方程的关系第1课时一键发布配套作业&AI智能精细批改（任务-发布任务-选择章节）目录课前导入新课精讲学以致用课堂小结课前导入情景导入一元二次方程根的判别式：式子b²-4ac叫做方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的判别式，通常用希腊字母Δ表示.(1)当Δ>0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等的实数根.(2)当Δ=0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等的实数根.(3)当Δ<0时，方程ax2+bx+c=0(a≠0)无实数根.班海——老师智慧教学好帮手班海，老师们都在免费用的数学作业精细批改微信小程序！感谢您下载使用【班海】教学资源！为什么他们都在用班海？一键发布作业，系统自动精细批改（错在哪？为何错？怎么改？），从此告别批改作业难帮助学生查漏补缺，培养规范答题好习惯，提升数学解题能力快速查看作业批改详情，全班学习情况尽在掌握多个班级可自由切换管理，学生再多也能轻松当老师无需下载，不占内存，操作便捷，永久免费！扫码一键发布数学作业AI智能精细批改(任务-发布任务-选择题目)新课精讲探索新知1知识点二次函数与一元二次方程之间的关系1.一次函数y=kx+b与一元一次方程kx+b=0有什么关系?2.你能否用类比的方法猜想二次函数y=ax2+bx+c与一元二次方程ax2+bx+c=0的关系?探索新知问

题

以40m/s的速度将小球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有关系：h=

20t–5t2

.考虑下列问题：（1）球的飞行高度能否达到15m？

若能，需要多少时间?（2）球的飞行高度能否达到20m？若能，需要多少时间?（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？探索新知分析：由于小球的飞行高度h

与飞行时间t

有函数关系h＝20t

－5t

2，所以可以将问题中h

的值代入函数解析式，得到关于t

的一元二次方程．如果方程有合乎实际的解，则说明小球的飞行高度可以达到问题中h

的值；否则，说明小球的飞行高度不能达到问题中h

的值．解：（1）当h=15时，20t-5t2=15，

t2-4t+3=0，

t1=1，t2=3.当球飞行1s和3s时，它的高度为15m.

（2）当h=20时，20t-5t2=20，探索新知

t2-4t+4=0，

t1=t2=2.当球飞行2s时，它的高度为20m.（3）当h=20.5时，20t-5t2=20.5，

t2-4t+4.1=0，因为（-4）2-4×4.1<0，所以方程无实根.

故球的飞行高度达不到20.5m.探索新知（4）当h=0时，20t-5t2=0，

t2-4t=0，

t1=0，t2=4.当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时，球从地面飞出，4s时球落回地面.探索新知归

纳从以上可以看出：

已知二次函数

y的值为m，求相应自变量x的值，就是求相应一元二次方程的解.例如，已知二次函数y=-x2+4x的值为3，求自变量x的值.就是求方程3=-x2+4x的解.例如，解方程x2-4x+3=0，就是已知二次函数y=x2-4x+3的值为0，求自变量x的值.探索新知归纳二次函数与一元二次方程的关系：已知二次函数，求自变量的值解一元二次方程的根探索新知导引：要求抛物线

y＝3x2－8x＋4与x轴的公共点坐标即需

求y＝0时对应的

x的值；可令y＝0，根据3x2－8x＋

4＝0的根来确定抛物线与

x轴的公共点的横坐标．解：令

y＝0,则3x2－8x＋4＝0,解方程得：x1＝,x2＝2.∴抛物线

y＝3x2－8x＋4与x轴的两个公共点的坐标

为

，(2，0)．例1求抛物线

y＝3x2－8x＋4与x轴的两个公共点的坐标．探索新知总

结

本例将求抛物线与

x轴的公共点这个几何问题转化为求一元二次方程的根的问题来解决，它充分体现了由形到数的转化思想．典题精讲观察图象(如图)填空：1典题精讲(1)二次函数

y＝x2＋x－2的图象与

x轴有______个交

点，则一元二次方程x2＋x－2＝0的根的判别式Δ________0；(2)二次函数

y＝x2－6x＋9的图象与x轴有_____个交

点，则一元二次方程x2－6x＋9＝0的根的判别式Δ_______0；(3)二次函数

y＝x2－x＋1的图象与x轴_______公共点，

则一元二次方程x2－x＋1＝0的根的判别式Δ_____0.两＞一＝没有＜典题精讲小兰画了一个函数

y＝x2＋ax＋b的图象如图，则关于x的

方程x2＋ax＋b＝0的解是(

)A．无解

B．x＝1C．x＝－4D．x＝－1或x＝4D典题精讲若二次函数

y＝ax2＋1的图象经过点(－2，0)，则关于x的方程a(x－2)2＋1＝0的实数根为(

)A．x1＝0，x2＝4B．x1＝－2，x2＝6C．x1＝

，x2＝

D．x1＝－4，x2＝03A探索新知2知识点二次函数与其图象与x轴的交点个数之间的关系二次函数y=x2+x-2，y=x2-6x+9，y=x2–x+1的图象如图所示.(1)每个图象与x轴有几个交点？(2)一元二次方程

x2+x-2=0，x2-6x+9=0有几个根?

验证一下一元二次方程x2–x+1=0有根吗?(3)二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元

二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?探索新知（1）2个，1个，0个.（2）2个根，2个相等的根，无实数根.（3）二次函数y=x2+x-2y=x2-6x+9y=x2-x+1与x轴交点坐标(-2，0)，(1，0)(3，0)无交点相应方程的根x1=-2，x2=1x1=x2=3无实根解：探索新知归纳通过二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象可知：(1)如果抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当x=x0时，函数的值为0，因此x=x0就是方程ax2+bx+c=0的一个根.探索新知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点的个数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况b2-4ac>0有两个有两个不相等的实数根b2-4ac=0有一个有两个相等的实数根b2-4ac<0没有公共点没有实数根(2)抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的位置关系与一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的关系：探索新知例2若抛物线

y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个公共点，且过点

A(m，n)，B(m＋6，n)，则n＝_____．导引：∵抛物线

y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个公共点，∴当x

＝－

时，y＝0，且b2－4c＝0，即b2＝4c.又∵抛物

线过点A(m，n)，B(m＋6，n)，∴点A，B关于直线x

＝－

对称．

将A点坐标代入抛物线对应的函数表达式，得n＝

＋c＝－

b2＋c＋9，∵b2＝4c，∴n＝－

×4c＋c＋9＝9.9典题精讲下列抛物线中，与x轴有两个交点的是(

)A．y＝3x2－5x＋3B．y＝4x2－12x＋9C．y＝x2－2x＋3D．y＝2x2＋3x－41D抛物线y＝x2＋bx＋1与x轴只有一个公共点，则b等于(

)A．2B．－2C．±2D．02C典题精讲已知函数y＝ax2－2ax－1(a是常数，a≠0)，下列结论正确的是(

)A．当a＝1时，函数图象经过点(－1，1)B．当a＝－2时，函数图象与x轴没有交点C．若a＜0，函数图象的顶点始终在x轴的下方D．若a＞0，则当x≥1时，y随x的增大而增大3D典题精讲如图，抛物线

y＝ax2＋bx＋c的顶点为B(－1，3)，与x轴的交点A在点(－3，0)和(－2，0)之间，以下结论：①b2－4ac＝0；②a＋b＋c＞0；③2a－b＝0；④c－a＝3.其中正确的有(

)个．A．1B．2C．3D．44B易错提醒若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是(

)A．b＜1且b≠0B．b＞1C．0＜b＜1D．b＜1易错点：混淆“与x轴交点”与“与坐标轴交点”而致错A学以致用小试牛刀已知二次函数

y＝ax2＋bx＋c的

y与

x的部分对应值如下表：1下列结论：①抛物线的开口向下；②其图象的对称轴为直线x＝1；③当x＜1时，函数值

y随

x的增大而增大；④方程ax2＋bx＋c＝0有一个根大于4，其中正确的结论有(

)A．1个B．2个C．3个D．4个x－1013y－3131B小试牛刀抛物线y＝x2－1向下平移8个单位长度后与x轴的两个交点之间的距离为(

)A．4B．6C．8D．102B小试牛刀(1)∵抛物线

y＝－x2＋mx＋3过点B(3，0)，∴0＝－9＋3m＋3，∴m＝2.如图，已知抛物线

y＝－x2＋mx＋3与x轴交于A，B

两点，与y轴交于C点，点B的坐标为(3，0)，抛物线

与直线

y＝－

x＋3交于C，D两点．连接BD，AD.

(1)求m的值．

(2)抛物线上有一点P，满足S△ABP＝

4S△ABD，求点P的坐标．解：小试牛刀(2)由

得∴D，∵S△ABP＝4S△ABD，∴AB×|yP|＝4×AB×，∴|yP|＝9，即

yP＝±9，当

y＝9时，

－x2＋2x＋3＝9，无实数解；当y＝－9时，－x2＋2x＋3＝－9，

解得x1＝1＋

，x2＝1－

，∴点P的坐标为(1＋

，－9)或(1－

，－9)．小试牛刀4已知关于x的一元二次方程x2＋(k－5)x＋1－k＝0，其中k为常数．

(1)求证：无论

k为何值，方程总有两个不相等的实数根；

(2)已知函数

y＝x2＋(k－5)x＋1－k的图象不经过第三象限，求k的

取值范围；

(3)若原方程的一个根大于3，另一个根小于3，求k的最大整数值．(1)证明：∵Δ＝(k－5)2－4(1－k)＝k2－6k＋21＝(k－3)2＋12＞0，

∴无论k为何值，方程总有两个不相等的实数根；小试牛刀(2)解：由题意知抛物线开口方向向上，∵Δ＝(k－3)2＋12＞0，∴抛物线

与x轴有两个交点，设抛物线与x轴的交点的横坐标分别为x1，x2，

∵抛物线不经过第三象限，∴x1＋x2＝5－k＞0，x1·x2＝1－k≥0，解得

k≤1，即k的取值范围是k≤1；(3)解：设方程的两个根分别是x1′，x2′，根据题意，得(x1′－3)(x2′－3)＜0，

即x1′·x2′－3(x1′＋x2′)＋9＜0，又x1′＋x2′＝5－k，x1′·x2′＝1－k，代入得，

1－k－3(5－k)＋9＜0，解得k＜

.则k的最大整数值为2.小试牛刀5已知二次函数的表达式为

y＝x2＋mx＋n.(1)若这个二次函数的图象与x轴交于点A(1，0)，点B(3，0)，求实

数m，n的值；(2)若△ABC是有一个内角为30°的直角三角形，∠C为直角，sinA，

cosB是方程x2＋mx＋n＝0的两个根，求实数m，n的值．解：(1)将点A(1，0)，B(3，0)的坐标分别代入

y＝x2＋mx＋n

中，得

解得小试牛刀(2)当∠A＝30°时，sinA＝cosB＝

，∴－m＝

＋

，n＝×，∴m＝－1，n＝

；

当∠B＝30°时，sinA＝cosB＝

，∴－m＝

＋

，n＝×，∴m＝－

，n＝.

综上所述，m＝－1，n＝

或m＝－

，n＝.小试牛