《复数的概念》示范课教案【高中数学】

《复数的概念》教学设计教学目标教学目标1.了解引入虚数单位i的必要性，通过理解数系的扩充过程，掌握复数的基本概念；2.回顾数系的每一次扩充，体会为什么要引入复数，理解在数系的扩充中由实数集扩充到复数集出现的一些基本概念；3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件；4.激发学生的创新意识，积极参与数学学习活动，增强对数学的好奇心和求知欲．教学重难点教学重难点教学重点：从实数系扩充到复数系的过程与方法，复数的概念．教学难点：复数系扩充过程的数学基本思想，复数的代数表示．教学过程教学过程一、新课导入情境：1545年，数学家卡尔丹在《重要的艺术》中出了这么一个题目：把10分为两部分，使其乘积为40.他按照自己的习惯，设其中一部分为x，列出方程为x(10－x)＝40.但求出的根令他大为不解．卡尔丹认为5+−15和5−−155+−155+−15但由于这只是单纯从形式上推广而来，并且人们原先就已断言负数开平方是没有意义的．尽管当时的数学家都认为5+−15和5−−15这两个式子没有意义，是虚构的，想象的，但在解决许多问题时，使用类似−15那么−15真的是无意义、虚幻的吗？−15能作为数吗？设计意图：了解数学文化的发展，激发学生的好奇心与求知欲，为本节课的学习做好准备.二、新知探究问题1：我们把一个数集连同规定的运算以及满足的运算律叫做一个数系．回顾从自然数系逐步到实数系的扩充过程，每一次数系扩充的主要原因是什么？分别解决了什么实际问题和数学问题？你能借助下面的方程，从解方程的角度加以说明吗？（1）在自然数集中求方程x+4=0的解；（2）在整数集中求方程3x−2=0的解；（3）在有理数集中求方程x2−2=0（4）在实数集中求方程x2答案：（1）从社会实践来看，数系的扩充是为了满足生活和生产实践的需要．计数的需要产生了自然数，有了自然数系；自然数系中不能刻画具有相反意义的量，于是引入了负整数，将自然数系扩充到了整数系；整数系中不能解决测量中的一些等分等问题，于是引入了分数，将整数系扩充到了有理数系；有理数系中无法解决边长为1的正方形对角线长的度量等问题，于是引入了无理数，这样便将有理数系扩充到了实数系．（2）从数学发展本身来看，数系的扩充也是数学本身发展的需要．方程x+4=0在自然数集N内无解，引入负整数后，它在整数集Z内便有解x=−4；方程3x−2=0在整数集Z内无解，引入分数后，它在有理数集Q内便有解x=2方程x2−2=0在有理数集Q内无解，引入无理数后，它在实数集R内便有解方程x2+1=0自然数集自然数集N整数集Z实数集R有理数集Q引入负整数引入分数引入无理数问题2：从自然数集、整数集、有理数集到实数集，每一次数的概念的发展，新的数集都是在原来数集的基础上“添加”了一种新的数得来的．现在，在实数集中，我们又面临方程x2+1=0无解答案：可以添加新数，对实数集进行扩充，并且添加新数后的新的数集中的加法与乘法运算，与实数集中加法与乘法运算协调一致，并且运算律保持不变．追问：引入一个什么样的数呢？答案：为此，我们引入一个新数i，叫做虚数单位，并规定：（1）i2（2）实数与i进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立．问题3：把新引进的数i添加到实数集后，我们希望按照前面总结的数系扩充的“规则”，对实数系进行进一步扩充，那么，实数系经过扩充后，得到的新数系由哪些数组成？答案：新数集中的数是由原来的实数和新引入的虚数i进行运算构成的．把实数a与新数i相加，得到a+i；把实数b与新数i相乘，得到bi；把实数a与实数b与i相乘的结果相加，得到a+bi．比如：3i，1+i追问1：你能写出一个形式，把前面提到的数都包含在内吗？答案：所有新数集中的数都可以写成a+bi（a，b∈R）的形式，因为a=a我们把形如a+bi（a，b∈R）的数叫做复数．通常用字母z表示，即z=a+bi（a，b∈R），其中a称为复数z的实部，记作追问2：你能写出新数集的集合吗？答案：全体复数构成的集合为{a+bi|a问题4：对于复数z=a+bi（a，b∈答案：对于复数z=a+bi（a，b∈R），当且仅当b=0时，它是实数，当且仅当a=b=0时，它是实数0，当b≠0时，叫做虚数，当复数实数（复数实数（b=0虚数（b≠0）（当a【概念巩固】写出复数4，2−3i，0，−12+43i，5+2i，6i的实部、虚部答案：4，2−3i，0，−12+43i，5+2i，6i的实部分别是4，2，0，−12，5，0，虚部分别是0其中，4，0是实数，2−3i，−12+43i，思考：1.复数集C与实数集R有什么关系呢？2.你能写出自然数集N、整数集Z、有理数集Q、实数集R和复数集C的关系，并用Venn图表示吗？答案：显然实数集R是复数集C的真子集，即R⫋自然数集包含于整数集，整数集包含于有理数集，有理数集包含于实数集，实数集包含于复数集（N⊆Z⊆Q⊆R⊆C），事实上，这里的包含于符号，也都可以换成真含于的符号，就是说左边的集合都是右边集合的真子集．问题5：我们知道复数集是由形如a+bi（a，b∈R）的数组成的，为了保证集合中元素的互异性（确定性），我们需要明确集合中两个元素相等的含义，那么，两个复数a+b答案：复数由实部和虚部唯一确定，所以判断两个复数是否相等，就要考虑它们的实部和虚部是否分别相等．所以，如果两个复数的实部与虚部分别相等，那么我们就说这两个复数相等，即a+bi=应当注意：两个实数可以比较大小，但是两个负数，如果不全是实数，它们之间就不能比较大小，只能说相等或不相等．例如，2+i和3三、应用举例例1当实数m取什么值时，复数z=mm−1+(m−1)（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？分析：由m∈R可知m−1，mm−1都是实数，根据复数a+b解：（1）当m−1=0，即m=1时，复数z是实数；（2）当m−1≠0，即m≠1时，复数z是虚数；（3）当mm−1=0且m−1≠0，即m=0时，复数z是纯虚思考：a=0是复数z=a答案：当a=0且b≠0时，复数z=a+bi为纯虚数；当a=b=0时，它是实数0，所以，a=0不例2已知x+y+x−2yi=2x−5+解：由复数相等的充要条件，得x+y解这个方程组，得x=3四、课堂练习1.a=0是复数z=a+bi（a，A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件2.当实数m取什么值时，复数z=m（1）实数；（2）纯虚数；（3）0.3.求适合下列方程的实数x与y的值．（1）x+y−3+（2）x+y+参考答案：1.解：a=0是复数z=a+bi（a，b∈R）不一定为纯虚数，有可能是实数0，反过来复数z=a+bi（a，b∈R）为纯虚数，则必有a=02.（1）当m2−5m−6=0，即m=-1或m=6时，复数（2）当m2−3m−4=0，且m2−5m−6≠0，即（3）当m2−3m−4=0，且m2−5m−6=0，即3.解：（1）由x+y−3=0x−4=0解得x=4（2）由x+