数学同步练习题考试题试卷高中数学第3篇1-3

第三讲直线、圆与圆的位置关系重点难点重点：直线与圆的位置关系，圆的切线方程和弦长问题．难点：圆的综合问题的解题思路．知识归纳1．直线l：Ax＋By＋C＝0与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)的位置关系：(1)几何方法：圆心(a，b)到直线Ax＋By＋C＝0的距离

d<r⇔直线与圆

；d＝r⇔直线与圆

；d>r⇔直线与圆．相交相离相切(2)代数方法： 消元得到的一元二次方程的判别式为Δ，那么Δ>0⇔直线与圆 ；Δ＝0⇔直线与圆 ；Δ<0⇔直线与圆 ．相交相切相离2．圆与圆的位置关系主要用几何方法判断：两圆(x－a1)2＋(y－b1)2＝r(r1>0)与(x－a2)2＋(y－b2)2＝r(r2>0)的圆心距为d，那么d>r1＋r2⇔两圆 ；d＝r1＋r2⇔两圆 ；|r1－r2|<d<r1＋r2⇔两圆 ；d＝|r1－r2|⇔两圆 ；0≤d<|r1－r2|⇔两圆 外离外切相交内切内含(2)代数方法：方程组有两组不同的实数解⇔两圆

；有两组相同的实数解⇔两圆

；无实数解⇔两圆外离或内含．相交相切3．圆的切线(1)求过圆上的一点(x0，y0)的圆的切线方程：先求切点与圆心连线的斜率k，再由垂直关系知切线斜率为－，由点斜式方程可求得切线方程．如果k＝0或k不存在，那么可直接得切线方程为x＝x0或y＝y0.(2)求过圆外一点(x0，y0)的圆的切线方程：①几何方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即kx－y－kx0＋y0＝0.由圆心到直线的距离等于半径，可求得k.②代数方法：设切线方程为y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圆的方程，得到一个关于x的一元二次方程，由Δ＝0，可求得k.经过圆上一点的圆的切线有且仅有一条；经过圆外一点P(x0，y0)的圆的切线有两条，因此用点斜式或斜截式直线方程求切线时，假设有两解，那么所求两条切线方程可得，假设仅有一解，那么另一条必为x＝x0.(3)从圆外一点P(x1，y1)引到圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的切线，那么点P到切点的切线长.4．直线被圆截得的弦长：(1)几何方法：运用弦心距d、半径r及弦的一半构成直角三角形，计算弦长(2)代数方法：运用韦达定理求弦长

※5.圆系：具有某一共同性质的所有圆的集合叫圆系，它的方程叫圆系方程．(1)同心圆系：设圆C的一般方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，那么与圆C同心的圆系方程为：x2＋y2＋Dx＋Ey＋λ＝0.(2)相交圆系：过两个圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0的交点的圆系方程为：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)．①方程①是一个圆系方程，这些圆的圆心都在两圆的连心线上，圆系方程代表的圆不包含圆x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0.λ＝－1时，①式变为一直线：(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋(F1－F2)＝0②假设两圆相交，那么方程②是它们的公共弦所在直线的方程；假设两圆相切，那么方程②就是它们的公切线方程．误区警示1．讨论直线与圆相切、相交的问题时，主要运用几何方法，即用圆心到直线的距离和半径讨论，而用判别式法计算量大，且易出错．2．两个圆的方程联立后消元(如消去y)，Δ＝0与两圆相切不等价．3．点在圆外时，过该点的圆的切线有两条，假设用点斜式求得斜率k只有一解时，应添上垂直于x轴的那一条．方程思想[例]过点(3,0)的直线l与圆x2＋y2＋x－6y＋3＝0相交于P、Q两点，且OP⊥OQ(其中O为原点)，求直线l的方程．解析：设直线l的方程x＋ay－3＝0，那么点P(x1，y1)，Q(x2，y2)的坐标满足方程组由方程组消去x，得(3－ay)2＋y2＋(3－ay)－6y＋6＝0∴y1y2＝解得a＝2或a＝4∴所求直线l的方程为x＋2y－3＝0或x＋4y－3＝0.点评：注意体会“设而不求，整体处理〞的思想方法，即设P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点的坐标，但我们并未求出P、Q来，只是借助于P、Q满足的方程，利用韦达定理寻求a的方程，继而求出a.[例1]直线ax－y＋＝0(a≥0)与圆x2＋y2＝9的位置关系是 ()A．相离 B．相交C．相切 D．不确定解析：圆心O(0,0)到直线ax－y＋＝0的距离答案：B对任意实数λ，直线l1：x＋λy－m－λn＝0与圆C：x2＋y2＝r2总相交于两不同点，那么直线l2：mx＋ny＝r2与圆C的位置关系是 ()A．相离 B．相交C．相切 D．不能确定解析：直线l1：(x－m)＋λ(y－n)＝0过定点A(m，n)，因为直线l1与圆C恒相交于两不同点，∴A在⊙C内，∴m2＋n2<r2，又圆心C(0,0)到l2的距离d＝>r，故l2与⊙C相离．答案：A[例2]直线l过点(－2,0)，当直线l与圆x2＋y2＝2x有两个交点时，其斜率k的取值范围是 ()解析：直线l的方程为y＝k(x＋2)，由题意得，集合A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|kx－y≤2}，其中x，y∈R.假设A⊆B，那么实数k的取值范围是 ()解析：集合A表示的点集是单位圆上的点，集合B表示的是二元一次不等式kx－y≤2所表示的平面区域，其边界直线是kx－y＝2，该直线必过定点(0，－2)，所以要使A⊆B，那么圆与直线必须相切或相离，答案：C[例3]圆O：x2＋y2＝1，圆C：(x－2)2＋(y－4)2＝1，由两圆外一点P(a，b)引两圆的切线PA、PB，切点分别为A、B，满足|PA|＝|PB|.(1)求实数a、b间满足的等量关系；(2)求切线长|PA|的最小值；(3)是否存在以点P为圆心的圆，使它与圆O相内切并且与圆C相外切？假设存在，求出圆P的方程；假设不存在，请说明理由．解析：(1)连结PO、PC.∵|PA|＝|PB|，|OA|＝|CB|＝1，∴|PO|2＝|PC|2，从而a2＋b2＝(a－2)2＋(b－4)2，化简得实数a、b间满足的等量关系为：a＋2b－5＝0.(3)∵圆O和圆C的半径均为1，假设存在半径为R的圆P，与圆O相内切并且与圆C相外切，那么有|PO|＝R－1且|PC|＝R＋1，于是有：|PC|－|PO|＝2，即|PC|＝|PO|＋2，故满足条件的实数a、b不存在，∴不存在符合题设条件的圆P.[例4]如以下图，双曲线的左焦点为F1，顶点为A1、A2，P是双曲线上任意一点，那么分别以线段PF1、A1A2为直径的两圆的位置关系为 ()A．相交 B．相切C．相离 D．以上情况都有可能解析：设右焦点为F2，取PF1的中点M，连结MO和PF2，那么两圆半径分别为|PF1|和a，两圆圆心距为|MO|，且|MO|＝|PF2|.当P点在双曲线右支上时，|PF1|＝|PF2|＋2a，∴|MO|＝|PF1|－a，此时两圆内切；当P点在双曲线左支上时，|PF2|＝|PF1|＋2a，∴|MO|＝|PF1|＋a，此时两圆外切．选B.(09·天津)假设圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为2，那么a＝____________.解析：依题意，画出两圆的位置如图，公共弦为AB，交y轴于点C，连结OA，那么|OA|＝2.两圆方程相减得，2ay＝2，解得y＝，∴|OC|＝.又公共弦长为2，∴|AC|＝.于是，由Rt△AOC可得OC2＝AO2－AC2，即＝22－()2，整理得a2＝1，又a>0，∴a＝1.答案：1[例5]两个圆C1：x2＋y2＝4，C2：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，直线l：x＋2y＝0，求经过C1和C2的交点且和l相切的圆的方程．解析：所求的圆经过C1，C2的交点，故可用圆系方程求解．设所求圆的方程为x2＋y2－2x－4y＋4＋λ(x2＋y2－4)＝0(λ≠－1)即(1＋λ)x2＋(1＋λ)y2－2x－4y＋4(1－λ)＝0点评：由于圆系方程中不包括圆x2＋y2－4＝0，故应检验圆x2＋y2－4＝0是否满足条件．而直线l：x＋2y＝0显然通过该圆的圆心，故不满足条件．圆心在直线x＋y＝0上，且过圆x2＋y2－2x＋10y－24＝0与圆x2＋y2＋2x＋2y－8＝0的点的圆的方程为________．解析：设圆的方程为x2＋y2－2x＋10y－24＋λ(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0，故所求圆的方程为x2＋y2－2x＋10y－24－2(x2＋y2＋2x＋2y－8)＝0，即x2＋y2＋6x－6y＋8＝0.答案：x2＋y2＋6x－6y＋8＝0一、选择题1．(文)设直线过点(0，a)，斜率为1，且与圆x2＋y2＝2相切，那么a的值为 ()[答案]C[解析]如以下图，直线斜率为1，圆的半径为，而OC＝，那么△OAB为等腰直角三角形，且OC＝AC＝，∴OA＝2.(理)(广东中山)假设直线y＝x＋m与曲线＝x有两个不同的交点，那么实数m的取值范围为 ()[答案]B[解析]直线与圆的位置关系如图．直线处于该两个位置之间，那么直线与半圆有两个交点．∴m∈(－，－1]．2．(文)直线xsinθ＋ycosθ＝2＋sinθ与圆(x－1)2＋y2＝4的位置关系是 ()A．相离 B．相切C．相交 D．以上都有可能[答案]

B[解析]

圆心到直线的距离(理)过点(2,3)的直线l与圆C：x2＋y2＋4x＋3＝0交于A、B两点，当弦长|AB|取最大值时，直线l的方程为()A．3x－4y＋6＝0 B．3x－4y－6＝0C．4x－3y＋8＝0 D．4x＋3y－8＝0[答案]

A[解析]

∵过点(2,3)的圆的最长弦AB必是圆的直径，由圆的方程得圆心坐标为(－2,0)，∴直线AB的方程为y

整理得3x－4y＋6＝0，故应选A.3．(文)圆C：(x－a)2＋(y－2)2＝4(a>0)及直线l：x－y＋3＝0，当直线l被圆C截得的弦长为2时，a等于 ()[答案]C(理)(09·陕西)过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为 ()[答案]D[解析]圆x2＋y2－4y＝0的圆心C(0,2)，半径r＝2，由图可知C到直线AO的距离为1，∴AO＝2，应选D.4．(文)圆x2＋y2＋4y＝0在点P(,－1)处的切线方程为 ()[答案]

A(理)(浙江宁波)假设直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，那么点(a，b)与圆的位置关系 ()A．圆上 B．圆外C．圆内 D．不确定[答案]B[解析]圆心到直线的距离d＝<1，∴a2＋b2>1，∴点(a，b)在圆外．二、填空题5．如图，A、B是直线l上的两点，且AB＝2.两个半径相等的动圆分别与l相切于A、B两点，C是这两个圆的公共点，那么圆弧AC，CB与线段AB围成图形面积S的取值范围是________．[解析]当两圆相外切时，所求面积最大，如下图．阴影面积S′＝S矩形－2S扇形O2BC＝2×1－2×＝2当两圆半径逐渐增大时，阴影面积逐渐减小，趋向于0.故答案为.三、解答题6．(文)定直线l：x＝－1，定点F(1,0)，⊙P经过F且与l相切.(1)求P点的轨迹C的方程.(2)是否存在定点M，使经过该点的直线与曲线C交于A、B两点，并且以AB为直径的圆都经过原点；假设有，请求出M点的坐标；假设没有，请说明理由.[解析]

(1)由题设知点P到点F的距离与点P到直线l的距离相等．∴点P的轨迹C是以F为焦点，l为准线的抛物线∴点P的轨迹C的方程为：y2＝4x(2)设AB的方程为x＝my＋n，代入抛物线方程整理得：y2－4my－4n＝0设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么.∵以AB为直径的圆过原点，∴OA⊥OB，∴y1y2＋x1x2＝0.即y1y2＋＝0.∴y1y2＝－16，∴－4n＝－16，n＝4.∴直线AB：x＝my＋4恒过M(4,0)点．(理)(09·江苏)如下图，在平面直角坐标系xOy中，圆C1：(x＋3)2＋(y－1)2＝4和圆C2：(x－4)2＋(y－5)2＝4