图形类方案设计

图形类方案设计【例3】(2014·济宁)在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为6个单位长度的圆形纸板，要求同学们：(1)从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意选取作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；(2)设计的整个图案是某种对称图形．王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告．名称四等分圆的面积方案方案一方案二方案三选用的工具带刻度的三角板带刻度三角板、量角器、圆规．带刻度三角板、圆规.画出示意图简述设计方案作⊙O两条互相垂直的直径AB，CD，将⊙O的面积分成相等的四份.(1)以点O为圆心，以3个单位长度为半径作圆；(2)在大⊙O上依次取三等分点A，B，C；(3)连接OA，OB，OC.则小圆O与三等份圆环把⊙O的面积四等分．(4)作⊙O的一条直径AB；(5)分别以OA，OB的中点为圆心，以3个单位长度为半径作⊙O1，⊙O2；则⊙O1，⊙O2和⊙O中剩余的两部分把⊙O的面积四等分.指出对称性既是轴对称图形又是中心对称图形轴对称图形既是轴对称图形又是中心对称图形【点评】本题主要考查了利用轴对称设计图案以及轴对称图形、中心对称图形的性质，熟练利用扇形面积公式是解题关键．3．认真观察下图的4个图中阴影部分构成的图案，回答下列问题：(1)请写出这四个图案都具有的两个共同特征．特征1：__都是轴对称图形__；特征2：__都是中心对称图形__．(2)请在下图中设计出你心中最美丽的图案，使它也具备你所写出的上述特征．图形的分割与拼接【例4】(2014·广安)在校园文化建设活动中，需要裁剪一些菱形来美化教室．现有平行四边形ABCD的邻边长分别为1，a(a＞1)的纸片，先剪去一个菱形，余下一个四边形，在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，…依此类推，请画出剪三次后余下的四边形是菱形的裁剪线的各种示意图，并求出a的值．4．△ABC是一张等腰直角三角形纸板，∠C＝90°，AC＝BC＝2.(1)要在这张纸板中剪出一个尽可能大的正方形，有甲、乙两种剪法(如图①)，比较甲、乙两种剪法，哪种剪法所得的正方形面积更大？请说明理由．(2)图①中甲种剪法称为第1次剪取，记所得的正方形面积为S1；按照甲种剪法，在余下的△ADE和△BDF中，分别剪取正方形，得到两个相同的正方形，称为第2次剪取，并记这两个正方形面积和为S2(如图②)，则S2＝__eq\f(1,2)__；再在余下的四个三角形中，用同样的方法分别剪取正方形，得到四个相同的正方形，称为第3次剪取，并记这四个正方形的面积和为S3(如图③)；继续操作下去……则第10次剪取时，S10＝__eq\f(1,29)__．(3)求第10次剪取后，余下的所有小三角形的面积和．图形的平移、旋转与翻折【例5】(2014·江西)如图①，边长为4的正方形ABCD中，点E在AB边上(不与点A，B重合)，点F在BC边上(不与点B，C重合)．第一次操作：将线段EF绕点F顺时针旋转，当点E落在正方形上时，记为点G；第二次操作：将线段FG绕点G顺时针旋转，当点F落在正方形上时，记为点H；依此操作下去……(1)图②中的三角形EFD是经过两次操作后得到的，其形状为，求此时线段EF的长；(2)若经过三次操作可得到四边形EFGH；①请判断四边形EFGH的形状为，此时AE与BF的数量关系是；②以①中的结论为前提，设AE的长为x，四边形EFGH的面积为y，求y与x的函数关系式及面积y的取值范围．5．(2013·河南)如图①，将两个完全相同的三角形纸片ABC和DEC重合放置，其中∠C＝90°，∠B＝∠E＝30°.(1)操作发现如图②，固定△ABC，使△DEC绕点C旋转，当点D恰好落在AB边上时，填空：①线段DE与AC的位置关系是____；②设△BDC的面积为S1，△AEC的面积为S2，则S1与S2的数量关系是．(2)猜想论证当△DEC绕点C旋转到如图③所示的位置时，小明猜想(1)中S1与S2的数量关系仍然成立，并尝试分别作出了△BDC和△AEC中BC，CE边上的高，请你证明小明的猜想．(3)拓展探究已知∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，BD＝CD＝4，DE∥AB交BC于点E(如图④)．若在射线BA上存在点F，使S△DCF＝S△BDE，请直接写出相应的BF的长．立体图形与平面图形之间的相互转化【例6】(2012·绍兴)把一边长为40cm的正方形硬纸板进行适当的剪裁，折成一个长方形盒子(纸板的厚度忽略不计)．(1)如图，若在正方形硬纸板的四角各剪一个同样大小的正方形，将剩余部分折成一个无盖的长方体盒子．①要使折成的长方体盒子的底面积为484cm2，那么剪掉的正方形的边长为多少？②折成的长方体盒子的侧面积是否有最大值？如果有，求出这个最大值和此时剪掉的正方形的边长；如果没有，说明理由．(2)若在正方形硬纸板的四周剪掉一些矩形(即剪掉的矩形至少有一条边在正方形硬纸板的边上)，将剩余部分折成一个有盖的长方体盒子，若折成的一个长方体盒子的表面积为550cm2，求此时长方体盒子的长、宽、高．(只需求出符合要求的一种情况)6．(2014·凉山州)如图，圆柱形容器高为18cm，底面周长为24cm，在杯内壁离杯底4cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿2cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到达内壁B处的最短距离为__20__cm.试题动手操作：在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5.如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P，Q也随之移动．若限定点P，Q分别在AB，AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为____．错解：1.剖析学生主要缺乏动手操作习惯，单凭想象造成错误．本题考查了学生的动手能力及图形的折叠、勾股定理的应用等知识，难度稍大，关键在于找到两个极端，即BA′取最大或最小值时，点P或Q的位置．经实验不难发现，分别求出点P与B重合时，BA′取最大值3和当点Q与D重合时，BA′的最小值1.所以可求点A′在BC边上移动的最大距离为2.正解当点P与B重合时，BA′取最大值是3，当点Q与D重合时(如图)，由勾股定理得A′C＝4，此时BA′取最小值为1.则点A′在BC边上移动的最大距离为3－1＝2.答案3、解：(2)满足条件的图形有很多，只要画正确一个．例4、解：①如图，a＝4，②如图，a＝eq\f(5,2)，③如图，a＝eq\f(4,3)，④如图，a＝eq\f(5,3)，【点评】本题主要考查了图形的剪拼以及菱形的判定，根据已知平行四边形ABCD将平行四边形分割是解题关键．4、解：(1)如图甲，由题意得AE＝DE＝EC，即EC＝1，S正方形CFDE＝1.如图乙，设MN＝x，则由题意，得AM＝MQ＝PN＝NB＝MN＝x，∴3x＝2eq\r(2)，解得x＝eq\f(2\r(2),3)，∴S正方形PNMQ＝(eq\f(2\r(2),3))2＝eq\f(8,9).∵1＞eq\f(8,9)，∴甲种剪法所得的正方形的面积更大；(2)由题意可得，S1＝1×1＝1，S2＝2×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，S3＝22×eq\f(1,4)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,4)，S4＝23×eq\f(1,8)×eq\f(1,8)＝eq\f(1,8)……Sn＝eq\f(1,2n－1).故S2＝eq\f(1,2)，S10＝eq\f(1,29)；(3)结合(2)中求得的规律：Sn＝eq\f(1,2n－1)，则第10次剪取后余下的所有小三角形的面积和为S9－S10＝S10＝eq\f(1,29).例5解：(1)等边三角形．∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD＝BC＝AB，∠A＝∠B＝∠C＝90°.∵ED＝FD，∴△ADE≌△CDF.(HL)∴AE＝CF，BE＝BF.∴BEF是等腰直角三角形．设BE的长为x，则EF＝eq\r(2)x，AE＝4－x.∵在Rt△AED中，AE2＋AD2＝DE2，DE＝EF，∴(4－x)2＋42＝(eq\r(2)x)2解得x1＝－4＋4eq\r(3)，x2＝－4－4eq\r(3)(不合题意，舍去)．∴EF＝eq\r(2)x＝eq\r(2)(－4＋4eq\r(3))＝4eq\r(6)－4eq\r(2)(2)①四边形EFGH为正方形；AE＝BF.②∵AE＝x，∴BE＝4－x.∵在Rt△BEF中，EF2＝BF2＋BE2，AE＝BF，∴y＝EF2＝(4－x)2＋x2＝16－8x＋x2＋x2＝2x2－8x＋16，∵点E不与点A，B重合，点F不与点B，C重合，∴0＜x＜4.∵y＝2x2－8x＋16＝2(x2－4x＋4)＋8＝2(x－2)2＋8，∴当x＝2时有最小值8，当x＝0或4时，有最大值16，∴y的取值范围是8≤y＜16.【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理的应用以及旋转的性质，准确找出其中的等量关系并列出方程是解本题的关键．5、解：(1)①∵△DEC绕点C旋转，点D恰好落在AB边上，∴AC＝CD，∵∠BAC＝90°－∠B＝90°－30°＝60°，∴△ACD是等边三角形，∴∠ACD＝60°，又∵∠CDE＝∠BAC＝60°，∴∠ACD＝∠CDE，∴DE∥AC；②∵∠B＝30°，∠C＝90°，∴CD＝AC＝eq\f(1,2)AB，∴BD＝AD＝AC，根据等边三角形的性质，△ACD的边AC，AD上的高相等，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S1＝S2；(2)∵△DEC是由△ABC绕点C旋转得到，∴BC＝CE，AC＝CD，∵∠ACN＋∠BCN＝90°，∠DCM＋∠BCN＝180°－90°＝90°，∴∠ACN＝∠DCM，∵在△ACN和△DCM中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠ACN＝∠DCM，,∠CMD＝∠N＝90°，,AC＝CD，))∴△ACN≌△DCM(AAS)，∴AN＝DM，∴△BDC的面积和△AEC的面积相等(等底等高的三角形的面积相等)，即S1＝S2；(3)如图，过点D作DF1∥BE，易求四边形BEDF1是菱形，所以BE＝DF1，且BE，DF1上的高相等，此时S△DCF＝S△BDE，过点D作DF2⊥BD，∵∠ABC＝60°，∴∠F1DF2＝∠ABC＝60°，∴△DF1F2是等边三角形，∴DF1＝DF2，∵BD＝CD，∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，∴∠DBC＝∠DCB＝eq\f(1,2)×60°＝30°，∴∠CDF1＝180°－30°＝150°，∠CDF2＝360°－150°－60°＝150°，∴∠CDF1＝∠CDF2，∵在△CDF1和△CDF2中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(DF1＝DF2，,∠CDF1＝∠CDF2，,CD＝CD，))∴△CDF1≌△CDF2(SAS)，∴点F2也是所求的点，∵∠ABC＝60°，点D是角平分线上一点，DE∥AB，∴∠DBC＝∠BDE＝∠ABD＝eq\f(1,2)×60°＝30°，又∵BD＝4，∴BE＝eq\f(1,2)×4÷cos30°＝2÷eq\f(\r(3),2)＝eq\f(4,3)eq\r(3)，∴BF1＝eq\f(4,3)eq\r(3)，BF2＝BF1＋F1F2＝eq\f(4,3)eq\r(3)＋eq\f(4,3)eq\r(3)＝eq\f(8,3)eq\r(3)，故BF的长为eq\f(4,3)eq\r(3)或eq\f(8,3)eq\r(3).例6解：(1)①设剪掉的正方形的边长为xcm.则(40－2x)2＝484，解得x1＝31(不合题意，舍去)，x2＝9.∴剪掉的正方形的边长为9cm.②侧面积有最大值．设剪掉的正方形的边长为xcm，盒子的侧面积为ycm2，则y与x的函数关系为：y＝4(40－2x)x＝－8x2＋160x＝－8(x－10)2＋800