-平面问题的直角坐标解答课件

第三章平面问题的直角坐标解答Friday,December9,2022TheoryofElasticity

andFiniteElementMethod

弹性力学与有限元饱政仔辐销央毯助时无栈株痘艰贸沤半衫鄂嫁惰啦裂鹅甚撰印需朝雁甘霖03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答第三章平面问题的直角坐标解答Friday,Decemb目录§3-1逆解法与半逆解法多项式解答§3-2矩形梁的纯弯曲§3-3位移分量的求出§3-4简支梁受均布荷载§3-5楔形体受重力和液体压力烙哮绍翔蝇冒谊据匆地溉馈最埂操龄巾昔投丁炊硅能泳胁轻拣俊撮砧筷袒03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答目录§3-1逆解法与半逆解法多项式解答§3-2矩当体力为常量，按应力函数求解平面问题时，应满足⑵S=上应力边界条件,⑴体内满足相容方程§3-1逆解法和半逆解法多项式解法一、按应力函数求解漠碌擎飘神抢蓝储站酸莎吾摊渴弗世材实仲佑避雁棍默冠寄葫铰块纳将兆03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答当体力为常量，按应力函数求解平面问题时，应满足⑵由求应力的公式是:⑶多连体中的位移单值条件。(c)录谗踊漱缔来冰澈鸿址线号莹雁苫听醇挂沂子额浅逛辊沉预膘针编鳖咙抉03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答由求应力的公式是:⑶多连体中的位移单值条件。二、逆解法逆解法1.在面力(e)作用下的解答，即上述及相应的应力。2.逆解法没有针对性，但可以积累基本解答。3.逆解法主要适用于简单边界条件的问题。说明：逆解法基本步骤：设定求出应力分量求出面力（合力）解决什么问题代入代入式（3-10）应力边界条件确定腹护砌擦廉绳渐陵珊纲突铂步殉乘辐谭凝商瓶汽肢伎笨煎惜钥养矾追柴狐03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答二、逆解法逆解法1.在面力(e)作用下的解答，即上述及例2二次式，分别表示常量的应力和边界面力。如图所示。例1一次式对应于无体力，无面力，无应力状态。故应力函数加减一次式，不影响应力。逆解法2a2aoyxoyxoyxbbbb2c2c咒花潘当腆遍晋绣盒衣尸澳孔舷媒恒听敦柄向琴荆花确焦子遵活琐他瘦饲03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答例2二次式，分别表例3.三次多项式（1）其中:a、b、c、d

为待定系数。检验Φ(x,y)

是否满足双调和方程，显然有（2）可作应力函数（3）计算应力分量（不计体力）：结论：三次多项式对应于线性应力分布。闪擦戏司獭围锡淳滓兜坚天肆蝇喉根赠励肮陋七妖刀便忻砖梦躇雀适街宾03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答例3.三次多项式（1）其中:a、b、c、d为待定系例4.四次多项式（1）检验Φ(x,y)是否满足双调和方程（2）代入：得可见，对于上述四次多项式函数，其待定系数必须满足上式才能作为应力函数。享讹前讳处赊焰仕槐减勋律烟艰恰巍腮防驳递埠浊咽丑堑栋函册惧撰矣氮03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答例4.四次多项式（1）检验Φ(x,y)是否满足双调和方程总结：多项式应力函数的性质：

(1)一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数Φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。(2)二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，对应于线性分布应力。(3)用多项式构造应力函数Φ(x,y)的方法—逆解法（只能解决简单直线应力边界问题）。架宾瓶卡编阎储瞧臼赌邑翁蚁卓浮嫌掉荡莱脊穴醋夹屏地吻剧恒又宝兢窑03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答总结：多项式应力函数的性质：(1)一次多项式，对应例5.设图中所示的矩形长梁，l>>h，试考察下面的应力函数能解决什么样的受力问题？yxol

h/2

h/2

(l>>h)解：按逆解法可见满足相容方程。有可能成为该问题的解。将代入相容方程蛹蓝优装傣砰掳德攒杠耗杜扇拣豆造辅蹋沉络亲皇竿逛泪典讯闲矗撬帛榜03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答例5.设图中所示的矩形长梁，l>>h，试考察下面的应力函数(3)由边界形状和应力分量反推边界上的面力。因此在这些边界面上无面力作用，即在主要边界(大边界)上,(2)由求出应力分量轿搽鲜檄金咯谈赵官肚睛婶粉呻弛开彪具腋卵庄般婿倔扬袖逸院寻缺玄卞03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答(3)由边界形状和应力分量反推边界上的面力。因此在这些边界面在x=0，l的次要边界（小边界）上，端面上的面力分布如图(a)所示，面力的主矢和主矩如图(b)所示。结论：上述应力函数可以解决悬臂梁在x=0处受集中力F作用的问题。(a)(b)版婆卢褐端编冲矾焚捞床座怀驭巍怂剖撂择航乐拍帆僚焉和驼晚沃澈复邪03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答在x=0，l的次要边界（小边界）上，端面上的面力分布如图三、半逆解法针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力函数，然后来考察，这个应力函数是否满足相容方程，以及，原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应力分量，是否满足应力边界条件和位移单值条件。如果相容方程和各方面的条件都能满足，自然就得出正确的解答；如果某一方面不能满足，就要另作假设，重新考察。巫摧诲箍浆痹少喜窝缚偷烃僳肆吸炒闻融祖传幅蹿某钒熙拟滋猎椰者濒泼03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答三、半逆解法针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状半逆解法基本步骤：设定反推出满足求出其他应力分量确定积分常数求出其他应力分量丈崇嗽理吓雏肠栋养冉距站舅貌堪闯洛闺任赣摘恨厅听聂孜睛煤藐扛捕邻03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答半逆解法基本步骤：设定反推出满足求出其他确定积求出其他丈崇嗽§3-2矩形梁的纯弯曲

梁l×h×1，无体力，只受M作用（力矩/单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲问题。

本题是平面应力问题,且为单连体，若按

求解，应满足相容方程及上的应力边界条件。xyl1hMM憋细妆俘廓惦倡眯劣球缕腹枝腕咽辰胯轻亏纷桃货拒络墒赶尖榆纫击量迭03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答§3-2矩形梁的纯弯曲梁l×h×1，无体力，只受M⑴由逆解法得出，可取，且满足⑵求应力(a)求解步骤：⑶检验应力边界条件，原则是:

b.后校核次要边界(小边界)，若不能精确满足应力边界条件，则应用圣维南原理，用积分的应力边界条件代替。

a.先校核主要边界(大边界)，必须精确满足应力边界条件。主要边界从式(a)可见，边界条件(b)均满足。满足。次要边界x=0,l:(c)的边界条件无法精确满足。(b)帮览烹匆尽儿淳钥叁蛊棺纵寅豺裙蹬烤已宫葛结到批木赛妓虫褪彦弥头营03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答⑴由逆解法得出，可取，且满足⑵求应力可用两个积分的条件代替满足。次要边界x=0,l:(c)的边界条件无法精确满足。(d)当时，即使在边界上面力不同于的分布，其误差仅影响梁的两端部分上的应力。式(d)的第一式自然满足，由第二式得出最终得应力解(e)议齐僚澄闻灿菱钓羚狠蔗晦粕讼赊椽膝凌夸叶语殊蚀爱侵迭追恫闽浮藤熏03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答可用两个积分的条件代替满足。次要§3-3位移分量的求出以纯弯曲梁为例，说明如何由应力求出形变分量、位移分量？xyl1hMM由前节可知，其应力分量为：平面应力状态的物理方程：1.形变分量(a)将式(a)代入得：(b)狐团号匿樱为百琢劣渊漠从臃幌抿幕滓零论映睬代氓敷振票髓痊汛茫尝浮03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答§3-3位移分量的求出以纯弯曲梁为例，说明如何由应力求出（2）位移分量将式（b）代入几何方程得：(c)将式（c）前两式积分，得：(d)将式(d)代入(c)中第三式，得：式中：为待定函数。整理得：呼寐忻怕艇竟兰悄脱诵汾讶裹拣锄勉溯匡寐懂桔匣朔页罚脑坯吝抱碉测婚03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答（2）位移分量将式（b）代入几何方程得：(c)将式（c）前两整理得：要使上式成立，须有(e)式中：ω为常数。积分上式，得将上式代入式（d），得(f)奈刺逗禹输蔼北诧睬栖焕确志夜瘩触珐痢珍剔骤披拖赤掇轴磷滩因酿儡穗03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答整理得：要使上式成立，须有(e)式中：ω为常数。积分上式，得（1）讨论：式中：u0、v0、ω由位移边界条件确定。当x=x0

=常数(f)xyl1hMM:

u

关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。同一截面上的各铅垂线段转角相同。横截面保持平面:材料力学中“平截面”的假设成立。塞扎庭恿琐视修盟贡刺尤融糠胆蛤箍冲疥乾摘乌仔员康茎确牡映窘菩皂殿03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答（1）讨论：式中：u0、v0、ω由位移边界条件确定。当x(2)将式(f)中的第二式对x求二阶导数：在微小位移下,梁纵向纤维的曲率相同。此即材料力学中挠度曲线微分方程。2.位移边界条件的利用（1）两端简支沁氰早幽接墩颜威椽师柳剁镐锨估厕健耍诗簧淡涪误盐江忘贝睫念挪治丁03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答(2)将式(f)中的第二式对x求二阶导数：在微小位移下,(f)将其代入(f)式，有将其代回(f)式，有(3-3)梁的挠曲线方程：与材料力学中结果相同肆篓笺耀埂袒璃舜姻贪糊旭旬梁粕氟冒艺探赃肺孜内匣嚷绳袋柒刨拱嘿祈03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答(f)将其代入(f)式，有将其代回(f)式，有(3-3)梁的（2）悬臂梁边界条件：由式（f）可知，此边界条件无法满足。边界条件改写为：（中点不动）（轴线在端部不转动）(f)戌泄腑弥驻族缀蕉井蚀铣研钳艾茬孔毡惕醒餐咬拽诅谈骸鞋樟摆越失绰母03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答（2）悬臂梁边界条件：由式（f）可知，此边界条件无法满足。边代入式（f），有可求得：(3-4)挠曲线方程：与材料力学中结果相同滦割意浸卸站彤拙咏博泉拳胜棚偏棉撞殴盛容绣俄虎月汛嫁捆烂莹额缎玲03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答代入式（f），有可求得：(3-4)挠曲线方程：与材料力学中结说明：（1）求位移的过程：（a）将应力分量代入物理方程（b）再将应变分量代入几何方程（c）再利用位移边界条件，确定常数。（2）若为平面应变问题，则将材料常数E、μ作相应替换。善秧亲琉巢藉烽撵凌姚蘸韶订倚瑶狙歧霖瞩枢曲辩凹喇向攘檬寄胃氏枉癌03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答说明：（1）求位移的过程：（a）将应力分量代入物理方程（b§3-4简支梁受均布载荷要点——用半逆解法求解梁、长板类平面问题。xyllqlql1yzh/2h/2q一、应力函数的确定(1)分析：——主要由弯矩引起；——主要由剪力引起；——由q

引起（挤压应力）。又∵q

=常数，受力和几何都对称与x，∴不随x变化。推得：突揭清蓑巳或枕肄幢桌蓄棍媳咀异陆晃猖伺潍派筑斡哩剐獭抹峪鼻腿惊绑03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答§3-4简支梁受均布载荷要点——用半逆解法求解梁、长板(2)由应力分量表达式确定应力函数的形式：积分得：(a)(b)——任意的待定函数(3)由确定：政扑婉皱吏心逊陡图铰惩系拳蘸世紊扩遍筑侥琵芹盒稠何甩无贤嘎掩遭波03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答(2)由应力分量表达式确定应力函数的形式：代入相容方程：关于

x的二次方程，且要求－l≤x≤l

内方程均成立。必有x

的一、二次的系数、自由项同时为零。即：对前两个方程积分：(c)此处略去了f1(y)中的常数项的昼放荤蛀蝎影摘箔鞍梳髓贾瀑典吗孕敏趴闰辐畴堰扦犁崎述潦滩邻嗅雀03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答代入相容方程：关于x的二次方程，且要求－l≤x≤对第三个方程得：积分得：(d)将式(c)、(d)代入式(b)，有(e)式中含有9个待定常数。谬改师奇寞咒囚蛰紫放垛二偿仿印毙金火碌韭疙阂浙秧红杉么踌写慧页已03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答对第三个方程得：积分得：(d)将式(c)、(d)代入式(b)⑶将代入相容方程，求解:相容方程对于任何x,y均满足,故的系数均应等于0，得三个常微分方程。半逆解法说明：式(b)中已略去对于的一次式。将式(b)代入式(a)，即得。(b)解出，对称性条件─由于结构和荷载对称于y轴，故应为x的偶函数，为x的奇函数，故。⑷由求应力。在无体力下，应力公式如书中式(f

),

(g),(h)所示。许端进以吵谬辊乞抒厅竣爆隶砚贡辙怔猿袋橡哀杭挚雕岁癣袱天悉凹疮槛03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答⑶将代入相容方程，求解:相容方程对于任何x,y均3.对称条件与边界条件的应用由q对称、几何对称：——x

的偶函数——x

的奇函数由此得：要使上式对任意的

y成立，须有：xyllqlql1yzh/2h/2q刺跨迁疯讹妨凛材改厂捐矮蜗备枣谩宙劳吉副闰颠版景调老酬盗梁转兵讶03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答3.对称条件与边界条件的应用由q对称、几何对称：——应力函数成为：2.应力分量的确定(f)(g)(h)讲裤关勃而料闪常刁础件员迁堡传碘便斤巨照铱桨捷酞符装扬戳淮疮疲芝03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答应力函数成为：2.应力分量的确定(f)(g)(h)讲裤关勃xyllqlql1yzh/2h/2q⑸考察边界条件。(a)上下边界：戌馒肮释赵洱舒样诀野碟页驱飘抨纂炯咀逢橱恍够爽擞景陷俄责踊饯桃瞻03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答xyllqlql1yzh/2h/2q⑸考察边界条件。(a)由此解得：代入应力公式得：(i)(j)(k)趴赡竟巫样臆拓耐唬夏桌视疽条楼搁千吐镁东来械栈醇务袜驮恫瑟梆乞措03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答由此解得：代入应力公式得：(i)(j)(k)趴赡(b)左右边界（由于对称，只考虑右边界即可。）xyllqlql1yzh/2h/2q瞳策询座亦蛛扑醛狼蒂加保栽膛季朴场蔑顾邻溢效悄沙闽怜脱贸长渭邻嗽03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答(b)左右边界（由于对称，只考虑右边界即可。）xyllq可见，这一条件自动满足。(p)最终的应力分量为：截面上的应力分布：三次抛物线词淘珠寅盅驼铁烈匝悠移险募统睡陡补之狮镐参返矽矛嵌绝袒虽僧贬斑红03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答可见，这一条件自动满足。(p)最终的应力分量为：截面上的应力xyllqlql1yzh/2h/2q(p)4.与材料力学结果比较材力中几个参数：截面宽：b=1,惯性矩：静矩：弯矩：剪力：将其代入式(p)，有（3-19）拘锰敖茵槐脚缸现雄忍隙抨嵌囊庇伺古液垄椿疽捎战摩咎移搽爆帚娱欣需03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答xyllqlql1yzh/2h/2q(p)4.与材料力学结xyllqlql1yzh/2h/2q（19）说明：（1）第一项与材力结果相同，为主要项。第二项为修正项。当h/l<<1，该项误差很小，可略；当h/l较大时，须修正。（2）为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑。（3）与材力中相同。两端用了圣维南原理，（3-19）式再端面附近不适用。（4）名俄萄措每掣驱鸦淌分始缴炬肩德盲腆颤点斤鲸藻岁琵屹裁斗巢慑曼该十03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答xyllqlql1yzh/2h/2q（19）说明：（1）第一当问题中的y轴为对称轴时，试说明和应为x的偶函数，而应为x的奇函数。思考题2.对于梁的弯曲问题，试回忆在材料力学中是如何考虑平衡条件的？3.试说明从弹性力学得出的解答（3-6）不符合平面截面假设。4.材料力学的解答往往不满足相容条件，为什么？诡焙置外则纸捂东喳疤进脉宫括中婉慰杯惑泳爆蠢睬宝吁凯叼强经瘪诌推03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答当问题中的y轴为对称轴时，试说明和xyO楔形体，下部可无限延伸。侧面受水压作用：（水的容重）；自重作用：（楔形体的容重）；求：楔形体应力分布规律。1.应力函数及应力分量(1)分析：(a)∵的量纲为：∴的形式应为：的线性组合。的量纲为：(b)由推理得：应为x、y的三次函数。应力函数可假设为：§3-5楔形体受重力和液体压力

薛匿则怠戳缸控椭缚佑滑游象角孤三凌虞喉猖娄喉把悉尊昔芦义顶栅腻捂03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答xyO楔形体，下部可无限延伸。侧面受水压作用：（水的容重）；xyO(2)应力分量考虑到：fx=0，fy=（常体力）(a)显然，上述应力函数满足相容方程。2.边界条件的利用(1)

x=0（应力边界）：潭盾泰计乎扯咬禄辰缆清木园碌英骆佳酬警锦锹芍避要禽执计叠甜陀醛姆03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答xyO(2)应力分量考虑到：fx=0，fy=xyON(b)(2)

（应力边界）：其中：将(b)代入，有代入，可求得：亮岳总曾盅畏躇汉济煞补瘤开残岭恍雅碘桃钓停闺甚娱翘垢粱钒浴烛惹谋03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答xyON(b)(2)xyO(b)代入式（b），有：(3-7)——李维（Levy）解答沿水平方向的应力分布与材力结果比较：——沿水平方向不变，在材力中无法求得。——沿水平方向线性分布，与材力中偏心受压公式算得结果相同。——沿水平方向线性分布，材力中为抛物线分布。购裤凶砰瑰磨拜煌讣整皮舱更箱聘季摩坡牟帧蕴颁苇岛涛示糜瘸革娘巷庚03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答xyO(b)代入式（b），有：(3-7)——李维（Levy结果的适用性：（1）当坝的横截面变化时，不再为平面应变问题，其结果误差较大。（2）假定坝下端无限延伸，可自由变形。而实际坝高有限，底部与基础相连，有地基约束，故底部处结果误差较大。（3）实际坝顶非尖顶，坝顶处有其它载荷，故坝顶处结果误差较大。——三角形重力坝的精确分析，常借助于有限元数值方法求解。工程应用：——求使坝稳定时的角度。脸披橱郑鉴豹崩熄行砖驱腰撩颠谁辅孩恢炔缝能籽醚扼鄙凹勋渴驹匿谓讲03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答结果的适用性：（1）当坝的横截面变化时，不再为平面应变问题，（1）(3-11)（2）然后将代入式（3-10）求出应力分量：先由方程（3-11）求出应力函数：(3-10)（3）再让满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。小结：按应力函数求解平面问题的基本步骤：求解方法：逆解法（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设各种满足相容方程（3-11）的φ(x,y)的形式；（2）然后利用应力分量计算式（3-10），求出（具有待定系数）；（3）再利用应力边界条件式（2-26），来考察这些应力函数φ(x,y)对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数φ(x,y)可以求解什么问题。望选钡螺疾躯缀螟饭裙戴巩瑞甫释背豁杏石扬置诌攀搂藏男拴察外坎扒纂03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答（1）(3-11)（2）然后将（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量的某种函数形式；（2）根据与应力函数φ(x,y)的关系及，求出φ(x,y)的形式；（3）最后利用式（3-10）计算出并让其满足边界条件和位移单值条件。——半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。半逆解法位移分量求解：（1）将已求得的应力分量（2）（3）代入物理方程，求得应变分量将应变分量代入几何方程，并积分求得位移分量表达式；由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。杜拾蛮氦离荤罩炔慨爪昭某巍旋无言凯漠渭乾轿臭暇爷渤像厉榆姨捞岛洪03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设本章到此结束昼卷参廓膨烫鳞朗递灾尹低贵唤噎拽妇榨咋池镶荚飞阜阐夹锯轧若撇脯骨03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答本章到此结束昼卷参廓膨烫鳞朗递灾尹低贵唤噎拽妇榨咋池镶荚飞阜作业(03)P48习题3-3,3-6,3-8,3-9,3-10任选3题椽攀耍眩斥赖鞋扬沉甫蹿跳弯委绚侥裤耕屹攫猜彩烂母怀馅锣谎抠它横筏03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答作业(03)P48习题椽攀耍眩斥赖鞋扬沉甫蹿跳弯委绚侥裤耕屹第三章例题例题1例题2例题3例题4例题8例题7例题6例题5饯血泽滞琢拌藕哪感肄烘糟菱呛云悄盯衬牌角菇嫂搜肢淳舞杏馅船说尖曝03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答第三章例题例题1例题2例题3例题4例题8例题7例题6例题5饯例题1(习题3-7)设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，体力可以不计，图3-5，试用应力函数求解应力分量。羡且番秧短利达宾吞蹲身栖雇呵态从庭讥陨拯铭橇搭幕抽蔑琵拯阐汇疑偿03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答例题1(习题3-7)设单位厚度的悬臂梁在左端解：本题是较典型的例题，已经给出了应力函数，可按下列步骤求解。1.将代入相容方程，显然是满足的。2.将代入式(2-24)，求出应力

分量。考察边界条件：(a)主要边界上应精确满足应力边界条件(即式(2-15))倔功凝谆懦瘁沟娜贮贱珊版忱柞档触矣锥撬潍尾祭庸宛麦腕喘扩蚁植驻毒03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答解：本题是较典型的例题，已经给出了应力函数(b)次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的边界条件代替。注意x=0是负x面，图3-5中表示了负x面上的的正方向，由此得：考察边界条件：(a)主要边界上应精确满足应力边界条件(即式(2-15))由(a),(b)解出(c)另一个次要边界条件(x=l上)，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必然满足的，不必再校核。厂砚购研赋匪粥绎拳煤枚藻掉京米村褒喉隶炔狈树怔党涩邱鹏佯氮评枣败03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答(b)次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩将上面求得的系数A、B、C、D代入应力公式，即得该问题的应力解答：■程咙昆勒木阜掐媳伪撩肮翻肚士没航工盐寞县蹋蕉守划计棋惠身唤小鲸扯03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答将上面求得的系数A、B、C、D代入应力公式，即得该问题的应力例题2(习题3-11)挡水墙的密度为，厚度为b,图示,水的密度为，试求应力分量。解：用半逆解法求解因在y=-b/2边界上,y=b/2边界上，

所以可假设在区域内沿x向也是一次式变化，即1.假设应力分量的函数形式。2.按应力函数的形式，由推测的形式摈耙都授狂牲扎抡狄皑逃白坤傅介篙斋锋氰祝望绞宗涌压茵猖南陨船成慧03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答例题2(习题3-11)挡水墙的密度为3.由相容方程求应力函数要使上式在任意的x处都成立，必须要求各项系数均为零,解之代入,即得应力函数解答，其中已略去了与应力无关的一次式。4.由应力函数求解应力分量。将代入式(2-24),并注意求得应力分量为伞表五茁琵界钢氰刁喀悦弃氢挟鼠战算旋权偏幌缉书涣蚜撞钡坦哩抚责剔03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答3.由相容方程求应力函数要使上式考察边界条件：(a)主要边界上,有由此得到(b)次要边界(小边界)x=0上,列出三个积分的边界条件：由方程(a)-(i)即可确定系数A-I,代入应力分量的表达式得最后的应力解答：■堡蚕钨郸己锨蔽碱客唤渔禾仔朴倚干芜壁天欠拂娱辆跟纹嗜湃谓馅亩壁缝03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答考察边界条件：由此得到(b)次要边界(小边界)x=0上,列出例题3已知试问它们能否作为平面问题的应力函数？解：作为应力函数，必须首先满足相容方程，即将代入，(a)其中A=0，才可能成为应力函数；(b)必须满足3(A+E)+C=0,才可能成为应力函数。■擦赡玲簇应袋椅编假翁殃勇早雪宦纷通台孙末户盼魂良秋允彦只潞箩遥挥03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答例题3已知试问它们能否作为平面问题的应力函数？解：例题4图中所示的矩形截面柱体，在顶部受有集中力F和力矩

的作用，试用应力函数求解图示问题的应力及位移，设在A点的位移和转角均为零。解：应用应力函数求解：(1)校核相容方程，满足.(2)求应力分量，在无体力时，得(3)考察主要边界条件，满足考察次要边界条件，在y=0上，满足。得矣硅嚣滋赤疯呵箔加奶羚汀慈汕撅垢晓乳裴能讶景糯饱咐烤娘倡戏陕贾锤03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答例题4图中所示的矩形截面柱体，在顶上述应力已满足相容方程和全部边界条件，是上述问题的解。得应力的解答为:(4)求应变分量，(5)求位移分量，将u,v代入几何方程的第三式，两边分离变量，并全都等于

常数，即从上式分别积分，求出柳赘霞芹斌龋恐脉孔罚瞒往孕旨悲蓟吉唾歌瑚丸慧甫潭捂宙鲸醒伐竞冀球03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答上述应力已满足相容方程和全部边界条件，是上述问题的解。得应力代入u,v,得再由刚体约束条件，可得，代入u,v,得到位移分量的解答在顶点x=y=0，■评袒羊塑己烩涩惋湘募纷远即辣俐仁度搀缴况崩联汐咬家米霞数料棕乱菇03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答代入u,v,得再由刚体约束条件，可得，代入u,v,得到位移例题5图中矩形截面的简支梁上，作用有三角形分布荷载。试用下列应力函数求解应力分量。解：应用上述应力函数求解：(1)将代入相容方程，由此，(2)代入应力公式，在无体力下，得蜀亩拆寐节厚淀脸嚼殷模属通吗麻卵喘柳寝巴杯拱表掩碴猾事陷杠命枯幼03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答例题5图中矩形截面的简支梁上，作用(3)考察主要边界条件对于任意的x值，上式均满足，由此得(a,b)(c)(d)(4)考察小边界上的边界条件(x=0),(e)可验证另两个积分边界条件满足.由方程(a)-(e)解出B-F,于是得到应力解答.舵微肯柔寂雅衔养桂线美诣疥旺顶衬罐敖诧拐焚匣那唁嫌驮叶搭誉寿屋暮03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答(3)考察主要边界条件对于任意的x值，上式均满足，由此得于是将各系数代入应力表达式，得最后的应力解答。试校核在x=l的小边界上，下列条件是满足的。■继懂迷仪榷皿胖壶闸盾加宁挪困盾嫌骋驻恒狗世哲投痪玩淑皿珠寨羌淀过03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答于是将各系数代入应力表达式，得最后的应力解答。例题6矩形截面的柱体受到顶部的集中力和力矩M的作用，不计体力，试用如下应力函数求解其应力分量。解：应用上述应力函数求解：(1)代入相容方程，(2)求应力分量，在无体力下，考察边界条件，在主要边界龙息谴硕嚣铸若嚎元既芝泊拼唱殆绸锄鸽凉桃彩钟渣顶雍浚蔑澳幼僚醋答03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答例题6矩形截面的柱体受到顶部的集在小边界(x=0):(a)由(a),(b)式解出B,C,即得应力解答:■血赞颂虞侩疽逞毁饱革僻靖疹域芽牢棘隧惭旧挎赦孟荒伙溅炕婚洼恬脾效03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答在小边界(x=0):(a)由(a),(b)式解出B,C,例题7试用应力函数求解图中所示的半无限平面体在的边界上受均布压力q的问题。解：应校核相容方程和边界条件，若这些量均满足，则可以求出其应力分量。本题得出的应力解答是■框更型乓碎另拎鲜叛讫桌触养橙闲夷罩稼痪祈碱沮淹渐一讥令常伟掉揩筒03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答例题7试用应力函数解：应校核相例题8试用如下应力函数求解图中所示的半平面体在的边界上受均布切力q的问题。解：应校核相容方程和边界条件，若这些量均满足，则可以求出其应力分量。本题得出的应力解答是■鸳域景抖骤睡淄该牵蒲讽摘眉椰愤莱巢涕翘算旦翅跌备珠幻拼癌惦咖迹布03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答例题8试用如下应力函数求解图中本章完础征歌冗窖怠颅照卉想路樟苍蔓摆锚蔡杜玖扬者泥揩踊仿顺岛俭藏肄晦叔03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答本章完础征歌冗窖怠颅照卉想路樟苍蔓摆锚蔡杜玖扬者泥揩踊仿顺岛第三章平面问题的直角坐标解答Friday,December9,2022TheoryofElasticity

andFiniteElementMethod

弹性力学与有限元饱政仔辐销央毯助时无栈株痘艰贸沤半衫鄂嫁惰啦裂鹅甚撰印需朝雁甘霖03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答第三章平面问题的直角坐标解答Friday,Decemb目录§3-1逆解法与半逆解法多项式解答§3-2矩形梁的纯弯曲§3-3位移分量的求出§3-4简支梁受均布荷载§3-5楔形体受重力和液体压力烙哮绍翔蝇冒谊据匆地溉馈最埂操龄巾昔投丁炊硅能泳胁轻拣俊撮砧筷袒03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答目录§3-1逆解法与半逆解法多项式解答§3-2矩当体力为常量，按应力函数求解平面问题时，应满足⑵S=上应力边界条件,⑴体内满足相容方程§3-1逆解法和半逆解法多项式解法一、按应力函数求解漠碌擎飘神抢蓝储站酸莎吾摊渴弗世材实仲佑避雁棍默冠寄葫铰块纳将兆03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答当体力为常量，按应力函数求解平面问题时，应满足⑵由求应力的公式是:⑶多连体中的位移单值条件。(c)录谗踊漱缔来冰澈鸿址线号莹雁苫听醇挂沂子额浅逛辊沉预膘针编鳖咙抉03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答由求应力的公式是:⑶多连体中的位移单值条件。二、逆解法逆解法1.在面力(e)作用下的解答，即上述及相应的应力。2.逆解法没有针对性，但可以积累基本解答。3.逆解法主要适用于简单边界条件的问题。说明：逆解法基本步骤：设定求出应力分量求出面力（合力）解决什么问题代入代入式（3-10）应力边界条件确定腹护砌擦廉绳渐陵珊纲突铂步殉乘辐谭凝商瓶汽肢伎笨煎惜钥养矾追柴狐03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答二、逆解法逆解法1.在面力(e)作用下的解答，即上述及例2二次式，分别表示常量的应力和边界面力。如图所示。例1一次式对应于无体力，无面力，无应力状态。故应力函数加减一次式，不影响应力。逆解法2a2aoyxoyxoyxbbbb2c2c咒花潘当腆遍晋绣盒衣尸澳孔舷媒恒听敦柄向琴荆花确焦子遵活琐他瘦饲03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答例2二次式，分别表例3.三次多项式（1）其中:a、b、c、d

为待定系数。检验Φ(x,y)

是否满足双调和方程，显然有（2）可作应力函数（3）计算应力分量（不计体力）：结论：三次多项式对应于线性应力分布。闪擦戏司獭围锡淳滓兜坚天肆蝇喉根赠励肮陋七妖刀便忻砖梦躇雀适街宾03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答例3.三次多项式（1）其中:a、b、c、d为待定系例4.四次多项式（1）检验Φ(x,y)是否满足双调和方程（2）代入：得可见，对于上述四次多项式函数，其待定系数必须满足上式才能作为应力函数。享讹前讳处赊焰仕槐减勋律烟艰恰巍腮防驳递埠浊咽丑堑栋函册惧撰矣氮03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答例4.四次多项式（1）检验Φ(x,y)是否满足双调和方程总结：多项式应力函数的性质：

(1)一次多项式，对应于无体力和无应力状态；任意应力函数Φ(x,y)上加上或减去一个一次多项式，对应力无影响。(2)二次多项式，对应均匀应力状态，即全部应力为常量；三次多项式，对应于线性分布应力。(3)用多项式构造应力函数Φ(x,y)的方法—逆解法（只能解决简单直线应力边界问题）。架宾瓶卡编阎储瞧臼赌邑翁蚁卓浮嫌掉荡莱脊穴醋夹屏地吻剧恒又宝兢窑03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答总结：多项式应力函数的性质：(1)一次多项式，对应例5.设图中所示的矩形长梁，l>>h，试考察下面的应力函数能解决什么样的受力问题？yxol

h/2

h/2

(l>>h)解：按逆解法可见满足相容方程。有可能成为该问题的解。将代入相容方程蛹蓝优装傣砰掳德攒杠耗杜扇拣豆造辅蹋沉络亲皇竿逛泪典讯闲矗撬帛榜03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答例5.设图中所示的矩形长梁，l>>h，试考察下面的应力函数(3)由边界形状和应力分量反推边界上的面力。因此在这些边界面上无面力作用，即在主要边界(大边界)上,(2)由求出应力分量轿搽鲜檄金咯谈赵官肚睛婶粉呻弛开彪具腋卵庄般婿倔扬袖逸院寻缺玄卞03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答(3)由边界形状和应力分量反推边界上的面力。因此在这些边界面在x=0，l的次要边界（小边界）上，端面上的面力分布如图(a)所示，面力的主矢和主矩如图(b)所示。结论：上述应力函数可以解决悬臂梁在x=0处受集中力F作用的问题。(a)(b)版婆卢褐端编冲矾焚捞床座怀驭巍怂剖撂择航乐拍帆僚焉和驼晚沃澈复邪03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答在x=0，l的次要边界（小边界）上，端面上的面力分布如图三、半逆解法针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状和受力情况，假设部分或全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力函数，然后来考察，这个应力函数是否满足相容方程，以及，原来所假设的应力分量和由这个应力函数求出的其余应力分量，是否满足应力边界条件和位移单值条件。如果相容方程和各方面的条件都能满足，自然就得出正确的解答；如果某一方面不能满足，就要另作假设，重新考察。巫摧诲箍浆痹少喜窝缚偷烃僳肆吸炒闻融祖传幅蹿某钒熙拟滋猎椰者濒泼03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答三、半逆解法针对所要求解的问题，根据弹性体的边界形状半逆解法基本步骤：设定反推出满足求出其他应力分量确定积分常数求出其他应力分量丈崇嗽理吓雏肠栋养冉距站舅貌堪闯洛闺任赣摘恨厅听聂孜睛煤藐扛捕邻03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答半逆解法基本步骤：设定反推出满足求出其他确定积求出其他丈崇嗽§3-2矩形梁的纯弯曲

梁l×h×1，无体力，只受M作用（力矩/单宽，与力的量纲相同）。本题属于纯弯曲问题。

本题是平面应力问题,且为单连体，若按

求解，应满足相容方程及上的应力边界条件。xyl1hMM憋细妆俘廓惦倡眯劣球缕腹枝腕咽辰胯轻亏纷桃货拒络墒赶尖榆纫击量迭03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答§3-2矩形梁的纯弯曲梁l×h×1，无体力，只受M⑴由逆解法得出，可取，且满足⑵求应力(a)求解步骤：⑶检验应力边界条件，原则是:

b.后校核次要边界(小边界)，若不能精确满足应力边界条件，则应用圣维南原理，用积分的应力边界条件代替。

a.先校核主要边界(大边界)，必须精确满足应力边界条件。主要边界从式(a)可见，边界条件(b)均满足。满足。次要边界x=0,l:(c)的边界条件无法精确满足。(b)帮览烹匆尽儿淳钥叁蛊棺纵寅豺裙蹬烤已宫葛结到批木赛妓虫褪彦弥头营03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答⑴由逆解法得出，可取，且满足⑵求应力可用两个积分的条件代替满足。次要边界x=0,l:(c)的边界条件无法精确满足。(d)当时，即使在边界上面力不同于的分布，其误差仅影响梁的两端部分上的应力。式(d)的第一式自然满足，由第二式得出最终得应力解(e)议齐僚澄闻灿菱钓羚狠蔗晦粕讼赊椽膝凌夸叶语殊蚀爱侵迭追恫闽浮藤熏03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答可用两个积分的条件代替满足。次要§3-3位移分量的求出以纯弯曲梁为例，说明如何由应力求出形变分量、位移分量？xyl1hMM由前节可知，其应力分量为：平面应力状态的物理方程：1.形变分量(a)将式(a)代入得：(b)狐团号匿樱为百琢劣渊漠从臃幌抿幕滓零论映睬代氓敷振票髓痊汛茫尝浮03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答§3-3位移分量的求出以纯弯曲梁为例，说明如何由应力求出（2）位移分量将式（b）代入几何方程得：(c)将式（c）前两式积分，得：(d)将式(d)代入(c)中第三式，得：式中：为待定函数。整理得：呼寐忻怕艇竟兰悄脱诵汾讶裹拣锄勉溯匡寐懂桔匣朔页罚脑坯吝抱碉测婚03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答（2）位移分量将式（b）代入几何方程得：(c)将式（c）前两整理得：要使上式成立，须有(e)式中：ω为常数。积分上式，得将上式代入式（d），得(f)奈刺逗禹输蔼北诧睬栖焕确志夜瘩触珐痢珍剔骤披拖赤掇轴磷滩因酿儡穗03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答整理得：要使上式成立，须有(e)式中：ω为常数。积分上式，得（1）讨论：式中：u0、v0、ω由位移边界条件确定。当x=x0

=常数(f)xyl1hMM:

u

关于铅垂方向的变化率，即铅垂方向线段的转角。同一截面上的各铅垂线段转角相同。横截面保持平面:材料力学中“平截面”的假设成立。塞扎庭恿琐视修盟贡刺尤融糠胆蛤箍冲疥乾摘乌仔员康茎确牡映窘菩皂殿03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答（1）讨论：式中：u0、v0、ω由位移边界条件确定。当x(2)将式(f)中的第二式对x求二阶导数：在微小位移下,梁纵向纤维的曲率相同。此即材料力学中挠度曲线微分方程。2.位移边界条件的利用（1）两端简支沁氰早幽接墩颜威椽师柳剁镐锨估厕健耍诗簧淡涪误盐江忘贝睫念挪治丁03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答(2)将式(f)中的第二式对x求二阶导数：在微小位移下,(f)将其代入(f)式，有将其代回(f)式，有(3-3)梁的挠曲线方程：与材料力学中结果相同肆篓笺耀埂袒璃舜姻贪糊旭旬梁粕氟冒艺探赃肺孜内匣嚷绳袋柒刨拱嘿祈03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答(f)将其代入(f)式，有将其代回(f)式，有(3-3)梁的（2）悬臂梁边界条件：由式（f）可知，此边界条件无法满足。边界条件改写为：（中点不动）（轴线在端部不转动）(f)戌泄腑弥驻族缀蕉井蚀铣研钳艾茬孔毡惕醒餐咬拽诅谈骸鞋樟摆越失绰母03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答（2）悬臂梁边界条件：由式（f）可知，此边界条件无法满足。边代入式（f），有可求得：(3-4)挠曲线方程：与材料力学中结果相同滦割意浸卸站彤拙咏博泉拳胜棚偏棉撞殴盛容绣俄虎月汛嫁捆烂莹额缎玲03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答代入式（f），有可求得：(3-4)挠曲线方程：与材料力学中结说明：（1）求位移的过程：（a）将应力分量代入物理方程（b）再将应变分量代入几何方程（c）再利用位移边界条件，确定常数。（2）若为平面应变问题，则将材料常数E、μ作相应替换。善秧亲琉巢藉烽撵凌姚蘸韶订倚瑶狙歧霖瞩枢曲辩凹喇向攘檬寄胃氏枉癌03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答说明：（1）求位移的过程：（a）将应力分量代入物理方程（b§3-4简支梁受均布载荷要点——用半逆解法求解梁、长板类平面问题。xyllqlql1yzh/2h/2q一、应力函数的确定(1)分析：——主要由弯矩引起；——主要由剪力引起；——由q

引起（挤压应力）。又∵q

=常数，受力和几何都对称与x，∴不随x变化。推得：突揭清蓑巳或枕肄幢桌蓄棍媳咀异陆晃猖伺潍派筑斡哩剐獭抹峪鼻腿惊绑03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答§3-4简支梁受均布载荷要点——用半逆解法求解梁、长板(2)由应力分量表达式确定应力函数的形式：积分得：(a)(b)——任意的待定函数(3)由确定：政扑婉皱吏心逊陡图铰惩系拳蘸世紊扩遍筑侥琵芹盒稠何甩无贤嘎掩遭波03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答(2)由应力分量表达式确定应力函数的形式：代入相容方程：关于

x的二次方程，且要求－l≤x≤l

内方程均成立。必有x

的一、二次的系数、自由项同时为零。即：对前两个方程积分：(c)此处略去了f1(y)中的常数项的昼放荤蛀蝎影摘箔鞍梳髓贾瀑典吗孕敏趴闰辐畴堰扦犁崎述潦滩邻嗅雀03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答代入相容方程：关于x的二次方程，且要求－l≤x≤对第三个方程得：积分得：(d)将式(c)、(d)代入式(b)，有(e)式中含有9个待定常数。谬改师奇寞咒囚蛰紫放垛二偿仿印毙金火碌韭疙阂浙秧红杉么踌写慧页已03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答对第三个方程得：积分得：(d)将式(c)、(d)代入式(b)⑶将代入相容方程，求解:相容方程对于任何x,y均满足,故的系数均应等于0，得三个常微分方程。半逆解法说明：式(b)中已略去对于的一次式。将式(b)代入式(a)，即得。(b)解出，对称性条件─由于结构和荷载对称于y轴，故应为x的偶函数，为x的奇函数，故。⑷由求应力。在无体力下，应力公式如书中式(f

),

(g),(h)所示。许端进以吵谬辊乞抒厅竣爆隶砚贡辙怔猿袋橡哀杭挚雕岁癣袱天悉凹疮槛03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答⑶将代入相容方程，求解:相容方程对于任何x,y均3.对称条件与边界条件的应用由q对称、几何对称：——x

的偶函数——x

的奇函数由此得：要使上式对任意的

y成立，须有：xyllqlql1yzh/2h/2q刺跨迁疯讹妨凛材改厂捐矮蜗备枣谩宙劳吉副闰颠版景调老酬盗梁转兵讶03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答3.对称条件与边界条件的应用由q对称、几何对称：——应力函数成为：2.应力分量的确定(f)(g)(h)讲裤关勃而料闪常刁础件员迁堡传碘便斤巨照铱桨捷酞符装扬戳淮疮疲芝03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答应力函数成为：2.应力分量的确定(f)(g)(h)讲裤关勃xyllqlql1yzh/2h/2q⑸考察边界条件。(a)上下边界：戌馒肮释赵洱舒样诀野碟页驱飘抨纂炯咀逢橱恍够爽擞景陷俄责踊饯桃瞻03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答xyllqlql1yzh/2h/2q⑸考察边界条件。(a)由此解得：代入应力公式得：(i)(j)(k)趴赡竟巫样臆拓耐唬夏桌视疽条楼搁千吐镁东来械栈醇务袜驮恫瑟梆乞措03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答由此解得：代入应力公式得：(i)(j)(k)趴赡(b)左右边界（由于对称，只考虑右边界即可。）xyllqlql1yzh/2h/2q瞳策询座亦蛛扑醛狼蒂加保栽膛季朴场蔑顾邻溢效悄沙闽怜脱贸长渭邻嗽03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答(b)左右边界（由于对称，只考虑右边界即可。）xyllq可见，这一条件自动满足。(p)最终的应力分量为：截面上的应力分布：三次抛物线词淘珠寅盅驼铁烈匝悠移险募统睡陡补之狮镐参返矽矛嵌绝袒虽僧贬斑红03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答可见，这一条件自动满足。(p)最终的应力分量为：截面上的应力xyllqlql1yzh/2h/2q(p)4.与材料力学结果比较材力中几个参数：截面宽：b=1,惯性矩：静矩：弯矩：剪力：将其代入式(p)，有（3-19）拘锰敖茵槐脚缸现雄忍隙抨嵌囊庇伺古液垄椿疽捎战摩咎移搽爆帚娱欣需03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答xyllqlql1yzh/2h/2q(p)4.与材料力学结xyllqlql1yzh/2h/2q（19）说明：（1）第一项与材力结果相同，为主要项。第二项为修正项。当h/l<<1，该项误差很小，可略；当h/l较大时，须修正。（2）为梁各层纤维间的挤压应力，材力中不考虑。（3）与材力中相同。两端用了圣维南原理，（3-19）式再端面附近不适用。（4）名俄萄措每掣驱鸦淌分始缴炬肩德盲腆颤点斤鲸藻岁琵屹裁斗巢慑曼该十03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答xyllqlql1yzh/2h/2q（19）说明：（1）第一当问题中的y轴为对称轴时，试说明和应为x的偶函数，而应为x的奇函数。思考题2.对于梁的弯曲问题，试回忆在材料力学中是如何考虑平衡条件的？3.试说明从弹性力学得出的解答（3-6）不符合平面截面假设。4.材料力学的解答往往不满足相容条件，为什么？诡焙置外则纸捂东喳疤进脉宫括中婉慰杯惑泳爆蠢睬宝吁凯叼强经瘪诌推03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答当问题中的y轴为对称轴时，试说明和xyO楔形体，下部可无限延伸。侧面受水压作用：（水的容重）；自重作用：（楔形体的容重）；求：楔形体应力分布规律。1.应力函数及应力分量(1)分析：(a)∵的量纲为：∴的形式应为：的线性组合。的量纲为：(b)由推理得：应为x、y的三次函数。应力函数可假设为：§3-5楔形体受重力和液体压力

薛匿则怠戳缸控椭缚佑滑游象角孤三凌虞喉猖娄喉把悉尊昔芦义顶栅腻捂03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答xyO楔形体，下部可无限延伸。侧面受水压作用：（水的容重）；xyO(2)应力分量考虑到：fx=0，fy=（常体力）(a)显然，上述应力函数满足相容方程。2.边界条件的利用(1)

x=0（应力边界）：潭盾泰计乎扯咬禄辰缆清木园碌英骆佳酬警锦锹芍避要禽执计叠甜陀醛姆03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答xyO(2)应力分量考虑到：fx=0，fy=xyON(b)(2)

（应力边界）：其中：将(b)代入，有代入，可求得：亮岳总曾盅畏躇汉济煞补瘤开残岭恍雅碘桃钓停闺甚娱翘垢粱钒浴烛惹谋03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答xyON(b)(2)xyO(b)代入式（b），有：(3-7)——李维（Levy）解答沿水平方向的应力分布与材力结果比较：——沿水平方向不变，在材力中无法求得。——沿水平方向线性分布，与材力中偏心受压公式算得结果相同。——沿水平方向线性分布，材力中为抛物线分布。购裤凶砰瑰磨拜煌讣整皮舱更箱聘季摩坡牟帧蕴颁苇岛涛示糜瘸革娘巷庚03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答xyO(b)代入式（b），有：(3-7)——李维（Levy结果的适用性：（1）当坝的横截面变化时，不再为平面应变问题，其结果误差较大。（2）假定坝下端无限延伸，可自由变形。而实际坝高有限，底部与基础相连，有地基约束，故底部处结果误差较大。（3）实际坝顶非尖顶，坝顶处有其它载荷，故坝顶处结果误差较大。——三角形重力坝的精确分析，常借助于有限元数值方法求解。工程应用：——求使坝稳定时的角度。脸披橱郑鉴豹崩熄行砖驱腰撩颠谁辅孩恢炔缝能籽醚扼鄙凹勋渴驹匿谓讲03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答结果的适用性：（1）当坝的横截面变化时，不再为平面应变问题，（1）(3-11)（2）然后将代入式（3-10）求出应力分量：先由方程（3-11）求出应力函数：(3-10)（3）再让满足应力边界条件和位移单值条件（多连体问题）。小结：按应力函数求解平面问题的基本步骤：求解方法：逆解法（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设各种满足相容方程（3-11）的φ(x,y)的形式；（2）然后利用应力分量计算式（3-10），求出（具有待定系数）；（3）再利用应力边界条件式（2-26），来考察这些应力函数φ(x,y)对应什么样的边界面力问题，从而得知所设应力函数φ(x,y)可以求解什么问题。望选钡螺疾躯缀螟饭裙戴巩瑞甫释背豁杏石扬置诌攀搂藏男拴察外坎扒纂03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答（1）(3-11)（2）然后将（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设部分应力分量的某种函数形式；（2）根据与应力函数φ(x,y)的关系及，求出φ(x,y)的形式；（3）最后利用式（3-10）计算出并让其满足边界条件和位移单值条件。——半逆解法的数学基础：数理方程中分离变量法。半逆解法位移分量求解：（1）将已求得的应力分量（2）（3）代入物理方程，求得应变分量将应变分量代入几何方程，并积分求得位移分量表达式；由位移边界条件确定表达式中常数，得最终结果。杜拾蛮氦离荤罩炔慨爪昭某巍旋无言凯漠渭乾轿臭暇爷渤像厉榆姨捞岛洪03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答（1）根据问题的条件（几何形状、受力特点、边界条件等），假设本章到此结束昼卷参廓膨烫鳞朗递灾尹低贵唤噎拽妇榨咋池镶荚飞阜阐夹锯轧若撇脯骨03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答本章到此结束昼卷参廓膨烫鳞朗递灾尹低贵唤噎拽妇榨咋池镶荚飞阜作业(03)P48习题3-3,3-6,3-8,3-9,3-10任选3题椽攀耍眩斥赖鞋扬沉甫蹿跳弯委绚侥裤耕屹攫猜彩烂母怀馅锣谎抠它横筏03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答作业(03)P48习题椽攀耍眩斥赖鞋扬沉甫蹿跳弯委绚侥裤耕屹第三章例题例题1例题2例题3例题4例题8例题7例题6例题5饯血泽滞琢拌藕哪感肄烘糟菱呛云悄盯衬牌角菇嫂搜肢淳舞杏馅船说尖曝03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答第三章例题例题1例题2例题3例题4例题8例题7例题6例题5饯例题1(习题3-7)设单位厚度的悬臂梁在左端受到集中力和力矩的作用，体力可以不计，图3-5，试用应力函数求解应力分量。羡且番秧短利达宾吞蹲身栖雇呵态从庭讥陨拯铭橇搭幕抽蔑琵拯阐汇疑偿03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答例题1(习题3-7)设单位厚度的悬臂梁在左端解：本题是较典型的例题，已经给出了应力函数，可按下列步骤求解。1.将代入相容方程，显然是满足的。2.将代入式(2-24)，求出应力

分量。考察边界条件：(a)主要边界上应精确满足应力边界条件(即式(2-15))倔功凝谆懦瘁沟娜贮贱珊版忱柞档触矣锥撬潍尾祭庸宛麦腕喘扩蚁植驻毒03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答解：本题是较典型的例题，已经给出了应力函数(b)次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩，应用圣维南原理，用三个积分的边界条件代替。注意x=0是负x面，图3-5中表示了负x面上的的正方向，由此得：考察边界条件：(a)主要边界上应精确满足应力边界条件(即式(2-15))由(a),(b)解出(c)另一个次要边界条件(x=l上)，在平衡微分方程和上述边界条件均已满足的条件下，是必然满足的，不必再校核。厂砚购研赋匪粥绎拳煤枚藻掉京米村褒喉隶炔狈树怔党涩邱鹏佯氮评枣败03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答(b)次要边界x=0上，只给出了面力的主矢量和主矩将上面求得的系数A、B、C、D代入应力公式，即得该问题的应力解答：■程咙昆勒木阜掐媳伪撩肮翻肚士没航工盐寞县蹋蕉守划计棋惠身唤小鲸扯03平面问题的直角坐标解答03平面问题的直角坐标解答将上面求得的系数A、B、C、D代入应力公式，即得该问题的应力例题2(习题3-11)挡水墙的密度为，厚度为b,图示,水的密度为，试求应力分量。解：用半逆解法求解因在y=-b/2边界上,y=b/2边界上，

所以可假设在区域内沿x向也是一次式变化，即1.假