2022年四川省南充市中考数学试卷

2022年四川省南充市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分．1．（4分）下列计算结果为5的是A． B． C． D．2．（4分）如图，将直角三角板绕顶点顺时针旋转到△，点恰好落在的延长线上，，，则为A． B． C． D．3．（4分）下列计算结果正确的是A． B． C． D．4．（4分）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡有只，可列方程为A． B． C． D．5．（4分）如图，在正五边形中，以为边向内作正，则下列结论错误的是A． B． C． D．6．（4分）为了解“睡眠管理”落实情况，某初中学校随机调查50名学生每天平均睡眠时间（时间均保留整数），将样本数据绘制成统计图（如图），其中有两个数据被遮盖．关于睡眠时间的统计量中，与被遮盖的数据无关的是A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差7．（4分）如图，在中，，的平分线交于点，，交于点，于点，，，则下列结论错误的是A． B． C． D．8．（4分）如图，为的直径，弦于点，于点，，则为A． B． C． D．9．（4分）已知，且，则的值是A． B． C． D．10．（4分）已知点，，，在抛物线上，当且时，都有，则的取值范围为A． B． C． D．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上．11．（4分）比较大小：．（选填，，12．（4分）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成看上去无差别卡片（如图）．从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是．13．（4分）数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点的距离，同学们在外选择一点，测得，两边中点的距离为（如图），则，两点的距离是．14．（4分）若为整数，为正整数，则的值是．15．（4分）如图，水池中心点处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距点；喷头高时，水柱落点距点．那么喷头高时，水柱落点距点．16．（4分）如图，正方形边长为1，点在边上（不与，重合），将沿直线折叠，点落在点处，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，．给出下列四个结论：①；②；③点是直线上动点，则的最小值为；④当时，△的面积为．其中正确的结论是．（填写序号）三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（8分）先化简，再求值：，其中．18．（8分）如图，在菱形中，点，分别在边，上，，，分别与交于点，．求证：（1）．（2）．19．（8分）为传播数学文化，激发学生学习兴趣，学校开展数学学科月活动，七年级开展了四个项目：．阅读数学名著；．讲述数学故事；．制作数学模型；．挑战数学游戏．要求七年级学生每人只能参加一项．为了解学生参加各项目情况，随机调查了部分学生，将调查结果制作成统计表和扇形统计图（如图），请根据图表信息解答下列问题：项目人数人515（1），．（2）扇形统计图中“”项目所对应的扇形圆心角为度．（3）在月末的展示活动中，“”项目中七（1）班有3人获得一等奖，七（2）班有2人获得一等奖，现从这5名学生中随机抽取2人代表七年级参加学校制作数学模型比赛，请用列表或画树状图法求抽中的2名学生来自不同班级的概率．20．（10分）已知关于的一元二次方程有实数根．（1）求实数的取值范围．（2）设方程的两个实数根分别为，，若，求的值．21．（10分）如图，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线在第一象限交于点，连接．（1）求直线与双曲线的解析式．（2）求的面积．22．（10分）如图，为的直径，点是上一点，点是外一点，，连接交于点．（1）求证：是的切线．（2）若，，求的值．23．（10分）南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表．用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润售价进价）种类真丝衬衣真丝围巾进价（元件）80售价（元件）300100（1）求真丝衬衣进价的值．（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？（3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？24．（10分）如图，在矩形中，点是的中点，点是射线上动点，点在线段上（不与点重合），．（1）判断的形状，并说明理由．（2）当点为边中点时，连接并延长交于点．求证：．（3）点在边上，，，，当时，求的长．25．（12分）抛物线与轴分别交于点，，与轴交于点．（1）求抛物线的解析式．（2）如图1，顶点在抛物线上，如果面积为某值时，符合条件的点有且只有三个，求点的坐标．（3）如图2，点在第二象限的抛物线上，点在延长线上，，连接并延长到点，使．交轴于点，与均为锐角，，求点的坐标．

2022年四川省南充市中考数学试卷答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分）每小题都有代号为A、B、C、D四个答案选项，其中只有一个是正确的．请根据正确选项的代号填涂答题卡对应位置．填涂正确记4分，不涂、错涂或多涂记0分．1．（4分）下列计算结果为5的是A． B． C． D．【分析】根据相反数判断，，选项；根据绝对值判断选项．解：选项，原式，故该选项不符合题意；选项，原式，故该选项不符合题意；选项，原式，故该选项符合题意；选项，原式，故该选项不符合题意；故选：．2．（4分）如图，将直角三角板绕顶点顺时针旋转到△，点恰好落在的延长线上，，，则为A． B． C． D．【分析】利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可．解：，，，将直角三角板绕顶点顺时针旋转到△，．点恰好落在的延长线上，．故选：．3．（4分）下列计算结果正确的是A． B． C． D．【分析】根据合并同类项判断选项；根据单项式除以单项式判断选项；根据同底数幂的除法判断选项；根据积的乘方判断选项．解：选项，原式，故该选项不符合题意；选项，原式，故该选项不符合题意；选项，原式，故该选项不符合题意；选项，原式，故该选项符合题意；故选：．4．（4分）《孙子算经》中有“鸡兔同笼”问题：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何．”设鸡有只，可列方程为A． B． C． D．【分析】由上有三十五头且鸡有只，可得出兔有只，利用足的数量鸡的只数兔的只数，即可得出关于的一元一次方程，此题得解．解：上有三十五头，且鸡有只，兔有只．依题意得：．故选：．5．（4分）如图，在正五边形中，以为边向内作正，则下列结论错误的是A． B． C． D．【分析】根据正多边形定义可知，每一个内角相等，每一条边相等，再根据内角和公式求出每一个内角，根据以为边向内作正，得出，，从而选择正确选项．解：在正五边形中内角和：，，不符合题意；以为边向内作正，，，，，，、不符合题意；，符合题意；故选：．6．（4分）为了解“睡眠管理”落实情况，某初中学校随机调查50名学生每天平均睡眠时间（时间均保留整数），将样本数据绘制成统计图（如图），其中有两个数据被遮盖．关于睡眠时间的统计量中，与被遮盖的数据无关的是A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差【分析】根据条形统计图中的数据，可以判断出平均数、众数、方差无法计算，可以计算出中位数，本题得以解决．解：由统计图可知，平均数无法计算，众数无法确定，方差无法计算，而中位数是，故选：．7．（4分）如图，在中，，的平分线交于点，，交于点，于点，，，则下列结论错误的是A． B． C． D．【分析】根据角平分线的性质和和勾股定理，可以求得和的长，再根据平行线的性质，即可得到的长，从而可以判断和，然后即可得到的长，即可判断；再根据全等三角形的判定和性质即可得到的长，从而可以判断．解：平分，，，，，，，，，，，，，，故选项、正确；，，故选项正确；，，，，，，，，，解得，故选项错误；故选：．8．（4分）如图，为的直径，弦于点，于点，，则为A． B． C． D．【分析】先根据三角形的内角和定理可得，由垂径定理得：，最后由圆周角定理可得结论．解：，，，，弦，为的直径，，．故选：．9．（4分）已知，且，则的值是A． B． C． D．【分析】利用分式的加减法法则，乘除法法则把分式进行化简，由，得出，，由，得出，，代入计算，即可得出答案．解：，，，，，，，，故选：．10．（4分）已知点，，，在抛物线上，当且时，都有，则的取值范围为A． B． C． D．【分析】根据题意和题目中的抛物线，可以求得抛物线的对称轴，然后分类讨论即可得到的取值范围．解：抛物线，该抛物线的对称轴为直线，当且时，都有，当时，，解得；当时，，此时无解；由上可得，的取值范围为，故选：．二、填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分）请将答案填在答题卡对应的横线上．11．（4分）比较大小：．（选填，，【分析】先分别计算和的值，再进行比较大小，即可得出答案．解：，，，故．12．（4分）老师为帮助学生正确理解物理变化与化学变化，将6种生活现象制成看上去无差别卡片（如图）．从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率是．【分析】用物理变化的张数除以总张数即可．解：从中随机抽取一张卡片共有6种等可能结果，抽中生活现象是物理变化的有2种结果，所以从中随机抽取一张卡片，抽中生活现象是物理变化的概率为，故．13．（4分）数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的，两点的距离，同学们在外选择一点，测得，两边中点的距离为（如图），则，两点的距离是20．【分析】利用三角形中位线定理解决问题即可．解：，，是的中位线，，，，故20．14．（4分）若为整数，为正整数，则的值是4或7或8．【分析】利用二次根式的性质求得的取值范围，利用算术平方根的意义解答即可．解：，为正整数，且为正整数，为整数，或1或2，当时，，当时，，当时，，综上，的值是4或7或8，故4或7或8．15．（4分）如图，水池中心点处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距点；喷头高时，水柱落点距点．那么喷头高8时，水柱落点距点．【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高时，可设，将代入解析式得出；喷头高时，可设；将代入解析式得，联立可求出和的值，设喷头高为时，水柱落点距点，则此时的解析式为，将代入可求出．解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高时，可设，将代入解析式得出①；喷头高时，可设；将代入解析式得②，联立可求出，，设喷头高为时，水柱落点距点，此时的解析式为，将代入可得，解得．故8．16．（4分）如图，正方形边长为1，点在边上（不与，重合），将沿直线折叠，点落在点处，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，．给出下列四个结论：①；②；③点是直线上动点，则的最小值为；④当时，△的面积为．其中正确的结论是①②③．（填写序号）【分析】①正确．根据证明三角形全等即可；②正确．过点作于点，证明，即可；③正确．连接，．因为，关于对称，推出，推出，可得结论；④错误．过点作于点，求出，，可得结论．解：四边形是正方形，，，，，，，故①正确，过点作于点，，，，，，，，，，故②正确．连接，．，关于对称，，，的最小值为，故③正确，过点作于点，，，，，，，故④错误．故①②③．三、解答题（本大题共9个小题，共86分）解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（8分）先化简，再求值：，其中．【分析】提取公因式，再利用平方差公式计算，再代入计算．解：原式，当时，原式．18．（8分）如图，在菱形中，点，分别在边，上，，，分别与交于点，．求证：（1）．（2）．【分析】（1）根据菱形的性质和全等三角形的判定，可以证明结论成立；（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质，可以得到，，从而可以得到．证明：（1）四边形是菱形，，，，，，在和中，，；（2）由（1）知，，，四边形是菱形，，，，，，．19．（8分）为传播数学文化，激发学生学习兴趣，学校开展数学学科月活动，七年级开展了四个项目：．阅读数学名著；．讲述数学故事；．制作数学模型；．挑战数学游戏．要求七年级学生每人只能参加一项．为了解学生参加各项目情况，随机调查了部分学生，将调查结果制作成统计表和扇形统计图（如图），请根据图表信息解答下列问题：项目人数人515（1）20，．（2）扇形统计图中“”项目所对应的扇形圆心角为度．（3）在月末的展示活动中，“”项目中七（1）班有3人获得一等奖，七（2）班有2人获得一等奖，现从这5名学生中随机抽取2人代表七年级参加学校制作数学模型比赛，请用列表或画树状图法求抽中的2名学生来自不同班级的概率．【分析】（1）由项目人数及其所占百分比可得总人数，总人数乘以项目人数所占比例求出，再根据四个项目人数之和等于总人数得出；（2）用乘以项目人数所占比例即可；（3）七（1）班3人分别用、、表示，七（2）班2人分别、表示，列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．解：（1）被调查的总人数为（人，（人，则，故20、10；（2）扇形统计图中“”项目所对应的扇形圆心角为，故108；（3）七（1）班3人分别用、、表示，七（2）班2人分别、表示，根据题意列表如下：共有20种等可能的情况数，其中这两人来自不同班级的有12种，则这两人来自不同班级的概率是．20．（10分）已知关于的一元二次方程有实数根．（1）求实数的取值范围．（2）设方程的两个实数根分别为，，若，求的值．【分析】（1）根据一元二次方程有实数根，可知△，即可求得的取值范围；（2）根据根与系数的关系和，可以求得的值．解：（1）关于的一元二次方程有实数根，△，解得，即的取值范围是；（2）方程的两个实数根分别为，，，，，，，解得，即的值是3．21．（10分）如图，直线与双曲线交于，两点，直线与双曲线在第一象限交于点，连接．（1）求直线与双曲线的解析式．（2）求的面积．【分析】（1）根据点的坐标可以求得双曲线的解析式，然后即可求得点的坐标，再用待定系数法即可求得直线的解析式；（2）先求出直线的解析式，然后求出点的坐标，再用割补法即可求得的面积．解：（1）设双曲线的解析式为，点在该双曲线上，，解得，，在双曲线上，，解得，设直线的函数解析式为，，解得，即直线的解析式为；（2）作轴，轴，和交于点，作轴，轴，和交于点，如右图所示，直线的解析式为，点，，解得，直线的解析式为，，解得或，点的坐标为，点，，，，，，，，，．22．（10分）如图，为的直径，点是上一点，点是外一点，，连接交于点．（1）求证：是的切线．（2）若，，求的值．【分析】（1）连接，证明即可；（2）过点作于点．由，可以假设，，则，用表示出，，可得结论．（1）证明：连接，是直径，，，，，，，，为的半径，是的切线；（2）解：过点作于点．，可以假设，，则，，，，，，．23．（10分）南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表．用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润售价进价）种类真丝衬衣真丝围巾进价（元件）80售价（元件）300100（1）求真丝衬衣进价的值．（2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？（3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？【分析】（1）利用总价单价数量，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出的值；（2）设购进真丝衬衣件，则购进真丝围巾件，根据真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围，设两种商品全部售出后获得的总利润为元，利用总利润每件的销售利润销售数量，即可得出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题；（3）设每件真丝围巾降价元，利用总利润每件的销售利润销售数量，结合要保证销售利润不低于原来最大利润的，即可得出关于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论．解：（1）依题意得：，解得：．答：的值为260．（2）设购进真丝衬衣件，则购进真丝围巾件，依题意得：，解得：．设两种商品全部售出后获得的总利润为元，则．，随的增大而增大，当时，取得最大值，最大值，此时．答：当购进真丝衬衣100件，真丝围巾200件时，才能使本次销售获得的利润最大，最大利润是8000元．（3）设每件真丝围巾降价元，依题意得：，解得：．答：每件真丝围巾最多降价8元．24．（10分）如图，在矩形中，点是的中点，点是射线上动点，点在线段上（不与点重合），．（1）判断的形状，并说明理由．（2）当点为边中点时，连接并延长交于点．求证：．（3）点在边上，，，，当时，求的长．【分析】（1）由已知得：，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得结论；（2）如图1，延长，交于点，先证明，得，根据直角三角形斜边中线的性质可得，由等边对等角和等量代换，及