2检测系统的误差合成解读课件

2022/12/101检测系统的误差合成1.1测量概论1.2测量数据的估计和处理

系统误差的处理

测量粗大误差的存在判定准则1.3测量系统误差计算方法随机误差及其处理2022/12/101检测系统的误差合成1.1测量概论1.22022/12/1021.1测量概论

测量测量是以确定被测量值为目的的一系列操作。所以测量也就是将被测量与同种性质的标准量进行比较,确定被测量对标准量的倍数。它可由下式表示:

式中：x——被测量值;u——标准量,即测量单位;n——比值（纯数）,含有测量误差。2022/12/1021.1测量概论测量测量是以确定被测2022/12/103

测量方法

实现被测量与标准量比较得出比值的方法,称为测量方法。直接测量、间接测量与组合测量偏差式测量、零位式测量与微差式测量等精度测量与不等精度测量静态测量与动态测量2022/12/103测量方法实现被测2022/12/104

测量误差测量的目的是希望通过测量获取被测量的真实值。但由于种种原因,例如,传感器本身性能不十分优良,测量方法不十分完善,外界干扰的影响等,都会造成被测参数的测量值与真实值不一致,两者不一致程度用测量误差表示。测量误差就是测量值与真实值之间的差值。2022/12/104测量误差2022/12/1051．测量误差的表示方法

（1）绝对误差：绝对误差可用下式定义:Δ=x-L

式中:Δ——绝对误差;x——测量值;L——真实值。2022/12/1051．测量误差的表示方法（2022/12/1061．测量误差的表示方法（2）相对误差：相对误差的定义由下式给出:δ=×100%式中:δ——相对误差,一般用百分数给出;Δ——绝对误差;L——真实值2022/12/1061．测量误差的表示方法（2）相对误2022/12/107

（3）引用误差:相对仪表满量程的一种误差,一般用百分数表示，即

（4）基本误差:指仪表在规定的标准条件下所具有的误差。测量仪表的精度等级就是由基本误差决定的。（5）附加误差:指当仪表的使用条件偏离额定条件下出现的误差。2022/12/107（3）引用误差:相对2022/12/1082.误差的分类误差分为三种:系统误差随机误差粗大误差（1）系统误差：对同一被测量进行多次重复测量时,如果误差按照一定的规律出现,则把这种误差称为系统误差。例如,标准量值的不准确及仪表刻度的不准确而引起的误差。2022/12/1082.误差的分类误差分为三种:（1）系统2022/12/109（2）随机误差：对同一被测量进行多次重复测量时,绝对值和符号不可预知地随机变化,但就误差的总体而言,具有一定的统计规律性的误差称为随机误差。（3）粗大误差：明显偏离测量结果的误差称为粗大误差,又称疏忽误差。这类误差是由于测量者疏忽大意或环境条件的突然变化而引起的。对于粗大误差,首先应设法判断是否存在,然后将其剔除。2022/12/109（2）随机误差：对同一被测量进行多次重2022/12/10101.2测量数据的估计和处理测量数据中含有系统误差和随机误差,有时还会含有粗大误差。它们的性质不同,对测量结果的影响及处理方法也不同。对于不同情况的测量数据,首先要加以分析研究,判断情况,分别处理,再经综合整理以得出合乎科学性的结果。

2022/12/10101.2测量数据的估计和处理测量数据2022/12/1011随机误差的统计和处理判断：在测量中,当系统误差已设法消除或减小到可以忽略的程度时,如果测量数据仍有不稳定的现象,说明存在随机误差。方法:用概率数理统计的方法来研究。任务:从随机数据中求出最接近真值的值,对数据精密度（可信赖的程度）进行评定。2022/12/1011随机误差的统计和处理判断：在测量中,2022/12/1012

测量实践表明,多数测量的随机误差具有以下特征:

①绝对值小的随机误差出现的概率大于绝对值大的随机误差出现的概率。②随机误差的绝对值不会超出一定界限。③测量次数n很大时,绝对值相等、符号相反的随机误差出现的概率相等。1．随机误差的正态分布曲线2022/12/1012测量实践表明,多数2022/12/1013

当测量次数足够多时,测量过程中产生的误差服从正态分布规律。分布密度函数为

y——概率密度;σ——均方根偏差（标准误差）;δ——随机误差（随机变量）,δ=x-L;x——测量值（随机变量）;L——真值（随机变量x的数学期望）。

2022/12/1013当测量次数足够多时,测量2022/12/1014正态分布曲线

正态分布方程式的关系曲线如图所示,说明随机变量在x=L或δ=0处的附近区域内具有最大概率。

2022/12/1014正态分布曲线正态2022/12/10152．正态分布的随机误差的数字特征

算术平均值是诸测量值中最可信赖的,它可以作为等精度多次测量的结果，它反映了随机误差的分布中心。2022/12/10152．正态分布的随机误差的数字特征2022/12/10162．正态分布的随机误差的数字特征

标准偏差σ（均方根误差）描述了随机误差的分布范围，σ

值越大，曲线越平坦，即随机误差分散性越大；反之，曲线越尖锐，随机误差分散性越小。2022/12/10162．正态分布的随机误差的数字特征2022/12/1017

在实际测量时,由于真值L是无法确切知道的,用测量值的算术平均值代替,各测量值与算术平均值差值称为残余误差,即用残余误差计算的均方根偏差称为均方根偏差估计值2022/12/1017在实际测量时,由于2022/12/1018算术平均值的均方根偏差通常在有限次测量时,算术平均值不可能等于被测量的真值L,它也是随机变动的。设对被测量进行m组的“多次测量”,各组所得的算术平均值也有一定的分散性,也是随机变量。算术平均值的精度可由算术平均值的均方根偏差来评定。关系如下:2022/12/1018算术平均值的均方根偏差通常在有限次测2022/12/1019

在有限次测量时,的关系n234567820∞1.251.131.091.061.051.041.031.011.002022/12/1019在有限次测量时,2022/12/1020随机误差在（-∞，+∞）出现的概率误差区间通常表示成σ的倍数,如tσ置信概率t——置信系数；±tσ——置信区间（误差限）在任意误差区间（a,b）出现的概率为由残余误差表示的概率密度2022/12/1020随机误差在（-∞，+∞）出现的概率误2022/12/1021几个典型的t值及其相应的概率t0.674511.9622.5834Pa0.50.68270.950.95450.990.99730.99994当t=±1时,Pa=0.6827,即测量结果中随机误差出现在-σ～+σ范围内的概率为68.27%。而出现在-3σ～+3σ范围内的概率是99.73%,因此可以认为绝对值大于3σ的误差是不可能出现的测量结果可表示为2022/12/1021几个典型的t值及其相应的概率t0.62022/12/1022Pa与α关系

随机误差在±tσ范围内出现的概率为P,则超出的概率称为显著度,用α表示：α=1-Pa-tσ0+tσ2022/12/1022Pa与α关系随机误差2022/12/1023例有一组测量值为237.4、237.2、237.9、237.1、238.1、237.5、237.4、237.6、237.6、237.4,求测量结果.解:将测量值列于表序号测量值xi1237.42237.23237.94237.15237.16237.57237.48237.69237.610237.42022/12/1023例有一组测量值为237.4、2372022/12/1024序号测量值xi残余误差vi1237.4-0.122237.2-0.323237.90.384237.1-0.425237.10.586237.5-0.027237.4-0.128237.60.089237.60.0810237.4-0.12例有一组测量值为237.4、237.2、237.9、237.1、238.1、237.5、237.4、237.6、237.6、237.4,求测量结果.解:将测量值列于表2022/12/1024序号测量值xi残余误差vi1237.2022/12/1025序号测量值xi残余误差vi1237.4-0.120.0142237.2-0.320.103237.90.380.144237.1-0.420.185237.10.580.346237.5-0.020.007237.4-0.120.0148237.60.080.00649237.60.080.006410237.4-0.120.014例有一组测量值为237.4、237.2、237.9、237.1、238.1、237.5、237.4、237.6、237.6、237.4,求测量结果.解:将测量值列于表2022/12/1025序号测量值xi残余误差vi1237.2022/12/1026

测量结果为

x=237.52±0.09(Pa=0.6827)或x=237.52±3×0.09=237.52±0.27(Pa=0.9973)

2022/12/1026测量结果为2022/12/1027系统误差的处理1.从误差根源上消除系统误差

系统误差是在一定的测量条件下,测量值中含有固定不变或按一定规律变化的误差。①所用传感器、测量仪表或组成元件是否准确可靠。②测量方法是否完善。③传感器或仪表安装、调整或放置是否正确合理。④传感器或仪表工作场所的环境条件是否符合规定条件。⑤测量者的操作是否正确。2022/12/1027系统误差的处理1.从误差根源上消除2022/12/1028

2.系统误差的发现与判别发现系统误差一般比较困难,下面只介绍几种发现系统误差的一般方法。

（1）实验对比法这种方法是通过改变产生系统误差的条件从而进行不同条件的测量,以发现系统误差。

（2）残余误差观察法这种方法是根据测量值的残余误差的大小和符号的变化规律,直接由误差数据或误差曲线图形判断有无变化的系统误差。2022/12/10282.系统误差的发现2022/12/1029图中把残余误差按测量值先后顺序排列,图（a）的残余误差排列后有递减的变值系统误差;图（b）则可能有周期性系统误差。2022/12/1029图中把残余误差按测量值先后顺序排列,2022/12/1030马利科夫判据是将残余误差前后各半分两组,若“Σvi前”与“Σvi后”之差明显不为零,则可能含有线性系统误差。阿贝检验法则检查残余误差是否偏离正态分布,若偏离,则可能存在变化的系统误差。（3）准则检查法已有多种准则供人们检验测量数据中是否含有系统误差。不过这些准则都有一定的适用范围。2022/12/1030马利科夫判据是将残余误差前后各半分两2022/12/10313.系统误差的消除（1）在测量结果中进行修正对于已知的系统误差,可以用修正值对测量结果进行修正;对于变值系统误差,设法找出误差的变化规律,用修正公式或修正曲线对测量结果进行修正;对未知系统误差,则按随机误差进行处理。（2）仔细检查仪表,正确调整和安装;防止外界干扰影响。（3）在测量系统中采用补偿措施找出系统误差的规律,在测量过程中自动消除系统误差。（4）实时反馈修正:应用自动化测量技术实时反馈修正的办法来消除复杂的变化系统误差。2022/12/10313.系统误差的消除2022/12/1032测量粗大误差的存在判定准则在对重复测量所得一组测量值进行数据处理之前,首先应将具有粗大误差的可疑数据找出来加以剔除。

1.3σ准则前面已讲到,通常把等于3σ的误差称为极限误差。3σ准则就是如果一组测量数据中某个测量值的残余误差的绝对值|vi|>3σ时,则该测量值为可疑值（坏值）,应剔除。2022/12/1032测量粗大误差的存在判定准则在对2022/12/1033测量粗大误差的存在判定准则2.肖维勒准则|vi|>Zcσ时该测量值为可疑值。n56789101214Zc1.651.731.801.861.921.962.032.102022/12/1033测量粗大误差的存在判定准则2.肖维2022/12/1034序号测量值xi残余误差vivi2

185.55285.24385.36485.58585.31685.59784.28884.94985.351085.21例：测量数据如表所示，判断测量中是否存在粗大误差。2022/12/1034序号测量值xi残余误差vivi212022/12/1035序号测量值xi残余误差vivi2

185.55285.24385.36485.58585.31685.59784.28884.94985.351085.2185.241例：测量数据如表所示，判断测量中是否存在粗大误差。2022/12/1035序号测量值xi残余误差vivi212022/12/1036序号测量值xi残余误差vivi2

185.550.309285.24-0.001385.360.119485.580.339585.310.069685.590.349784.28-0.961884.94-0.301985.350.1091085.21-0.03185.2410.000例：测量数据如表所示，判断测量中是否存在粗大误差。2022/12/1036序号测量值xi残余误差vivi212022/12/1037序号测量值xi残余误差vivi2

185.550.3090.095285.24-0.0010.000385.360.1190.014485.580.3390.115585.310.0690.005685.590.3490.122784.28-0.9610.924884.94-0.3010.091985.350.1090.0121085.21-0.0310.00185.2410.0001.378n56789101214Zc1.651.731.801.861.921.962.032.10根据肖维勒准则|vi|>Zcσ例：测量数据如表所示，判断测量中是否存在粗大误差。2022/12/1037序号测量值xi残余误差vivi212022/12/1038序号测量值xi残余误差vivi2

185.550.3090.095285.24-0.0010.000385.360.1190.014485.580.3390.115585.310.0690.005685.590.3490.122784.28-0.9610.924884.94-0.3010.091985.350.1090.0121085.21-0.0310.00185.2410.0001.378根据肖维勒准则|vi|>Zcσ粗大误差例：测量数据如表所示，判断测量中是否存在粗大误差。2022/12/1038序号测量值xi残余误差vivi212022/12/10391.3测量系统误差计算方法1、不等精度测量的权与误差前面讲述的内容是等精度测量的问题。即多次重复测量得的各个测量值具有相同的精度,可用同一个均方根偏差σ值来表征,或者说具有相同的可信赖程度。

在科学实验或高精度测量中,为了提高测量的可靠性和精度,往往在不同的测量条件下,用不同的测量仪表、不同的测量方法、不同的测量次数以及不同的测量者进行测量与对比,则认为它们是不等精度的测量。

2022/12/10391.3测量系统误差计算方法1、不等2022/12/1040“权”的概念在不等精度测量时,对同一被测量进行m组测量,得到m组测量列（进行多次测量的一组数据称为一测量列）的测量结果及其误差,它们不能同等看待。精度高的测量列具有较高的可靠性,将这种可靠性的大小称为“权”。2022/12/1040“权”的概念在不等精度测量时,对同2022/12/1041权用符号p表示,有两种计算方法:①用各组测量列的测量次数n的比值表示,并取测量次数较小的测量列的权为1,则有2022/12/1041权用符号p表示,有两种计算方法:2022/12/1042②用各组测量列的误差平方的倒数的比值表示,并取误差较大的测量列的权为1。2022/12/1042②用各组测量列的误差平方的倒数的比值2022/12/1043加权算术平均值考虑各测量列的权的情况2022/12/1043加权算术平均值2022/12/1044

加权算术平均值的标准误差2022/12/1044加权算术平均值的标准误差2022/12/10452、测量误差的合成

一个测量系统或一个传感器都是由若干部分组成。设各环节为x1,x2,…,xn,系统总的输入输出关系为y=f(x1,x2,…,xn),而各部分又都存在测量误差。

各局部误差对整个测量系统或传感器测量误差的影响就是误差的合成问题。误差的合成：已知各环节的误差而求总的误差。误差的分配：确定各环节具有多大误差才能保证总的误差值不超过规定值。2022/12/10452、测量误差的合成2022/12/1046（1）系统误差的合成：由前面可知,系统总输出与各环节之间的函数关系为y=f(x1,x2,…,xn)

误差可用微分来表示,故其合成表达式为2022/12/1046（1）系统误差的合成：2022/12/1047（2）随机误差的合成：设测量系统或传感器有n个环节组成,各部分的均方根偏差为

σx1,σx2，…，σxn

则随机误差的合成表达式为2022/12/1047（2）随机误差的合成：2022/12/1048若y=f(x1,x2,…,xn)为线性函数,即y=a1x1+a2x2+…+anxn

2022/12/1048若y=f(x1,x2,…,xn)为线2022/12/1049（3）总合成误差：设测量系统和传感器的系统误差和随机误差均为相互独立的,则总的合成误差ε表示为：ε=Δy±σy2022/12/1049（3）总合成误差：设测量系统和传感器2022/12/1050在组合测量的数据处理、实验曲线拟合方面的重要工具。要获得最可信赖的测量结果，应使各测量值的残余误差平方和最小。3.最小二乘法的应用2022/12/1050在组合测量的数据处理、实验曲线拟合方2022/12/1051设检测系统为：其中Y为直接测量值，对系统进行n次测量，可得以下线性方程组：（n＞m）为被测量2022/12/1051设检测系统为：其中Y为直接测量值，对2022/12/1052其中是被测量的最可信赖的值，为各次测量结果。则残余误差ｖ为：设为带误差的实际直接测量值，2022/12/1052其中是被测量的最可信赖的值，为各次测2022/12/1053按最小二乘原理，上述残余误差平方和为最小，即根据求极值条件使整理后可得最小二乘估计的正规方程：2022/12/1053按最小二乘原理，上述残余误差平方和为2022/12/1054最小二乘估计的正规方程2022/12/1054最小二乘估计的正规方程2022/12/1055正规方程是一个m元线性方程组，当其系数行列式不为零时，有唯一确定解，由此可解得被测量的估计值2022/12/1055正规方程是一个m元线性方程组，当其系2022/12/1056【例题】铜电阻的电阻值R与温度t之间关系为，在不同温度下，测得铜电阻的电阻值如下表所示。试估计0℃时的铜电阻的电阻值R0和铜电阻的电阻温度系数α。ti/℃19.125.030.136.040.045.150.0rti/Ω76.377.879.7580.8082.3583.9085.102022/12/1056【例题】铜电阻的电阻值R与温度t之间2022/12/1057解：列误差方程（i=1,2,…,7）则误差方程可写为：令2022/12/1057解：列误差方程（i=1,2,…,72022/12/1058n=7，m=2时最小二乘估计的正规方程为2022/12/1058n=7，m=2时最小二乘估计的正规方2022/12/1059解得

x1=70.8x2=0.288

即2022/12/1059解得2022/12/10604.用经验公式拟合实验数据——回归分析在工程实践和科学实验中，经常遇到对于一批实验数据，需要把它们进一步整理成曲线图或经验公式。用经验公式拟合实验数据，工程上把这种方法称为回归分析。2022/12/10604.用经验公式拟合实验数据——回归分2022/12/1061当经验公式为线型函数时称为线性回归分析

y=b0+b1x1+b2x2+…+bnxn当独立变量只有一个时，称为一元线性回归

y=b0+bx2022/12/1061当经验公式为线型函数时称为线性回归分2022/12/1062设有n对测量数据(xi,yi)用y∧=b0+bx最常用的方法是利用最小二乘法原理，求出方程中b0，b的最佳估计值，使各测量数据点与回归直线的偏差平方和为最小。用最小二乘法求出系数b0，b2022/12/1062设有n对测量数据(xi,yi)2022/12/1063思考题什么是测量？测量的目的是什么？

测量方法的分类？

什么是测量误差？

测量误差的分类？

随机误差的特征？

算术平均值是反映随机误差的

；而均方根偏差则反映随机误差的

？在实际测量时,真值L是否可以确切知道？实际测量的误差应该怎样计算？

残余误差计算的均方根偏差称为均方根偏差估计值，与均方根偏差有何区别？什么是系统误差？如何发现系统误差？粗大误差如何判定？

2022/12/1063思考题什么是测量？测量的目的是什么？2022/12/1064作业26页1-10、1-1127页1-13

2022/12/1064作业26页1-10、1-112022/12/1065结束2022/12/1065结束2022/12/1066检测系统的误差合成1.1测量概论1.2测量数据的估计和处理

系统误差的处理

测量粗大误差的存在判定准则1.3测量系统误差计算方法随机误差及其处理2022/12/101检测系统的误差合成1.1测量概论1.22022/12/10671.1测量概论

测量测量是以确定被测量值为目的的一系列操作。所以测量也就是将被测量与同种性质的标准量进行比较,确定被测量对标准量的倍数。它可由下式表示:

式中：x——被测量值;u——标准量,即测量单位;n——比值（纯数）,含有测量误差。2022/12/1021.1测量概论测量测量是以确定被测2022/12/1068

测量方法

实现被测量与标准量比较得出比值的方法,称为测量方法。直接测量、间接测量与组合测量偏差式测量、零位式测量与微差式测量等精度测量与不等精度测量静态测量与动态测量2022/12/103测量方法实现被测2022/12/1069

测量误差测量的目的是希望通过测量获取被测量的真实值。但由于种种原因,例如,传感器本身性能不十分优良,测量方法不十分完善,外界干扰的影响等,都会造成被测参数的测量值与真实值不一致,两者不一致程度用测量误差表示。测量误差就是测量值与真实值之间的差值。2022/12/104测量误差2022/12/10701．测量误差的表示方法

（1）绝对误差：绝对误差可用下式定义:Δ=x-L

式中:Δ——绝对误差;x——测量值;L——真实值。2022/12/1051．测量误差的表示方法（2022/12/10711．测量误差的表示方法（2）相对误差：相对误差的定义由下式给出:δ=×100%式中:δ——相对误差,一般用百分数给出;Δ——绝对误差;L——真实值2022/12/1061．测量误差的表示方法（2）相对误2022/12/1072

（3）引用误差:相对仪表满量程的一种误差,一般用百分数表示，即

（4）基本误差:指仪表在规定的标准条件下所具有的误差。测量仪表的精度等级就是由基本误差决定的。（5）附加误差:指当仪表的使用条件偏离额定条件下出现的误差。2022/12/107（3）引用误差:相对2022/12/10732.误差的分类误差分为三种:系统误差随机误差粗大误差（1）系统误差：对同一被测量进行多次重复测量时,如果误差按照一定的规律出现,则把这种误差称为系统误差。例如,标准量值的不准确及仪表刻度的不准确而引起的误差。2022/12/1082.误差的分类误差分为三种:（1）系统2022/12/1074（2）随机误差：对同一被测量进行多次重复测量时,绝对值和符号不可预知地随机变化,但就误差的总体而言,具有一定的统计规律性的误差称为随机误差。（3）粗大误差：明显偏离测量结果的误差称为粗大误差,又称疏忽误差。这类误差是由于测量者疏忽大意或环境条件的突然变化而引起的。对于粗大误差,首先应设法判断是否存在,然后将其剔除。2022/12/109（2）随机误差：对同一被测量进行多次重2022/12/10751.2测量数据的估计和处理测量数据中含有系统误差和随机误差,有时还会含有粗大误差。它们的性质不同,对测量结果的影响及处理方法也不同。对于不同情况的测量数据,首先要加以分析研究,判断情况,分别处理,再经综合整理以得出合乎科学性的结果。

2022/12/10101.2测量数据的估计和处理测量数据2022/12/1076随机误差的统计和处理判断：在测量中,当系统误差已设法消除或减小到可以忽略的程度时,如果测量数据仍有不稳定的现象,说明存在随机误差。方法:用概率数理统计的方法来研究。任务:从随机数据中求出最接近真值的值,对数据精密度（可信赖的程度）进行评定。2022/12/1011随机误差的统计和处理判断：在测量中,2022/12/1077

测量实践表明,多数测量的随机误差具有以下特征:

①绝对值小的随机误差出现的概率大于绝对值大的随机误差出现的概率。②随机误差的绝对值不会超出一定界限。③测量次数n很大时,绝对值相等、符号相反的随机误差出现的概率相等。1．随机误差的正态分布曲线2022/12/1012测量实践表明,多数2022/12/1078

当测量次数足够多时,测量过程中产生的误差服从正态分布规律。分布密度函数为

y——概率密度;σ——均方根偏差（标准误差）;δ——随机误差（随机变量）,δ=x-L;x——测量值（随机变量）;L——真值（随机变量x的数学期望）。

2022/12/1013当测量次数足够多时,测量2022/12/1079正态分布曲线

正态分布方程式的关系曲线如图所示,说明随机变量在x=L或δ=0处的附近区域内具有最大概率。

2022/12/1014正态分布曲线正态2022/12/10802．正态分布的随机误差的数字特征

算术平均值是诸测量值中最可信赖的,它可以作为等精度多次测量的结果，它反映了随机误差的分布中心。2022/12/10152．正态分布的随机误差的数字特征2022/12/10812．正态分布的随机误差的数字特征

标准偏差σ（均方根误差）描述了随机误差的分布范围，σ

值越大，曲线越平坦，即随机误差分散性越大；反之，曲线越尖锐，随机误差分散性越小。2022/12/10162．正态分布的随机误差的数字特征2022/12/1082

在实际测量时,由于真值L是无法确切知道的,用测量值的算术平均值代替,各测量值与算术平均值差值称为残余误差,即用残余误差计算的均方根偏差称为均方根偏差估计值2022/12/1017在实际测量时,由于2022/12/1083算术平均值的均方根偏差通常在有限次测量时,算术平均值不可能等于被测量的真值L,它也是随机变动的。设对被测量进行m组的“多次测量”,各组所得的算术平均值也有一定的分散性,也是随机变量。算术平均值的精度可由算术平均值的均方根偏差来评定。关系如下:2022/12/1018算术平均值的均方根偏差通常在有限次测2022/12/1084

在有限次测量时,的关系n234567820∞1.251.131.091.061.051.041.031.011.002022/12/1019在有限次测量时,2022/12/1085随机误差在（-∞，+∞）出现的概率误差区间通常表示成σ的倍数,如tσ置信概率t——置信系数；±tσ——置信区间（误差限）在任意误差区间（a,b）出现的概率为由残余误差表示的概率密度2022/12/1020随机误差在（-∞，+∞）出现的概率误2022/12/1086几个典型的t值及其相应的概率t0.674511.9622.5834Pa0.50.68270.950.95450.990.99730.99994当t=±1时,Pa=0.6827,即测量结果中随机误差出现在-σ～+σ范围内的概率为68.27%。而出现在-3σ～+3σ范围内的概率是99.73%,因此可以认为绝对值大于3σ的误差是不可能出现的测量结果可表示为2022/12/1021几个典型的t值及其相应的概率t0.62022/12/1087Pa与α关系

随机误差在±tσ范围内出现的概率为P,则超出的概率称为显著度,用α表示：α=1-Pa-tσ0+tσ2022/12/1022Pa与α关系随机误差2022/12/1088例有一组测量值为237.4、237.2、237.9、237.1、238.1、237.5、237.4、237.6、237.6、237.4,求测量结果.解:将测量值列于表序号测量值xi1237.42237.23237.94237.15237.16237.57237.48237.69237.610237.42022/12/1023例有一组测量值为237.4、2372022/12/1089序号测量值xi残余误差vi1237.4-0.122237.2-0.323237.90.384237.1-0.425237.10.586237.5-0.027237.4-0.128237.60.089237.60.0810237.4-0.12例有一组测量值为237.4、237.2、237.9、237.1、238.1、237.5、237.4、237.6、237.6、237.4,求测量结果.解:将测量值列于表2022/12/1024序号测量值xi残余误差vi1237.2022/12/1090序号测量值xi残余误差vi1237.4-0.120.0142237.2-0.320.103237.90.380.144237.1-0.420.185237.10.580.346237.5-0.020.007237.4-0.120.0148237.60.080.00649237.60.080.006410237.4-0.120.014例有一组测量值为237.4、237.2、237.9、237.1、238.1、237.5、237.4、237.6、237.6、237.4,求测量结果.解:将测量值列于表2022/12/1025序号测量值xi残余误差vi1237.2022/12/1091

测量结果为

x=237.52±0.09(Pa=0.6827)或x=237.52±3×0.09=237.52±0.27(Pa=0.9973)

2022/12/1026测量结果为2022/12/1092系统误差的处理1.从误差根源上消除系统误差

系统误差是在一定的测量条件下,测量值中含有固定不变或按一定规律变化的误差。①所用传感器、测量仪表或组成元件是否准确可靠。②测量方法是否完善。③传感器或仪表安装、调整或放置是否正确合理。④传感器或仪表工作场所的环境条件是否符合规定条件。⑤测量者的操作是否正确。2022/12/1027系统误差的处理1.从误差根源上消除2022/12/1093

2.系统误差的发现与判别发现系统误差一般比较困难,下面只介绍几种发现系统误差的一般方法。

（1）实验对比法这种方法是通过改变产生系统误差的条件从而进行不同条件的测量,以发现系统误差。

（2）残余误差观察法这种方法是根据测量值的残余误差的大小和符号的变化规律,直接由误差数据或误差曲线图形判断有无变化的系统误差。2022/12/10282.系统误差的发现2022/12/1094图中把残余误差按测量值先后顺序排列,图（a）的残余误差排列后有递减的变值系统误差;图（b）则可能有周期性系统误差。2022/12/1029图中把残余误差按测量值先后顺序排列,2022/12/1095马利科夫判据是将残余误差前后各半分两组,若“Σvi前”与“Σvi后”之差明显不为零,则可能含有线性系统误差。阿贝检验法则检查残余误差是否偏离正态分布,若偏离,则可能存在变化的系统误差。（3）准则检查法已有多种准则供人们检验测量数据中是否含有系统误差。不过这些准则都有一定的适用范围。2022/12/1030马利科夫判据是将残余误差前后各半分两2022/12/10963.系统误差的消除（1）在测量结果中进行修正对于已知的系统误差,可以用修正值对测量结果进行修正;对于变值系统误差,设法找出误差的变化规律,用修正公式或修正曲线对测量结果进行修正;对未知系统误差,则按随机误差进行处理。（2）仔细检查仪表,正确调整和安装;防止外界干扰影响。（3）在测量系统中采用补偿措施找出系统误差的规律,在测量过程中自动消除系统误差。（4）实时反馈修正:应用自动化测量技术实时反馈修正的办法来消除复杂的变化系统误差。2022/12/10313.系统误差的消除2022/12/1097测量粗大误差的存在判定准则在对重复测量所得一组测量值进行数据处理之前,首先应将具有粗大误差的可疑数据找出来加以剔除。

1.3σ准则前面已讲到,通常把等于3σ的误差称为极限误差。3σ准则就是如果一组测量数据中某个测量值的残余误差的绝对值|vi|>3σ时,则该测量值为可疑值（坏值）,应剔除。2022/12/1032测量粗大误差的存在判定准则在对2022/12/1098测量粗大误差的存在判定准则2.肖维勒准则|vi|>Zcσ时该测量值为可疑值。n56789101214Zc1.651.731.801.861.921.962.032.102022/12/1033测量粗大误差的存在判定准则2.肖维2022/12/1099序号测量值xi残余误差vivi2

185.55285.24385.36485.58585.31685.59784.28884.94985.351085.21例：测量数据如表所示，判断测量中是否存在粗大误差。2022/12/1034序号测量值xi残余误差vivi212022/12/10100序号测量值xi残余误差vivi2

185.55285.24385.36485.58585.31685.59784.28884.94985.351085.2185.241例：测量数据如表所示，判断测量中是否存在粗大误差。2022/12/1035序号测量值xi残余误差vivi212022/12/10101序号测量值xi残余误差vivi2

185.550.309285.24-0.001385.360.119485.580.339585.310.069685.590.349784.28-0.961884.94-0.301985.350.1091085.21-0.03185.2410.000例：测量数据如表所示，判断测量中是否存在粗大误差。2022/12/1036序号测量值xi残余误差vivi212022/12/10102序号测量值xi残余误差vivi2

185.550.3090.095285.24-0.0010.000385.360.1190.014485.580.3390.115585.310.0690.005685.590.3490.122784.28-0.9610.924884.94-0.3010.091985.350.1090.0121085.21-0.0310.00185.2410.0001.378n56789101214Zc1.651.731.801.861.921.962.032.10根据肖维勒准则|vi|>Zcσ例：测量数据如表所示，判断测量中是否存在粗大误差。2022/12/1037序号测量值xi残余误差vivi212022/12/10103序号测量值xi残余误差vivi2

185.550.3090.095285.24-0.0010.000385.360.1190.014485.580.3390.115585.310.0690.005685.590.3490.122784.28-0.9610.924884.94-0.3010.091985.350.1090.0121085.21-0.0310.00185.2410.0001.378根据肖维勒准则|vi|>Zcσ粗大误差例：测量数据如表所示，判断测量中是否存在粗大误差。2022/12/1038序号测量值xi残余误差vivi212022/12/101041.3测量系统误差计算方法1、不等精度测量的权与误差前面讲述的内容是等精度测量的问题。即多次重复测量得的各个测量值具有相同的精度,可用同一个均方根偏差σ值来表征,或者说具有相同的可信赖程度。

在科学实验或高精度测量中,为了提高测量的可靠性和精度,往往在不同的测量条件下,用不同的测量仪表、不同的测量方法、不同的测量次数以及不同的测量者进行测量与对比,则认为它们是不等精度的测量。

2022/12/10391.3测量系统误差计算方法1、不等2022/12/10105“权”的概念在不等精度测量时,对同一被测量进行m组测量,得到m组测量列（进行多次测量的一组数据称为一测量列）的测量结果及其误差,它们不能同等看待。精度高的测量列具有较高的可靠性,将这种可靠性的大小称为“权”。2022/12/1040“权”的概念在不等精度测量时,对同2022/12/10106权用符号p表示,有两种计算方法:①用各组测量列的测量次数n的比值表示,并取测量次数较小的测量列的权为1,则有2022/12/1041权用符号p表示,有两种计算方法:2022/12/10107②用各组测量列的误差平方的倒数的比值表示,并取误差较大的测量列的权为1。2022/12/1042②用各组测量列的误差平方的倒数的比值2022/12/10108加权算术平均值考虑各测量列的权的情况2022/12/1043加权算术平均值2022/12/10109

加权算术平均值的标准误差2022/12/1044加权算术平均值的标准误差2022/12/101102、测量误差的合成

一个测量系统或一个传感器都是由若干部分组成。设各环节为x1,x2,…,xn,系统总的输入输出关系为y=f(x1,x2,…,xn),而各部分又都存在测量误差。

各局部误差对整个测量系统或传感器测量误差的影响就是误差的合成问题。误差的合成：已知各环节的误差而求总的误差。误差的分配：确定各环节具有多大误差才能保证总的误差值不超过规定值。2022/12/10452、测量误差的合成2022/12/10111（1）系统误差的合成：由前面可知,系统总输出与各环节之间的函数关系为y=f(x1,x2,…,xn)

误差可用微分来表示,故其合成表达式为2022/12/1046（1）系统误差的合成：2022/12/1