物理方法竞赛课程-2015-大物热学

热学1内容要输运过程-多方过程关于热容的计（注意：只与分子平均平动动能有关

P3

nmv

1v3

123 2323P23P2n(1mv2)2

E

Mmol

iRT2

iRT22

mv2

32

CVRMmolRMmolmPVMMmolRTP0f(v)dvf(v)dNdNdNNfNf(v)dvNNf(v)dv0NNNNdNf1N1fvv10f04气体分子平均

气体分子与速率有关平均值的计v0

(v)dv

v2

v0

f(v)dvvNvfvNvf(v)dvv2vNf(v)dvv

f(v)dv v2vv2 vv2 vvf(v)dv2f(v)dv

f(v)dv2 mv0

f(v)dv5 公

vp

2kTm

2RTM

v

(v)dv

8kT

8RTMmol

3RT

f(

Mmol六.气体分子平均自 平均碰撞频

Z 2d2n 2d26m2RTMmolvm2RTMmol7动平均自由气体温度都会随过程而变。则气体PV PV RTMmol

2d2nT

2d2

1

答：2:1，758例:大容器、T、气体分子质量m.在薄壁开小孔面积测得1s流出的气体质量M。求容器内的压强。设容解：简单近似1 n

1nvS 1 Mm

1mnvS 6p

v 严格推导严格推导n1nvSpS4p32

实际气体问题1mol真实气体的范德瓦耳斯方程(p

a

b)RTV式中的修正项a和b一般均由实验测定a、b称为范德瓦尔斯常量引入b,a的实质是:b—无法忽略分子间斥a—无法忽略分子间引2(p2V

)(

b

)RT对不同气体常量a、b取值不同在重力加速度可以认为不变的范围,取z=0为势能零点,z轴向上为正,则玻尔兹曼分布律n

kT可由分子数分布求得大气压强按高度为化关系p

kT

kT

RT此式称为条件下 RTlnp0

高度计原答T1Δ(能量输运ΔT2xT<1T2ΔQdTdQdTdS━热导率(导热系数)物理意义表示2.扩散现 密度梯度

MDdD—扩散

定性解

3D3

Mmolv

v D3

v 8RTMmol8RTMmol例1:1mm厚的一层空气可保持20K的温差,若改用玻璃仍要维相同的温差,而且使单位时间单位面积通过的热量相同,厚度应为多少,并已知air=2.3810-2W/(m·K) ΔΔ

dTΔ Δ

Q1airΔ

ΔSΔ对玻璃传热

Q2

T1x2 1

T

x

例2：矩形保温容器，两端导热系数 d/d

QAQB

dTΔSΔdTΔSΔ

AB AB

T2T1

T2dd dd A dB

例3：蒸汽管内,外半径 r2=18cm.管内维持管外表面维持20°C求每米每小时损失的热量Q

dTΔSΔS

t1Q

1dTT2

任意半径的柱面Q dT

C

dT不是常量

dT

CrdT

Cr

TCln

r

T

r

TC

T1

dT1

ln

ln

Q

1Qr

21Qr2

1

tT2 Qr2

1

tT2 Qln

1

t(T2T1Q例4：在两端绝热封顶，半径R2=7.5cm的长容器筒内,同轴Q5.510Wms) 热导率为

46W/(m

kA

8.61103W/(m计算铀 轴处温度T0 计算筒内R1处空气密度1与R2处空气密

2比值 （1）

Q

25.5103

R1热平衡时，通过半径r的单位长度空气柱面向外输R1热量为Q dT2r

AT2

R2

dr

lnR2 2kA 2kA 得TT

ln

300

ln

A1 A1取rR1Q

r2

r得

1dT

Q

1rdr0

Q R14kuR1 T

R R

5.5103

u 4u

4

P

得n

(

2

Q(Q(E2E1)dQdE dQdE C CdQ,即dQ

Mmol

CV

E

Mmol

CV

CVCVi2Cpi22二.等温过

热T常量，E

Q(Q

Mmol

RTln

AE M

CV

Mmol

RTln

ln

绝热过程方p=常

pV

Qp

Mmol

Cp

T1)

E

V

常量E M

CV

R(

V1

E

Mmol

CV

解题方一、选V这是一个放热降压过0这是一个吸热升压过程.V2(C)这是一个吸热降压程.V10

ba a pVRT

RTp

p1b2a0V问：两个过程p1b2a0V

1过程为等体升压过程Q12过程为等体升压过程及等温升压Q2=ΔE所以

pb1a2 b1a2一定量某理想气体pV2恒量的规律膨胀，(A)将升高

对)将降低 (C)不变 (D)能确定解二.填空

RT

p

恒RV第一类

不需要能量输入而能继续做功的机器 热力学第 第二类 从单一热源吸热，在循环中不断对外作功的热 违背 三.计算例1T273k,

1.0102atm,

1.24102kg/m3)

Mmol解：分 PVPV RTMmol(2)

EK

n32

Mmol p例2求在相同的T,及P下,H2气与He气解：

~

~2103kg

5 内能为2

1103kg

5 内能为4He

~1mol~4103

~内能为2He

~1103

~内能为8答:为10单位体积H2气的内能

nH2

52单位体积He气的内能

3 因为的T,P相

nH

ppd4.01010m,5102m/

n3.01025

/m3NN求）Z （3）此分子经多长时间与P点的距离为10解：分

（1）NN

vZ

Z2nZ

已知：R

N

t(秒10

N NNFC例5.已知：PV图 FC

《竞赛》

3p0

4:

G GpVpV

W~S曲线

pV~

对于ABCDA循Q1

TA

p

TB对于ABCDA循

3p0

B

CWpV

Q1Q11

R

2CP

对于AEFGA循 W

4R

2C

4:1 Q 1

已知：T3=

试求与的比值

分1分12~V1 V1必须先求T，T，T的关系及

的比值V V1由

pV

p

T2 pV

T3

得：T2=2T1， 又已知：T3=得：T2=2T1，已知：T34T15RCP

p p

T2 对于ABCA

ACCB

ln

(3

2

V放Q放11

2

ln

同理，2

2(2

2 4ln23030解题关键选合适的绝热

1mol单原子理想气体，可循环CP,已知：曲ca

P与V的关系为，P

2,点 V 0其它条件如图所示 求：）试以T0

过程系统吸收的热量。解：分解：分

由图看出

Tb

P0V

V 02 2

A pdV

p0

C

V 0

pV得 RT

c 49.9105VaVaRT

5 V(升V Vb

24.910

a

V Vb

01

V(升循环吸热

ab

ln

103C(T

)6.23103循环放

循环效

1

0 V(升求(1)c状态的体积；(2)等压膨胀过程中气体所吸收的热量。(3)该循环过程中气体所作的功(4)此循环制冷系数解：(1)设该气体摩尔由理想气体状态方pV 得 PV

c

4

Q Cp

(

1)15

(3)该循环过程中气体所作的功A RTln P(VV)PV

ln4

3V Vc

Pabcp(4)此循环制冷Pabcp1wQp

ln44

解解：分

1wQ(1

1

1w w第十七

5功5

2

[ln

(

分W~T0,分

T0T0热源Q1热源Q1W2W2

[ln

(

证明完 T0T0

工 Q

T

5

T

5

ln 0 0

热源因为氮气，热源和制冷机构成封闭系统，由熵热源S

S制冷

5Rln5Rln2 ln 0关于容器中有两种气体隔成两部分的问

第十四届，书He的压强为2atm,温度为400K,N2的压强为1atm,温度为 设初始时He的压强为p1,温度为T1,而N2的压强为p2,温度为T2,最终达到平衡时He和N2共同的压强为p强,PV

2p

32

52

T2)解得

p 水平放置的绝热气缸内有一不导热的隔板，把气缸都是Po体积Vo，温度都是To。今通过A室的电热丝L对气分VA分

3

,

BBPV

,T

3

3

P、VA第十第十四届，书

P、VB将热力学第一定律用于整个系统，注意到系统的功QE

T

TTA

2

(Q3PVQAP、VAPQAP、VAP、VBB

(Q3PV 9P 注意理想气体在温度不同温度范围时等摩尔热容量不同的情况下计算内能时用相应

ECV 计算内能变化

Cv

不再

dECV

计算内能变例:设某种双原子分子量理想气体，在温度低于2T0时等体摩尔热容量为5R/2，在温度高于2T0时等体摩尔热容量增加至7R/2.该气体所经热程如图是，试求效率解 由热力学第一定律 吸热

7R

5RT

0V

R

ln

放

(83ln3

ln V

CD

(8ln3 1QQ

1-8ln83ln

21届关于热容的计算Cc nVRnc

pV

常

结论需记 计算理想气体经历多方过程pVnC=？（需从基本定律与定义做起，不得直接代入C与多Cd ddQ

dT

d对pVn

即：V

pnpdV 对状态方程两边求微分得p

V

pdT

p

d n1

CVC

dTn1 C

dT n1 已知热容求，理想气体多方过程方解:演绎

dQ

pV

Vdp

消

)

VdpCn1C

npdVVdppVn常pV

n1C

n

CCp 等nn

C 等C 绝n

C 等例1：已知：理想气体的定体摩尔热容CV，且其过程曲线如图所示，求其多方过程的摩尔热容Cn=？ba分析：观察曲线特点pkVbapkV

pV

常量R Rn

CV nVRn例2：计算单原子分子理想气体经历多方过程pV3=常量时的摩尔热容量C=？（需从基本定律与定义做起，不Cdd

2dQ

CVdT

dV对pV3V2

V3dp即：Vd

3pdV

1对状态方程两边求微分得p

V

pdT

p

(R/2)dT

dT(R/2)dT

dT2以

C 关于热容的计算

p与

CCccc dQ

dE

第第（1）试求此过程中该气体的摩尔热容分7分2

dQdQ

dE

3RdT2

7RdT根据题意：pT

V

RTpV

2

CpdVC（2）设过程中某一状态的压强为P0，体积为V0，试求dWpdV

？VRTVRT2V02

V2V0

RT

2

222T2

T

W

22

1)22例某理想气体的摩尔热容随温度按CT的规律变化例为一常量.求此理想气体1mol的过程方程式解

TdQ

CVdT

RTp

CVdT

RTVT

RV

R

lnT

CVTRe

aa

C0a解 a

C0pVpV

CVdT

)T

AdTTa

RdVV

TC0CV

常量开尔文表述:不可能从单一个热源吸取热量,使之全部克劳修斯表述:热量不可能自动地从低温物体传向

熵小的 熵大的

S=kln

S2

设

S

T

CvT

SS0

CP0

RlnSS lnTRln0VT0V0试以P、V为独立变量，推导1mol理想气体熵变的表达解；理想气体状态方

pPVPV

Vdp

dS

dE

dS

dTR dS

CV(V

p

)RV竞赛第竞赛第？dS

C(

dp)p

RVdSdS(V,P)VdppPVS(V,P) VppCPln0V0系统的初态（P0，V0）系统的末态：注意：二十一届热学计算题求熵变的公式是错误的dS(V,P)VdpCpPdS(V,P)VdpCpPVS(V,P) VppCPln0V0系统的初态（P0，V0）系统的末态分分析表达注注意：29届热学计算题求熵变竞赛29届12 1摩尔单原子分子理想气体，从初态（p0 ），经一个准静态压缩过程，到达终态（8p,1V 假设全过程的每一无穷小过程中，气体对外作功

dW为常量β，试求β

dQ

p

1

3RdT2dQ

3RdT2

ndVdp ，其中n5 积分后，可得pVnpV

将已知始末态代入可１１ 2n２

求：S

S

推导见书P59p-2

Rln

p8p0,4p dSdS(T,V)VdTRTVdS(T,V)VlnTRlnT0V0T已知：理T末态求：S

C 22

(

)可逆

( ) 可

CVln

QSTQ

VR

p

S2

VT0V0例：1摩尔气体绝热自由膨胀由V1到V2，求熵的变化

2dQP 3Pa

1 R2dVR14 1VV 3C

2C

2CPdTS

CPCp

lnT

ln V

Rln

Rln

R

RS

S注意：气体绝热SM(T) M(T总辐出（辐射出射度

0 TTm=M0(T)4M0(T)4

常量b=2.89710-3在加热黑体的过程中，其最大单色辐出度的波长0.8m来的多少倍

，则其辐射出射度增大为已知

m

M(T)M(T)40Tm=若（看成黑体）的半径由R增为2R，温度由T为2T，则其总辐射功率为原来的多少倍

64M(T)M(T)40

)S竞竞 半径Rs=6.96108m,地球到 离d=1.4961011m.)Tm=bT m

2.897103m490109

5.91030 T0

(5.91034

/m2s0M0 s0Ps

M

6.87107W

m

(6.96108m)24.21026W

4.21026W4(1.4961011m)2

/m2由于dRE,故地球可看作圆盘接受辐射PE

R2

/m2

(6.37106m)2EE例:接上题的结论,在地球表面光的强度为(保守一点I1.0103 m2 的涂黑面直 I

M0(T

T4T4

364K

91C A为逸出 A A2GV

mv2

h红限频率逸出功A

h反向电压U，遏止电压，（截止电压）

mv2

竞赛二十届竞赛二十届解:分A解:分A

Ah

(2)

A

h11mv2h2某光电阴极对于1491nm2遏止电压为升为1.43V,求=?21mv2h1mv2h21mv2