高等数学上-反三角函数正课

(1)什么样的函数有反函数?一一对应函互为反函数图象之间有什么关关于直线y=x正切函数y=tanx在定义域上有反函数吗没有,是一一对

正弦ysinx(xR)有反函数没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数许多角 1·

·-

2

-正弦函数ysin

,2

有反函数有,因为它是一一对应函同一个三角函数值只对应一 ])2叫反正弦函数，记

xarcsin

(本义反函数记作yarcsinx(矫正反函数x[1,1],y[,2a 理解和arcsinaa1)符（1）、arcsina表示一、这个角的范围是 2即arcsina. 2（3）、这个角的正弦值是sin(arcsinaa(a(4)arcsin(sina)a,a[, 2、反正弦函数y=arcsinx,x∈[-的图象与性定义域:[-1，1]值域

[, yarcsnx,x[1,1],y[

,其图象关于坐arcsin(x)arcsin

2x

ysinx,x[,],yox ox单调性

是增函数

y

3、熟记特殊值的反正弦函数值

2 2 (7)arcsin(2)

3

23)2

3 4、已知三角函数值

上的角才2a

2ysinx,x[

2,

x3arcsinax42arcsin

你想学 吗不，回不，回主 3 3 3arcsin3

错3错arcsin12k(kZ2arcsin()arcsin 2 2)2

错错32 2

2) 例2、求下列各式的值 sinarcsin2 (2)sinarcsin 解： 23sinarcsin3 3 12 1 sinarcsin 例3、求下列各式的值3 432(1)tan 2 cosarcsinx,x

5 5 5sin2arcsin 5 33解 33tan

4 设 5

sin5[,],cos cos

311sin2cosarcsin455 55 例3、求下列各式的值3 432tan 2 (3)cosarcsinx,x

5 5 5(4)sin2arcsin 5 设arcsinx 则sin[,],cos 1sin211sin211 5cos1 5 例3、求下列各式的值3 432(1)tan 2 (3)cosarcsinx,x

5 5 5(4)sin2arcsin 5 sin2arcsin32sinarcsin3 1 1 532 23523 例4、求下列各式的值 4 arcsinsin (2) 4 4arcsinsin 4 2 2 3arcsinsin 3 3 3 1998 ，理一个直角三角形三内角的正弦值成等比数列，其最小内角

5

5 arccos D.arcsin sin成等比数列，则1sin2sin解得sin51或sin 51 舍（ aarcsin51故应选2 你想学习反余弦函数吗不，回不，回主 余弦函数ycosx(xR有反函数吗？没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数许多角 1

·-2 -

余弦函数ycosx(x[0,])有反函数有,因为它是一一对应函同一个三角函数值只对应一 1、定义：

的反叫反余弦函数，记xarccos

(本义反函数记作yarccosx(矫正反函数arccosa”是一个角的符号. 理解和掌握acrss(

符（1）

表示一即arccos0, 、这个角的余弦值是cos(arccosaa(a(4)arccos(cosa)a,a[0, 定义域：[-1，1]值域 [0，π]奇偶性:非奇非偶函arccos(x)arccosx

y=arccosx,x∈[-单调性

oo

π是减函

y

证明：arccos(x)arccosx(x证明

11x11xarccos(x)arccosx(x 3、熟记特殊值的反正弦函数

r arccos() )arcco

2)

3 3

)4、已知三角函数2ycosx,x[0,a-

x

---

sxa,a1,xRx2k 你想学 吗不，回不，回主 arccos1 arccos

错错3arccos02k(kZ2arccos()arccos 2 2)2

错错32 2cos(arccos2) 例2、求下列各式的值2 2

11cosarccos3 (2)

2[1,1], 2cosarccos 3 arccoscos11 3 3 证明：令arcsinx则由反正弦的定义sinx,[, 利用同角的三角函数值关系cos2sin21sin21又因为cos1sin211所以cosarcsin1例4、求下列各式的值 45 5 tanarccosx,x[1,1],x 5cosarccos5arccos13 4

设arccos5

cos [0,],sinsin

311cos2 4 sinarccos 例4、求下列各式的值 45 5 tanarccosx,x[1,1],x 5 arccosx[0,],sin(arccosx)tan(arccosx)sin(arccoscos(arccos11cos2(arccos11x例4、求下列各式的值 45 5 tanarccosx,x[1,1],x 5 (3)cosarccos5arccos(3)cosarccos5arccos 5cos 13cosarccos4 5cos 13 5sin 13sinarccos 5sin 13 4531256 13 你想学习反正切函数吗不，回不，回主 正弦函

ytanx(xk,k2

有反函数没有,因为他不是一一对应函数，同一个三角函数值许多角 正弦

ytanx,x(,

有反函数2有,因为它是一一对应函同一个三角函数值只对应一

1、定义：正切函数ytanx(x()的反函2叫反正xarctan

(本义反函数记作yarctanx(矫正反函数xR,y(,2xaR,yna,arctana”是一个角的符号. 理解和掌arctana(aR)符（1）、arctana表示一、这个角的范( 即arctana( （3）、这个角的正切值是tan(arctanaa(aR)(4)arctan(tana)a,a(, 定义域值域(

, 奇偶性:是奇

ytanx,x(, arctan(-x)=-其图象关于坐标原点对

2

y单调性是增

2

2yarctanx,xR,y 2

y

3、熟记特殊值的反正切函数 (4)arctan333(5)arctan(3) 3 3

) )3 4、已知三角函数值ytanx,x(, (

x x

a

2nxa,aRxk 你想学 吗不，回不，回主 例1、求下列各式的值2 112323323解

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