2020-2021学年北京市朝阳区高一下学期期末考试数学试题及答案

2020-2021学年北京市朝阳区高一下学期期末考试数学试题★祝考试顺利★

（含答案）（考试时间120分钟满分150分）本试卷分为选择题（共50分）和非选择提（共100分）两部分第一部分（选择题共50分）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）（1）已知复数z」（其中i是虚数单位），则z在复平面内对应的点的坐标是1(1,1)(B)(1，-1)(C)(-1，1)(D)(-1，-1)⑵如图、在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PD丄底面ABCD,若AB=PD=3,AD=2,则该四棱锥的体积为TOC\o"1-5"\h\z181296（3）一个袋子中有大小和质地相同的4个球，其中有2个红色球，2个绿色球，从袋中不放回地依次随机摸出2个球，则两个球颜色相同的概率是1112（A）1（B）1（C）1（D）-4323⑷设a,0是两个不同的平面，n是平面a内的一条直线，则“n丄0”是“a丄0”的（A）充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充分必要条件（D）既不充分也不必要条件⑸在AABC中，*3asinB二3bcosA，则ZA二(A)寻(C)(A)寻(C)3兀(D)一6(6)水稻是世界最重要的食作物之一，也是我国60%以上人口的主粮。以袁隆平院士为首的科学家研制成功的杂交水稻制种技术在世界上被誉为中国的“第五大发明"，育种技术的突破,杂交水稻的推广，不仅让中国人端稳饭碗，也为解决世界粮食短缺问题作出了巨大贡献.某农场种植的甲、乙两种水稻在面积相等的两块稻田中连续6年的产量(单位：kg)如下：品种第1年第2年第3年第4年第5年第6年甲900920900850910920乙890960950850860890根据以上数据，下面说法正确的是甲种水稻产量的平均数比乙种水稻产量的平均数大甲种水稻产量的中位数比乙种水稻产量的中位数小甲种水稻产量的极差与乙种水稻产量的极差相等甲种水稻的产量比乙种水稻的产量稳定⑺向量a,b,e,e在正方形网格中的位置如图所示，若a-b二九e+比(九听R)，贝1]=-=1212卩T(A)3T(B)3(C)-3(D)--3⑻某中学举办知识竞赛，共50人参加初试，成绩如下:成绩9988776660以(分)50505050下人数146546789如果有40%的学生可以参加复试，则进入复试的分数线可以为(A)65(B)70(C)75(D)80在棱长为1的正方体ABCD-ABCD中，若点E是核AB的中点，点M是底面ABCD内的动1111点，且满足AM丄CE，则线段AM的长的最小值为11TOC\o"1-5"\h\z(A)亘(B)痘(C)1(D)迈552已知不共线的平面向量a，b，C两两的夹角相等，且la=1,b=2,c=3，实数件气，九3&|—1，|，则a+b+九§C的最大值为(A)芒(B)2J3(C)(D)5第二部分(非选择题共100分)二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)已知平面向量a=(2,k),b=(3,2),且a丄b,则实数k二.若复数z=a2+a—2+(a2—1)i为纯虚数，则实数a的值为.某班有42名学生,其中选考物理的学生有21人,选考地理的学生有14人,选考物理或地理的学生有28人,从该班任选一名学生,则该生既选考物理又选考地理的概率为已知一组不全相等的样本数据的平均数为10,方差为2,现再加入一个新数10,则新样本数据的平均数，方差•(填“变大”，“变小”，“不变”)已知等边厶ABC的边长为2,D为边BC的中点，点M是AC边上的动点，则MD・MC的最大值为,最小值为.已知AABC的三边长为连续的正整数，给出下列四个结论：存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于另外两个角的和；存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角大于另外两个角的和；存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的2倍;存在满足条件的三角形，使得三个内角中的最大角等于最小角的3倍.其中所有正确结论的序号是.三、解答题(本大题共5小题，共70分。解答应写出文字说明，演算步骤或明过过程)(本小题14分)在厶ABC中，b2+c2—=a2.2(丨)求cosA的值；(II)若B=2A,b=厉，求a的值.(本小题14分)如图，在正方体ABCD—ABCD中，点E，F分别是棱BB,DD的中点.111111求证：BD〃平面AEF；求证：EF丄平面ACCA；11判断点C是否在平面AEF内，并说明理由.1DyAE0DABDyAE0DAB(本小题14分)某心理教育测评研究院为了解某市市民的心理健康状况，随机抽取了n位市民进行心理健康问卷调查，将所得评分(百分制)按研究院制定的心理测评评价标准整理，得到频率分布直方图.已知调查评分在［70，80)中的市民有200人.心理测评评价标准调查评分[0，40)[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]心理等级EDCBA频率分術直方图求n的值及频率分布直方图中t的值；在抽取的心理等级为D的市民中，按照调查评分的分组，分为2层，通过分层随机抽样抽取3人进行心理疏导.据以往数据统计，经心理疏导后，调查评分在［40，50)的市民的心理等级转为B的概率为1,调查评分在［50,60)的市民的心理等级转为B的概率4为1，假设经心理疏导后的等级转化情况相互独立，求在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率；(III)该心理教育测评研究院建议该市管理部门设定预案：若市民心理健康指数的平均值不低于0.75，则只需发放心理指导资料，否则需要举办心理健康大讲堂.根据调查数据判断该市是否需要举办心理健康大讲堂，并说明理由.(每组的每个数据用该组区间的中点值代替，心理健康指数二调查评分4-100)(本小题14分)如图，在锐角AABC中，A=：,BC=J7,D,E分别是边AB,AC上的点•且DE=2•再从条件6①、条件②、条件③中选择两个能解决下面问题的条件作为已知，并求，sinC的值；ZBDE的大小；四边形BCED的面积.条件①：AB=3\：3；14条件②：cosB=XI;14条件③：EC=3.(本小题14分)将平面直角坐标系中的一列点A(1,a),A(2,a),.,A(n,a)，…记为|A|,设1122nn1n1f(n)=A亍•j，其中j为与y轴方向相同的单位向量•若对任意的正整数n,都有nn+1f(n+1)>f(n)，则称｛a｝为丁点列.n判断A(1,1),A(2丄)，A(3丄)，…，A(n,-),•••是否为T点列，并说明理由；12233nn若｛A｝为丁点列，且a>a•任取其中连续三点A,A,A，证明△AAA为钝n12kk+1k+2kk+1k+2角三角形；若｛A｝为丁点列，对于正整数k,l,m(k<l<m),比较AT：j与厂厂j的大小，并说nlm+kl-km明理由.2020-2021学年北京市朝阳区高一下学期期末考试数学参考答案一、选择题（共10小题，莓小题5分，共50分）(1)B(2)D(3)B(4)A(5)C(6)D(7)D(8)C(9)B(10)C二、填空题（共6小题，每小题5分共30分）(11)-3(12)-2(13)16（14）不变；变小(15)3;—16（16）①②③三、解答题（共5小题，共70分(17)(共14分)解：(I)因为在AABC中，b2+c2=a2+—be,2又因为cosA=,2bc所以还be石cosA=2=±2be46分由(|)知，0<A<土,J10所以sinA〜1-cos2A二计因为B=2A，所以sinB=sin2A=2sinAcosA=2呼咛晋

又因为b又因为b二兀sinAbsinB；61014分bsinA3X~4小所以a二二1二2.14分sinB届~T~(共14分)解：(丨)因为在正方体ABCD-ABCD中，点E,F分别是棱BB,DD的中点.111111所以BE//DF,BE=DF所以四边形BEFD为平行四边形，所以BD//EF又因为BD9平面AEF,EFu平面AEF,所以BD//平面AEF5分因为在正方体ABCD-ABCD中，AA丄平面ABCD,11111所以AA丄BD.1因为四边形ABCD为正方形，所以AC丄BD又由(I)知BD//EF,所以EF丄AA，EF丄AC1又因为AC"AA=A,i所以EF丄平面ACCA10分11点C在平面AEF内，理由如下：1取CC中点G,连接GB,FG,EC,11因为在正方体ABCD-ABCD中，点G,F分别是棱CC,DD的中点，111111所以DF//CG,DF=CG.所以四边形DCGF为平行四边形.所以FG//DC,FG=DC.又因为AB//DC,AB=DC,所以AB//FG,AB=FG（III）（III）由频率分布直方图可得,（III）（III）由频率分布直方图可得,所以四边形ABGF为平行四边形.所以AF//BG因为在正方体ABCD-ABCD中，点E,G分别是棱BB,CC的中点，111111所以BE//GC,BE二GC.11所以四边形BGCE为平行四边形.所以BG//EC.11所以EC//AF.1故点C在平面AEF内.14分1（19）（共14分）解：（I）由已知条件可得n二2°°二1000,,又因为每组的小矩形的面职之和为1.0.02x10所以（0.035+0.025+0.02+0.004+8t）X10=1，解得t=0.0024分（II）由（I）知：t=0.002,所以调查评分在［40,50）中的人数是调查评分在［50,60）中人数的丄，2若按分层抽样抽取3人，则调查评分在［40，50）中有1人，在［50,60）中有2人设事件M二“在抽取的3人中，经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B”.因为经心理疏导后的等级转化情况相互独立，所以P（ML3x2x2显,4333所以P（M）=1-P（M）=1--=-,33故经心理疏导后至少有一人的心理等级转为B的概率为10分45X0.02+55X0.04+65X0.14+75X0.2+85X0.35+95X0.25=80.7.估计市民心理健康调查评分的平均值为80.7，3333所以市民心理健康指数平均值为807二0.807>0.75.100所以只需发放心理指导材料，不需要举办心理健康大讲堂活动.14分(共14分)解：选条件__①__，__③__(丨)因为A=-,BC=-J7,AB=3桓,6又因为在AABC中,AB_BC

sinCsinA4分所以sinC_/_4分BCJ714(II)因为MBC是锐角三角形，由⑴知sinC_寻，所以cosCr1-sin2C_寻在厶ABC中，因为AB2_BC2+AC2—2BC-AC-cosC,所以27_7+AC2-2、汗CxD，即AC2-AC-20_0,解得AC=5.14又因为EC=3,所以AE=2.10分又因为DE=2，所以ZADE_A_—.故ZBDE_10分66(Ill)因为AB_3X；3，A_，由(II)知AC=5,6所以S_1AB・AC^sinA_15込.AABC242-又因为ZAED_ZBDE-A_—22.的最大内角所以S=1AE•DE•sinZAED=J3.AADE2所以四边形bced的面积为S-S=土3AABCAADE414分选条件__②__,__③__.⑴因为A专，osB=£兀，5J7所以0<B<|，sinB="cos2B=話所以sinC=sin（B+A）=sinBcosA+cosBsinA5茴3<2113J21xXX—=142142144分J7X玄（II）由（丨）及正弦定理：竺=竺,得AC=BCsinB=£=5,sinBsinAsinA12又因为EC=3,所以AE=2,又因为DE=2，所以ZADE=A=-故ZBDE=竺6610分（川）因为MBC是锐角三角形，由⑴知sinC=7所以cosCf1-sin2C=訂7由余弦定理得：AB2=BC2+AC2-2BC•AC•cosC=7+25-2"办55帀=27,解得：AB二3p'3.所以S=1AB-AC-sinA=15^-NABC242兀又因为ZAED=ZBDE-A=一,3所以SADE評desinAED所以四边形bced的面积为SS空ABcADE4(2.)(共..分)解：(I)A为T点列•理由如下:n由题意可知，AA(1,1,X),j(0,1),nn1n1n所以f(n)AA•j11nn1n1nf(n1)f(n)11(120,n2n1n1nn(n1)n2)即f(n+1)>f(n),n=1,2,….所以A1,1),A(2,2),A(3,1),A1n,—,为T点12233nn列.••••4分(II)由题意可知，AA'(1aa),j(0,)1,nn1n1n所以f(n)AAfjaa・nn1n1n因为A为T点列，n所以f(n1)f(n)aa(aa)0,n1,2,.n2n1n1n又因为aa,所以aa0.2121所以对|AI中连续三点A,A,A，都有aaaa0,aaa.1n'kk1k2k2k1k1kk2k1k又|AA21(aa)2,AA24(aa)2,AA21(aa)2,kk1k1kkk2k2kk1k2k2k1所以|AA2|AA2|AA2.所以AAA为AAAkk2k1k2kk1kk1k