向量值函数在定向曲面上的积分第二类曲面积分课件

全国高校数学微课程教学设计竞赛知识点名称：110702第二型曲面积分的概念与性质全国高校数学微课程教学设计竞赛知识点名称：110702第二1回顾第一型曲面积分1回顾第一型曲面积分双侧曲面2定向曲面的侧双侧曲面2定向曲面的侧2定向曲面的侧北京凤凰国际传媒中心湖南长沙龙王港中国结大桥单侧曲面莫比乌斯带2定向曲面的侧北京凤凰国际传媒中心湖南长沙龙王港中国结大桥单用法向量指向来确定定向曲面的侧：指定了侧的双侧曲面叫定向曲面，

2定向曲面的侧方向余弦侧的规定>0为上侧<0为下侧xyzz=z(x,y)上侧用法向量指向来确定定向曲面的侧：指定了侧的双侧曲面叫定向曲面2定向曲面的侧方向余弦侧的规定>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧xyzy=y(x,z)右侧用法向量指向来确定定向曲面的侧：指定了侧的双侧曲面叫定向曲面，

2定向曲面的侧方向余弦侧的规定>0为右侧>0为上侧x2定向曲面的侧方向余弦侧的规定>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧xyzx=x(y,z)前侧用法向量指向来确定定向曲面的侧：指定了侧的双侧曲面叫定向曲面，

2定向曲面的侧方向余弦侧的规定>0为前侧封闭曲面>0求拦水坝（发电）单位时间的流量3分析引例流量：即稳定不可压缩流体单位时间内通过定向曲面流向指定一侧的流体的质量。(假定密度为1)引例：求某拦水坝单位时间内通过一横截断面指定一侧的河水的流量。(假定水的密度为1)求拦水坝（发电）单位时间的流量3分析引例流量：即稳定不可压缩求拦水坝（发电）单位时间的流量3分析引例问题1求拦水坝（发电）单位时间的流量3分析引例问题1设水流速度是变量3分析引例,拦水坝的横截断面Σ是一定向曲面,函数定义在Σ上且都在Σ上连续,求在单位时间内流向Σ指定侧的河水的流量

。问题2设水流速度是变量3分析引例,拦水坝的横截断面Σ是一定向曲面,元素法：流量元素为于是河水经过整个曲面指定一侧的流量为元素法：流量元素为于是河水经过整个曲面指定一侧的流量为流量元素为于是河水经过整个曲面指定一侧的流量为其中流量元素为于是河水经过整个曲面指定一侧的流量为其中4第二型曲面积分的定义设是一片光滑的定向曲面，向量值函数在上有界，是定向曲面上点处的单位法向量，若积分，同时存在，则称4第二型曲面积分的定义设是一片光滑的定向曲面，向4第二型曲面积分的定义第二型曲面积分，记为：为向量值函数在定向曲面上的积分或（定向曲面元素）的坐标4第二型曲面积分的定义第二型曲面积分，记为：为向量值函数4第二型曲面积分的定义向量表达式坐标表达式第一型曲面积分的表达式4第二型曲面积分的定义向量表达式坐标表达式第一型曲面积分的表设水流速度是变量,拦水坝的横截断面Σ是一定向曲面,函数定义在Σ上且都在Σ上连续,求在单位时间内流向Σ指定侧的河水的流量

。问题24第二型曲面积分的定义设水流速度是变量,拦水坝的横截断面Σ是一定向曲面,函数定义在物理意义:流速为的流体，在单位时间内流向Σ指定侧的流量：注：若是封闭曲面，则在上的第二型曲面积分可记为4第二型曲面积分的定义物理意义:流速为的流体，在单位时间内流向Σ指定侧的流量：注：即第二型曲面积分与积分曲面的侧有关。线性性质设

的反侧曲面记为

，则有：

5第二型曲面积分的性质123（对曲面的分片可加性）（方向性）即第二型曲面积分与积分曲面的侧有关。线性性质设的反侧曲面第二型曲面积分的定义性质物理意义6小结123第二型曲面积分的定义性质物理意义6小结1237思考两类型曲面积分有什么区别和联系，该如何进行转化呢？17思考两类型曲面积分有什么区别和联系，该如何进行转化呢？1谢谢大家！谢谢大家！

第二型曲面积分的概念比较抽象，首先要讲清楚定向曲面的侧，结合图形讲解可以化抽象为具体。其次，从实际例子求拦水坝的河水流量出发，分别设计两个问题，结合“元素法”，可以由浅入深诱导出第二型曲面积分的概念，并将它与第一型曲面积分进行比较区别，这样可以使得学生能较好地理解第二型曲面积分的概念。第二型曲面积分的概念比较抽象，首先要讲清楚定向全国高校数学微课程教学设计竞赛知识点名称：110702第二型曲面积分的概念与性质全国高校数学微课程教学设计竞赛知识点名称：110702第二1回顾第一型曲面积分1回顾第一型曲面积分双侧曲面2定向曲面的侧双侧曲面2定向曲面的侧2定向曲面的侧北京凤凰国际传媒中心湖南长沙龙王港中国结大桥单侧曲面莫比乌斯带2定向曲面的侧北京凤凰国际传媒中心湖南长沙龙王港中国结大桥单用法向量指向来确定定向曲面的侧：指定了侧的双侧曲面叫定向曲面，

2定向曲面的侧方向余弦侧的规定>0为上侧<0为下侧xyzz=z(x,y)上侧用法向量指向来确定定向曲面的侧：指定了侧的双侧曲面叫定向曲面2定向曲面的侧方向余弦侧的规定>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧xyzy=y(x,z)右侧用法向量指向来确定定向曲面的侧：指定了侧的双侧曲面叫定向曲面，

2定向曲面的侧方向余弦侧的规定>0为右侧>0为上侧x2定向曲面的侧方向余弦侧的规定>0为前侧<0为后侧封闭曲面>0为右侧<0为左侧>0为上侧<0为下侧外侧内侧xyzx=x(y,z)前侧用法向量指向来确定定向曲面的侧：指定了侧的双侧曲面叫定向曲面，

2定向曲面的侧方向余弦侧的规定>0为前侧封闭曲面>0求拦水坝（发电）单位时间的流量3分析引例流量：即稳定不可压缩流体单位时间内通过定向曲面流向指定一侧的流体的质量。(假定密度为1)引例：求某拦水坝单位时间内通过一横截断面指定一侧的河水的流量。(假定水的密度为1)求拦水坝（发电）单位时间的流量3分析引例流量：即稳定不可压缩求拦水坝（发电）单位时间的流量3分析引例问题1求拦水坝（发电）单位时间的流量3分析引例问题1设水流速度是变量3分析引例,拦水坝的横截断面Σ是一定向曲面,函数定义在Σ上且都在Σ上连续,求在单位时间内流向Σ指定侧的河水的流量

。问题2设水流速度是变量3分析引例,拦水坝的横截断面Σ是一定向曲面,元素法：流量元素为于是河水经过整个曲面指定一侧的流量为元素法：流量元素为于是河水经过整个曲面指定一侧的流量为流量元素为于是河水经过整个曲面指定一侧的流量为其中流量元素为于是河水经过整个曲面指定一侧的流量为其中4第二型曲面积分的定义设是一片光滑的定向曲面，向量值函数在上有界，是定向曲面上点处的单位法向量，若积分，同时存在，则称4第二型曲面积分的定义设是一片光滑的定向曲面，向4第二型曲面积分的定义第二型曲面积分，记为：为向量值函数在定向曲面上的积分或（定向曲面元素）的坐标4第二型曲面积分的定义第二型曲面积分，记为：为向量值函数4第二型曲面积分的定义向量表达式坐标表达式第一型曲面积分的表达式4第二型曲面积分的定义向量表达式坐标表达式第一型曲面积分的表设水流速度是变量,拦水坝的横截断面Σ是一定向曲面,函数定义在Σ上且都在Σ上连续,求在单位时间内流向Σ指定侧的河水的流量

。问题24第二型曲面积分的定义设水流速度是变量,拦水坝的横截断面Σ是一定向曲面,函数定义在物理意义:流速为的流体，在单位时间内流向Σ指定侧的流量：注：若是封闭曲面，则在上的第二型曲面积分可记为4第二型曲面积分的定义物理意义:流速为的流体，在单位时间内流向Σ指定侧的流量：注：即第二型曲面积分与积分曲面的侧有关。线性性质设

的反侧曲面记为

，则有：

5第二型曲面积分的性质123（对曲面的分片可加性）（方向性）即第二型曲面积分与积分曲面的侧有关。线性性质设的反侧曲面第二型曲面积分的定义性质物理意义6小结123第二型曲面积分的定义性质物理意义6小结1237思考两类型曲面积分有什么区别和联系，该如何进行转化呢？17思考两类型曲面积分有什么区别和联系