专升本高等数学(一)真题2009年

2009年成人高等学校专升本招生全国统一考试高等数学(一)试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内．1． ( )．[答] A[解题指] 本题考查的知识点为无穷小量的性质有界变量与无穷小量之积仍为无小量．当x→∞时，→0，即为无穷小量，又sin2x为有界变量：-1≤sin2x≤1．由有界变量与无穷小量之积仍为无穷小量可知故选A．2．设 ，在x=1连续，则a=( )C．1 D．2[答] B[解题指] 本题考查的知识点为连续的性质函数f(x)在点x处连续的充分必要条件0是f(x)在点x左连续且右连续．0f(x)为分段函数，x=1x=1f(x)f(1)=-1．f(x)在点x=1处连续，必有3．设y=x2-e2，则y'=( 2x-2e C．2x-e D．2x[答] D[解题指] 本题考查的知识点为导数的运算．y=x2-e2，则y'=(x2)'-(e2)'=2x-0=2x．

，因此a=1，故选B．[错误防] 有些考生没能将e认定为常量，忘记常量的导数为零，错误地选4．设则dy=( )．C．-3e-3xdx [答] C[解题指] 本题考查的知识点为复合函数的微分运算．由于y=e-3x，可得故选C．5．设y=1+sin ，则y'(0)=( )．[答] B

D．-[解题指] 本题考查的知识点为复合函数求导运算，在某点处的导数值．故选B．设f(x)为连续函数， ( C．-f(2x) [答] A[解题指导] 本题考查的知识点为可变上限积分求导：若f(x)为连续函数，则F'(x)=，即可变上的导数为被积函数在上限处值．因此故选A．[错误防] 有些考生误选如果令f1)．

(2t)=f(x)．则上述错误可以避免．1C．cosx+C [答] D．[解题指] 本题考查的知识点为不定积分基本公式．∫sinxdx=-cosx+C．故选D．8．设z=X2y+x-3，则=( )．C．x2+1 [答] [解题指] 本题考查的知识点为偏导数计算．求时，只需将y认定为常量，依一元函数求导法则运算．由于z=x2y+x-3，因此故选B．都为正项级数，且u＜v，则下列结论正确的是( )．n n[答] C[解题指] 本题考查的知识点为正项级数的比较判别法．由正项级数的比较判别法可知若 与 都为正项级数且u＜v(n=1…)，n n则当 收敛时，

必定收敛．故选C．微分方程y'-y=0的通解为( )．[答] C

D．y=Ce-x[解题指] 本题考查的知识点为求解可分离变量方程．可得二、填空题．[答] e-1．

= ．

，故选C．[解题指] 本题考查的知识点为重要极限公式．12． ．[答] 0．[解题指] 本题考查的知识点为极限运算．所求极限的表达式为分式，其分母的极限不为零．因此设则y"= ．[答] [解题指] 本题考查的知识点为二阶导数运算．设[答案]

，则y'= ．．[解题指] 本题考查的知识点为导数运算由于所给函数为分式，由商的求导法则可得15．∫(1-2x)dx= []x-x2+C．[解题指] 本题考查的知识点为不定积分计算．∫(1-2x)dx=∫dx-∫2xdx=x-x2+C．16．[答] 2．

= ．[解题指] 本题考查的知识点为定积分的换元积分法．解法1 设 ，则x=2t，dx=2dt．当x=0时当x=π时， ．因此解法2 ．17．设z=sin(y-x2)，则= [答] COS(y-x2)．[解题指] 本题考查的知识点为偏导数运算．时，只需将x认定为常量．z=sin(y-x2)，因此．18．过点M(1，-1，0)且与平面x-y+3z=1平行的平面方程为 ．0[答] (x-1)-(y+1)+3z=0(或x-y+3z=2)．[解题指] 本题考查的知识点为平面方程．已知平面π的法线向量n=(π与ππ1 1 1的法线向量n∥n1

，可取n=(1，-1，3)，由于所给平面过点M0

(1，-1，0)．由平面的点法式方程可知所求平面方程为(x-1)-[y-(-1)]+3(z-0)=0，即 (x-1)-(y+1)+3z=0，或写为 x-y+3z=2．19．设区域D={(x，y)|-1≤x≤1，0≤y≤2}，则 ．[答] 4．[解题指] 本题考查的知识点为二重积分的性质： ，其中σ为区域D的面积．由于积分区域D是边长为2的正方形，其面积为4，可知 ．y=f(x)x=2f(x)f(2)=3y=f(x)(2，3)处0的切线方程为 ．[答] y=3．[解题指] 本题考查的知识点为：极值的必要条件、切线方程．可导，点x=2为f(x)的极值点，由极值的必要条件知f'(2)=0，又f(2)=3．可0知曲线y=f(x)在点[2，f(2)]处的切线方程为y-f(2)=f'(2)(x-2)，即 y-3=0·(x-2)=0．可知y=3为所求．三、解答题：解答应写出推理、演算步骤．求 ．[解题指] 本题考查的知识点为洛必达法则的应用．y'．[解题指] 本题考查的知识点为导数运算．由乘积的导数运算可知：y=xsinx，y'=x'sinx+x(sinx)'=sinx+xcosx．计．[解题指] 本题考查的知识点为定积分运算．求

的通解．[解题指] 本题考查的知识点为求解一阶线性微分方程．由方程通解公式可知方程的通解为：．z=x2y+2y2dz．[解题指] 本题考查的知识点为计算二元函数全微分．．设曲线x= ，y=2及x=0所围成的平面图形为0．求平面图形DS；0[解题指] 本题考查的知识点为定积分的几何应用：求平面封闭图形的面积；平面形绕坐标轴旋转一周所生成的旋转体的体积．平面图形0如图X-4所示，解法1 由 ，解得x= ，于是解法2 (2)27．求 ，其中D={(x，y)|